遼寧省葫蘆島市2024屆高三上學期1月學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1遼寧省葫蘆島市2024屆高三上學期1月學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學試題第I卷（選擇題）一、選擇題1.集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，則.故選：D2.已知為虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則（）A. B.2 C.5 D.〖答案〗A〖解析〗因為：為純虛數(shù)，所以，解得.所以.故選：A3.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對A，為偶函數(shù)，故A錯誤；對B，在上不為增函數(shù)，故B錯誤；對C，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增，故C正確；對D，為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C4.漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡，該方案將從正式實施開始每年延長幾個月的退休時間，直到達到法定退休年齡.男性延遲退休的年齡情況如表所示：出生年份1961年1962年1963年1964年1965年1966年退休年齡60歲60歲+2月60歲+4月60歲+6月60歲+8月60歲+10月若退休年齡與出生年份滿足一個等差數(shù)列，則1981年出生的員工退休年齡為（）A.63歲 B.62歲+10月 C.63歲+2月 D.63歲+4月〖答案〗D〖解析〗因為退休年齡與出生年份滿足一個等差數(shù)列，由題意可知：，，所以.故選：D5.的展開式中常數(shù)項為第（）項A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗的通項為，令有.故展開式中常數(shù)項為第5項.故選：B6.已知點是雙曲線的左焦點，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，點是雙曲線漸近線上的動點，則的最小值為（）A.8 B.5 C.3 D.2〖答案〗B〖解析〗設右焦點為，又由對稱性，不妨設在漸近線上.根據(jù)雙曲線的定義可得，當且僅當三點共線時取等號.又當與漸近線垂直時取最小值，為，故最小值為5.故選：B.7.如圖，正六棱臺，已知，，，則下列說法正確的是（）A. B.平面C.平面 D.與底面所成的角為〖答案〗C〖解析〗設正六棱臺上、下底面的中心分別為、，則平面，連接、，取線段的中點，連接，因為，，，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，是邊長為的等邊三角形，則，因為，則，所以，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如上圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，設，則，則，可得，所以，、、、，對于A選項，，，故、不共線，A錯；對于B選項，，，所以，，故、不垂直，則與平面不垂直，B錯；對于C選項，設平面的法向量為，，由，取，則，，即，因為，則，即，又因為平面，因此，平面，C對；對于D選項，易知底面的一個法向量為，，故與底面所成的角為，D錯.故選：C.8.已知直線與曲線相切，則的值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的導函數(shù)，設切點為，則，故，即，則.易得函數(shù)為增函數(shù)，且，故.故.故選：A二、多選題9.下列選項中，與“”互為充要條件的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對A，則，即，，解得，故A錯誤；對B，則，故，解得，故B正確；對C，則，解得，故C正確；對D，，則，解得，故D錯誤.故選：BC.10.某校4個班級學生的一次物理考試成績的頻率分布直方圖如下，已知成績在范圍內(nèi)的人數(shù)為30人，則下列說法正確的是（）A.的值為0.15 B.4個班的總人數(shù)為200人C.學生成績的中位數(shù)估計為66.6分 D.學生成績的平均數(shù)估計為71分〖答案〗BD〖解析〗對A，，解得，故A錯誤；對B，成績在范圍內(nèi)的頻率為，故4個班的總人數(shù)為人，故B正確；對C，因為，故學生成績中位數(shù)估計為70分，故C錯誤；對D，學生成績的平均數(shù)估計為分，故D正確.故選：BD11.如圖，為等腰直角三角形，斜邊上的中線為線段中點,將沿折成大小為的二面角，連接，形成四面體，若是該四面體表面或內(nèi)部一點，則下列說法正確的是（）A.若點為中點，則過的平面將三棱錐分成兩部分的體積比為B.若直線與平面沒有交點，則點的軌跡與平面的交線長度為C.若點在平面上，且滿足，則點的軌跡長度為D.若點在平面上，且滿足，則線段長度的取值范圍是〖答案〗BC〖解析〗對A，如圖示，由題意可知，，，底面，故底面.由于E為線段BD中點，點為中點，故，又三棱錐與三棱錐等高，故，，故過的平面將三棱錐分成兩部分的體積比為，故A錯誤；對B，若直線PE與平面ABC沒有交點，則P點在過點E和平面ABC平行的平面上，如圖示，設CD的中點為F，AD的中點為G，連接EF，F(xiàn)G，EG，則平面平面ABC,則點P的軌跡與平面ADC的交線即為GF，由于△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線，故，則，故B正確；對C，若點P在平面ACD上，且滿足，以D為原點，DC,DA為x,y軸建立平面直角坐標系，如圖，則，設，則，即，故P點在平面ADC上的軌跡即為該圓被平面ADC截得的圓?。ㄈ鐖D示），由可得圓心，則，則點P軌跡長度為，故C正確；對D，由題意可知，平面ADC，故平面ADC，故，由于P在圓弧上，圓心為M，故當P在時取最小值，此時取最小值；當P在時取最大值，此時取最大值.故線段長度的取值范圍是，故D錯誤.故選：BC12.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，下列結論正確的有（）A.B.若，則函數(shù)的最小正周期為C.關于方程在區(qū)間上最多有4個不相等的實數(shù)解D.若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗函數(shù)滿足.對A：因為，所以，故A正確；對B：由于，所以函數(shù)的一條對稱軸方程為.又為一個對稱中心，由正弦圖像和性質(zhì)可知，所以函數(shù)的最小正周期滿足，即.又區(qū)間上單調(diào)，故，即，故，故B正確；對C：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，可得：，所以周期，又周期越大，的根的個數(shù)越少.當時，，又，，得.所以在區(qū)間上有3個不相等的實數(shù)根：，或，故至多3個不同的實數(shù)解，故C錯誤.對D：函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，所以，所以，解得：，且滿足，即，即，故.故D正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題13.直線與圓相交，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗因為直線與圓相交，所以圓心到直線的距離，解得.故〖答案〗為：14.已知，且，則向量夾角的余弦值為__________.〖答案〗〖解析〗由可得，即，所以.故〖答案〗為：15.隨著冬季到來，各種流行疾病也開始傳播，國家為了防止患者集中在大型醫(yī)院出現(xiàn)交叉感染，呼呼大家就近就醫(yī).某市有市級醫(yī)院，區(qū)級醫(yī)院，社區(qū)醫(yī)院三個等級的醫(yī)院，對于出現(xiàn)的流行疾病三個醫(yī)院都能治愈患者.若患者去三個醫(yī)院就醫(yī)的概率是，三個醫(yī)院就醫(yī)時出現(xiàn)交叉感染的概率分別為，患者在醫(yī)院沒有出現(xiàn)交叉感染且治愈的概率為__________.〖答案〗〖解析〗由題意，患者在醫(yī)院沒有出現(xiàn)交叉感染且治愈的概率為.故〖答案〗為：16.已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，拋物線在點處的切線分別為和，若和交于點，則的最小值為__________.〖答案〗10〖解析〗的焦點為，設直線方程為，.聯(lián)立直線與拋物線方程有，則.又求導可得，故直線方程為.又，故，同理.聯(lián)立可得，解得，代入可得，代入韋達定理可得，故.故，當且僅當，即時取等號.故〖答案〗為：10.四、解答題17.已知銳角的三個內(nèi)角的對邊分別為，__________.在條件：①；②；③；這三個條件中任選一個，補充到上面的問題中并作答.（1）求角；（2）若，如圖，延長到，使得，求的面積的取值范圍.解：（1）若選①，，由正弦定理得，，所以，所以為銳角且.若選②，，，，由于，所以，所以，所以為銳角且.若選③，，，，由正弦定理得，所以，所以為銳角且.（2），在中，，所以，即.在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，由于，所以.18.如圖，矩形的邊為圓的直徑，點為圓上異于的兩點，.已知.（1）求證：平面；（2）當?shù)拈L為何值時，二面角的大小為.（1）證明：為圓的直徑，故為直角，，又，，平面，故平面.又平面，故.又四邊形為矩形，故，又，平面，故平面.（2）解：設的中點分別為，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則點，則，設平面的法向量為，則，即，取，可得，則，由（1）可知平面，平面的一個法向量為，則，因為二面角的大小為，可得，即，解得，所以線段的長為.19.某校高一年級開設建模，寫作，籃球，足球，音樂，朗誦，素描7門選修課，每位同學須彼此獨立地選3門課程，其中甲選擇籃球，不選擇足球，丙同學不選素描，乙同學沒有要求.（1）求甲同學選中建模且乙同學未選中建模的概率；（2）用表示甲、乙、丙選中建模的人數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學期望.解：（1）由題意，甲選擇籃球，并在建模，寫作，音樂，朗誦，素描5門里再選2門，則選中建模的概率為；乙同學沒有要求，則選中建模的概率為.故甲同學選中建模且乙同學未選中建模的概率為.（2）由（1）甲選中建模的概率為，乙選中建模的概率為，丙選中建模的概率為，由題意可能的取值有0，1，2，3，故，，，.故的分布列：012320.已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前29項和.解：（1）由可得，且，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，即.則當時，，當時也成立，故.（2）.當為偶數(shù)時，故.即.21.已知橢圓經(jīng)過兩點.作斜率為的直線與橢圓交于兩點（點在的左側），且點在直線上方.（1）求橢圓的標準方程；（2）證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.（1）解：因為橢圓焦點在軸上，且過點，所以，有橢圓過點，所以.故橢圓：.（2）證明：如圖：設直線的方程為，聯(lián)立方程組：，消去得：，整理得：.由得：.設，，則：，.又，.因為：所以：的角平分線為：.故的內(nèi)切圓圓心一定在直線上.22.已知函數(shù)，其中.（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，若只有一個零點，求的取值范圍.解：（1）當時，，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，又，則當時，，當時，，故單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），又，則的定義域為則，令，則，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，則當時，取得最小值，①當時，，則在恒成