29.1　投影 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十九章投影與視圖29.1

投影(第1課時(shí))觀(guān)察思考

北京故宮中的日晷聞名世界，是我國(guó)光輝燦爛的文化瑰寶.它是我國(guó)古代利用日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，它由“晷面”與“晷針”組成，太陽(yáng)光照在日晷中軸上產(chǎn)生投影，晷針的影子就會(huì)投向晷面，隨著時(shí)間的推移，晷針的影子長(zhǎng)度發(fā)生變化，晷針的影子在晷面上慢慢移動(dòng)，聰明的古人以此來(lái)顯示時(shí)刻.學(xué)習(xí)新知生活中關(guān)于物體在光線(xiàn)的照射下形成影子的實(shí)例【結(jié)論】

一般地，用光線(xiàn)照射物體，在某個(gè)平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線(xiàn)叫做投影線(xiàn)，投影所在的平面叫做投影面.探照燈發(fā)出的光線(xiàn)與燈泡發(fā)出的光線(xiàn)【結(jié)論】

有時(shí)光線(xiàn)是一組互相平行的射線(xiàn)，例如太陽(yáng)光或探照燈中的光線(xiàn).由平行光線(xiàn)形成的投影叫做平行投影.例如，物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子(簡(jiǎn)稱(chēng)日影)就是平行投影.由同一點(diǎn)(點(diǎn)光源)發(fā)出的光線(xiàn)形成的投影叫做中心投影.例如，物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子就是中心投影.

【思考】

(1)如圖(1)所示的是同一時(shí)刻的兩棵樹(shù)及其影子，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出形成樹(shù)影的光線(xiàn)，并判斷它是太陽(yáng)光線(xiàn)還是燈光的光線(xiàn).若是燈光的光線(xiàn)，請(qǐng)確定光源的位置.(2)請(qǐng)判斷如圖(2)所示的兩棵樹(shù)的影子是在太陽(yáng)光下形成的還是在燈光下形成的，并畫(huà)出同一時(shí)刻旗桿的影子(用線(xiàn)段表示).(3)通過(guò)上邊的練習(xí)，請(qǐng)觀(guān)察平行投影和中心投影，它們有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)?A平行投影與中心投影的區(qū)別與聯(lián)系:區(qū)別聯(lián)系平行投影平行的投影線(xiàn)都是物體在光線(xiàn)的照射下在某個(gè)平面內(nèi)形成的影子(即都是投影)中心投影從一點(diǎn)發(fā)出的投影線(xiàn)(1)地面上直立一根標(biāo)桿AB，如圖(1)所示，桿長(zhǎng)為2

m.

①當(dāng)陽(yáng)光垂直照射地面時(shí)，標(biāo)桿在地面上的投影是什么圖形?

②當(dāng)陽(yáng)光與地面的傾斜角為60°時(shí)，標(biāo)桿在地面上的投影是什么圖形?并畫(huà)出投影示意圖.

(2)一個(gè)正方形紙板ABCD和投影面平行(如圖(2)所示)，投影線(xiàn)和投影面垂直，點(diǎn)C在投影面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，請(qǐng)畫(huà)出正方形紙板的投影示意圖.(4)當(dāng)投影線(xiàn)與投影面垂直時(shí)，如何畫(huà)出頂點(diǎn)A，B，C，D的投影?分析:(1)當(dāng)陽(yáng)光垂直照射地面時(shí)，點(diǎn)A的影子落在什么地方?(2)當(dāng)陽(yáng)光與地面的傾斜角為60°時(shí)，點(diǎn)A的影子落在什么地方?(3)在直角三角形中，已知一銳角和一直角邊，怎樣求出三角形的另一直角邊?(1)地面上直立一根標(biāo)桿AB，如圖(1)所示，桿長(zhǎng)為2

m.

①當(dāng)陽(yáng)光垂直照射地面時(shí)，標(biāo)桿在地面上的投影是什么圖形?

②當(dāng)陽(yáng)光與地面的傾斜角為60°時(shí)，標(biāo)桿在地面上的投影是什么圖形?并畫(huà)出投影示意圖.解:(1)①當(dāng)陽(yáng)光垂直照射地面時(shí)，標(biāo)桿在地面上的投影是一個(gè)點(diǎn).因?yàn)闃?biāo)桿與地面垂直，陽(yáng)光垂直照射地面時(shí)與標(biāo)桿平行，使得影子與點(diǎn)B重合.②當(dāng)陽(yáng)光與地面的傾斜角為60°時(shí)，如圖(3)所示，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，AB=2，

∵tan∠ACB=，

.

∴標(biāo)桿在地面上的投影是長(zhǎng)為

m的線(xiàn)段，如圖(3)所示的BC.(2)一個(gè)正方形紙板ABCD和投影面平行(如圖(2)所示)，投影線(xiàn)和投影面垂直，點(diǎn)C在投影面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，請(qǐng)畫(huà)出正方形紙板的投影示意圖.解：(2)因?yàn)榧埌迮c投影面平行，投影線(xiàn)和投影面垂直，所以分別過(guò)點(diǎn)A，B，D作投影面的垂線(xiàn)，垂足分別為A'，B'，D'，順次連接A'，B'，C'，D'即可.如圖(4)所示的為所畫(huà)的投影.(4)中心投影的應(yīng)用:①根據(jù)點(diǎn)光源下兩種或兩種以上物體及影子的情況判斷點(diǎn)光源的位置;②已知點(diǎn)光源的位置，可以畫(huà)物體在點(diǎn)光源下的影子.[知識(shí)拓展](1)光線(xiàn)移動(dòng)時(shí)，物體影子的大小、方向也隨著變化，物體的形狀與影子的形狀有密切的聯(lián)系.(2)光是沿直線(xiàn)傳播的，因此我們可以由投影與物體確定光線(xiàn)方向.(3)平行投影的應(yīng)用:①根據(jù)陽(yáng)光下影子的大小、位置的變化判斷時(shí)刻的不同;②已知一個(gè)物體及其在陽(yáng)光下的影子，可作出同一時(shí)刻另一個(gè)物體在陽(yáng)光下的影子;③根據(jù)物高和影長(zhǎng)的關(guān)系可以求物高或影長(zhǎng).檢測(cè)反饋1.平行投影中的光線(xiàn)是(

)

A.平行的

B.聚成一點(diǎn)的

C.不平行的D.向四面八方發(fā)散的解析:平行投影中的光線(xiàn)是平行的.故選A.A2.下列投影中屬于中心投影的是(

)

A.陽(yáng)光下跑動(dòng)的運(yùn)動(dòng)員的影子

B.陽(yáng)光下木桿的影子

C.陽(yáng)光下汽車(chē)的影子

D.路燈下行人的影子解析:中心投影的光源為點(diǎn)光源，平行投影的光源為陽(yáng)光、探照燈光等平行光，在各選項(xiàng)中只有D選項(xiàng)中的投影為中心投影.故選D.D3.下圖是小紅在某天四個(gè)時(shí)刻看到一根木棒及其影子的情況，那么她看到的先后順序是

.

解析:根據(jù)平行投影的特點(diǎn)以及北半球影長(zhǎng)的規(guī)律可知影子由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).故填④③①②.④③①②4.下列影子:①陽(yáng)光下遮陽(yáng)傘的影子;②燈光下小明讀書(shū)的影子;③陽(yáng)光下大樹(shù)的影子;④陽(yáng)光下農(nóng)民鋤地的影子;⑤路燈下木桿的影子.其中屬于平行投影的是

，屬于中心投影的是

.

解析:①陽(yáng)光下遮陽(yáng)傘的影子、③陽(yáng)光下大樹(shù)的影子、④陽(yáng)光下農(nóng)民鋤地的影子都是太陽(yáng)光線(xiàn)形成的影子，故屬于平行投影;②燈光下小明讀書(shū)的影子及⑤路燈下木桿的影子都是燈光形成的影子.故屬于平行投影的是①③④，屬于中心投影的為②⑤.①③④②⑤5.某一廣告牌PQ旁有兩根直立的木桿AB和CD，某一時(shí)刻在太陽(yáng)光下，木桿CD的影子剛好不落在廣告牌PQ上.

(1)在圖中畫(huà)出此時(shí)的太陽(yáng)光線(xiàn)CE及木桿AB的影子BF;

(2)若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距離DQ的長(zhǎng)為4米，求此時(shí)木桿AB的影長(zhǎng).解:(1)如下圖所示.(2)設(shè)木桿AB的影長(zhǎng)BF為x米，由題意，得

，解得x=.答:此時(shí)木桿AB的影長(zhǎng)是米.人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十九章投影與視圖29.1

投影(第2課時(shí))中心投影平行投影平行投影

下圖表示一塊三角尺在光線(xiàn)照射下形成的投影，其中哪個(gè)是平行投影?哪個(gè)是中心投影?如圖(2)(3)所示的投影線(xiàn)與投影面的位置關(guān)系有什么區(qū)別?觀(guān)察思考(1)(2)(3)解:圖(1)中的投影線(xiàn)集中于一點(diǎn)，形成中心投影;圖(2)(3)中，投影線(xiàn)互相平行，形成平行投影.圖(2)中，投影線(xiàn)斜著照射到投影面;圖(3)中投影線(xiàn)垂直照射到投影面.學(xué)習(xí)新知認(rèn)識(shí)概念投影線(xiàn)垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.(正投影是光線(xiàn)與投影面之間的關(guān)系，與物體的放置無(wú)關(guān))【思考】

(1)平行投影一定是正投影嗎?正投影一定是平行投影嗎?(平行投影不一定是正投影，正投影一定是平行投影)(2)正投影與物體的放置有關(guān)嗎?ABABABPA1B1A2B2A3(B3)（1）鐵絲平行于投影面.（2）鐵絲傾斜于投影面.（3）鐵絲垂直于投影面.線(xiàn)段在平面上的正投影

線(xiàn)段平行于投影面時(shí)的正投影是線(xiàn)段，線(xiàn)段長(zhǎng)等于正投影的長(zhǎng);線(xiàn)段傾斜于投影面時(shí)的正投影是線(xiàn)段，線(xiàn)段長(zhǎng)大于正投影的長(zhǎng);線(xiàn)段垂直于投影面時(shí)的正投影是一個(gè)點(diǎn).（1）當(dāng)線(xiàn)段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線(xiàn)段A1B1，線(xiàn)段與它的投影的大小關(guān)系為AB_____A1B1；（2）當(dāng)線(xiàn)段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線(xiàn)段A2B2，線(xiàn)段與它的投影的大小關(guān)系為AB______A2B2;（3）當(dāng)線(xiàn)段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是________.通過(guò)觀(guān)察，我們可以發(fā)現(xiàn)：pABA1B1ABABA3(B3)B2A2=>點(diǎn)A3(B3)QABCDA'B'C'D'ABCDA'B'C'D'ABCDA'(B')D'(C')(1)(2)(3)如圖所示，把一塊正方形硬紙板P（例如正方形ABCD）放在三個(gè)不同的位置：（1）紙板平行于投影面；（2）紙板傾斜于投影面；（3）紙板垂直于投影面.三種情形下紙板的正投影各是什么形狀？

正方形紙板在平面上的正投影結(jié)論.

(1)當(dāng)紙板P平行于投影面Q時(shí)，P的正投影與P的形狀、大小一樣;

(2)當(dāng)紙板P傾斜于投影面Q時(shí)，P的正投影與P的形狀、大小不完全一樣;

(3)當(dāng)紙板P垂直于投影面Q時(shí)，P的正投影成為一條線(xiàn)段.QABCDA1B1C1D1ABCDA2B2C2D2ABCDA3(B3)D3C3)(1)(2)(3)（3）當(dāng)紙板P垂直于投影面時(shí)，P的正投影成為_(kāi)___________．通過(guò)觀(guān)察、測(cè)量可知：（1）當(dāng)紙板P平行于投影面時(shí)，P的正投影與P的形狀、大小______；（2）當(dāng)紙板P傾斜于投影面時(shí)，P的正投影與P的形狀、大小_________；一樣發(fā)生變化一條線(xiàn)段正投影的性質(zhì)當(dāng)物體的某個(gè)面平行于投影面時(shí)，這個(gè)面的正投影與這個(gè)面的形狀、大小完全相同.畫(huà)出如圖所示擺放的正方體在投影面上的正投影.分析:

(1)當(dāng)正方體在如圖(1)所示的位置時(shí)，正方體的一個(gè)面ABCD及其相對(duì)的另一面與投影面

，這兩個(gè)面的正投影是與正方體的一個(gè)面的形狀、大小

的正方形A'B'C'D'.正方形A'B'C'D'的四條邊分別是正方體其余四個(gè)面(這些面垂直于投影面)的

.因此，正方體的正投影是

.

(2)當(dāng)正方體在如圖(2)所示的位置時(shí)，它的面ABCD和面ABGF傾斜于投影面，它們的投影是

;正方體其余兩個(gè)側(cè)面的投影也分別是

;上、下底面的投影分別是

和

.因此，正方體的投影是

.

ABCDA'B'C'D'PBCDEFGF'A'D'C'B'G'PAH從正面看從正面看

(2)如下圖所示，正方體的正投影為矩形F'G'C'D'，這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于正方體的底面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，矩形的寬等于正方體的棱長(zhǎng).矩形上、下兩邊中點(diǎn)連線(xiàn)A'B'是正方體的側(cè)棱AB及它所對(duì)的另一條側(cè)棱EH的投影.解:(1)如下圖所示，正方體的正投影為正方形A'B'C'D'，它與正方體的一個(gè)面是全等關(guān)系.(3)人們?cè)趯?shí)際作圖中，經(jīng)常采用正投影，正投影有如下性質(zhì):①線(xiàn)段AB在平面上的正投影.線(xiàn)段AB平行于投影面P時(shí)的正投影是線(xiàn)段，線(xiàn)段長(zhǎng)等于正投影的長(zhǎng);線(xiàn)段AB傾斜于投影面P時(shí)的正投影是線(xiàn)段，線(xiàn)段長(zhǎng)大于正投影的長(zhǎng);線(xiàn)段AB垂直于投影面P時(shí)的正投影是一個(gè)點(diǎn).②長(zhǎng)方形硬紙板ABCD在平面上的正投影.長(zhǎng)方形硬紙板ABCD平行于投影面時(shí)，ABCD的正投影與ABCD的形狀和大小一樣;長(zhǎng)方形硬紙板ABCD傾斜于投影面時(shí)，ABCD的正投影與ABCD的形狀和大小不完全一樣;長(zhǎng)方形硬紙板ABCD垂直于投影面時(shí)，ABCD的正投影成為一條線(xiàn)段.[知識(shí)拓展]

(1)當(dāng)物體的某個(gè)面平行于投影面時(shí)，這個(gè)面的正投影與這個(gè)面的形狀、