新教材2023版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)十四空間向量的分解與坐標(biāo)表示湘教版選擇性必修第二冊

課時作業(yè)(十四)空間向量的分解與坐標(biāo)表示練基礎(chǔ)1.已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)2．(多選)下列結(jié)論正確的是()A．三個非零向量能構(gòu)成空間的一組基，則它們不共面B．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一組基，則這兩個向量共線C．若a，b是兩個不共線的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一組基D．若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一組基，則O，A，B，C四點(diǎn)共面3．已知{e1，e2，e3}是空間的一組基，若λe1＋μe2＋νe3＝0，則λ＋μ＋ν＝________．4．在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i，j，k}下，已知向量a＝i＋j－4k，b＝i－2j＋2k，求向量m＝a＋b在j和k上的投影．提能力5.若空間四點(diǎn)M、A、B、C共面且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝keq\o(OM,\s\up6(→))，則k的值為()A．1B．2C．3D．66．(多選)已知M，A，B，C四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使{eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))}成為空間的一組基的是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋2eq\o(MC,\s\up6(→))C．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\o(MA,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))－2eq\o(MC,\s\up6(→))7．設(shè){a，b，c}是空間的一個單位正交基，且向量p＝a＋2b＋3c，{a＋b，2a－b，c}是空間的另一個基，則用該基表示向量p＝________．8.在四面體P-ABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，PA＝PB＝2，PC＝1，E是AB的中點(diǎn)．建立空間直角坐標(biāo)系，分別求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))的坐標(biāo)．9.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)試用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，AA1表示eq\o(EF,\s\up6(→)).培優(yōu)生10.定義向量p在基{a，b，c}下的坐標(biāo)如下：若p＝xa＋yb＋zc，則(x，y，z)叫作p在基{a，b，c}下的坐標(biāo)．已知向量p在基{a，b，c}下的坐標(biāo)為(2，1，－1)，則p在基{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為________，在基{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為________．11．已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作為空間的一組基？若能，試以此基底表示向量eq\o(OD,\s\up6(→))＝2e1－e2＋3e3；若不能，請說明理由．課時作業(yè)(十四)空間向量的分解與坐標(biāo)表示1．解析：eq\o(OA,\s\up6(→))＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10).答案：A2．解析：對于選項(xiàng)A：三個非零向量能構(gòu)成空間的一組基，則三個非零向量不共面，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：三個非零向量不共面，則此三個向量可以構(gòu)成空間的一組基，若兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一組基，則這三個向量共面，則已知的兩個向量共線，所以選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，∴a，b，c共面，不能構(gòu)成基，所以選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D：∵eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))共起點(diǎn)，若O、A、B、C四點(diǎn)不共面，則必能作為空間的一組基，所以選項(xiàng)D正確．答案：ABD3．解析：因?yàn)閧e1，e2，e3}是空間的一組基，所以e1，e2，e3不共面，所以λ＝μ＝ν＝0，即λ＋μ＋ν＝0.答案：04．解析：∵a＝i＋j－4k，b＝i－2j＋2k，∴m＝a＋b＝2i－j－2k，∴向量m在j，k上的投影分別為－1，－2.5．解析：依題意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,k)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,k)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(3,k)eq\o(OC,\s\up6(→))，由四點(diǎn)共面，則系數(shù)和eq\f(1,k)＋eq\f(2,k)＋eq\f(3,k)＝1，則k＝6.答案：D6．解析：A：因?yàn)閑q\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OC,\s\up6(→))，且eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)≠1，利用平面向量基本定理知：點(diǎn)M不在平面ABC內(nèi)，向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))能構(gòu)成空間一組基；B：因?yàn)閑q\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋2eq\o(MC,\s\up6(→))，利用平面向量基本定理知：向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，不能構(gòu)成空間一組基；C：由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，1＋2＋3≠1，利用平面向量基本定理和空間平行六面體法知：OM是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的對角線，向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))能構(gòu)成空間一組基；D：由eq\o(MA,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))－2eq\o(MC,\s\up6(→))，根據(jù)平面向量的基本定理知：向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，不能構(gòu)成空間的一組基．答案：AC7．解析：由題意，不妨設(shè)p＝x(a＋b)＋y(2a－b)＋zc，由空間向量分解的唯一性：p＝x(a＋b)＋y(2a－b)＋zc＝a＋2b＋3c，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝1，,x－y＝2，,z＝3，))解得x＝eq\f(5,3)，y＝－eq\f(1,3)，z＝3.則p＝eq\f(5,3)(a＋b)－eq\f(1,3)(2a－b)＋3c.答案：eq\f(5,3)(a＋b)－eq\f(1,3)(2a－b)＋3c8．解析：如圖，以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．所以P(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，1).又因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以E(1，1，0).eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，2，0)－(2，0，0)＝(－2，2，0)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，1，0)－(0，0，1)＝(1，1，－1).9．解析：(1)證明：因?yàn)锳C1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)AA1＋eq\f(2,3)AA1＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)AA1)＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)AA1)＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，所以AC1，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))共面，又AC1，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))過同一點(diǎn)A，所以A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)DD1－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)BB1＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1．10．解析：由條件知p＝2a＋b－c.設(shè)p在基{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∵a，b，c不共面，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝1，,z＝－1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(1,2)，,z＝－1.))即p在基{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\f(1,2)，－1)，同理可求得p在基{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為(1，1，1).答案：(eq\f(3,2)，eq\f(1,2)，－1)(1，1，1)11．解析：能作為空間的一組基底．假設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面，由向量共面的充要條件知存在實(shí)數(shù)x，y使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))成立，e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，又因?yàn)閧e1，e2，e3}是空間的一組基，所以e1，e2，e3不共面．因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1,x＋y＝2,2x－y＝－1))，此方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)x，y使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能作為空間的一組基．設(shè)eq\o(OD,\s\up6(→))＝peq\o(OA,\s\up6(→))＋qeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則有2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2