第二章物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)

第二章物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)主要內(nèi)容：系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型線性系統(tǒng)微分方程的建立；拉氏變換運(yùn)用拉氏變換法求解線性微分方程；傳遞函數(shù)的概念和性質(zhì)；結(jié)構(gòu)圖的繪制及其等效變換；結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖的關(guān)系；梅遜公式。本章重點(diǎn)：通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)著重了解控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本知識(shí)，熟練掌握線性定常系統(tǒng)微分方程的建立、傳遞函數(shù)的概念和應(yīng)用知識(shí)、控制系統(tǒng)方框圖的構(gòu)成和等效變換方法、典型閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的基本概念?！?-1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)：一個(gè)由相互作用的各部分組成的具有一定功能的整體。自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成可以是電氣的，機(jī)械的，液壓的，氣動(dòng)的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)模型來研究自動(dòng)控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住這些系統(tǒng)的共同運(yùn)動(dòng)規(guī)律，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是通過物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)等定律來描述的，如機(jī)械系統(tǒng)的牛頓定律，電氣系統(tǒng)的克?；舴蚨傻榷际怯脕砻枋鱿到y(tǒng)模型的基本定律。§2-1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型研究數(shù)學(xué)模型的意義是什么？1、是定量分析、計(jì)算機(jī)仿真、系統(tǒng)設(shè)計(jì)的需要2、是尋找一個(gè)較好的控制規(guī)律的需要數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。簡(jiǎn)單地說，數(shù)學(xué)模型就是描述系統(tǒng)中各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)形式和方法。經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論都以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定量分析和設(shè)計(jì)，因此系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立和簡(jiǎn)化是自動(dòng)控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)需要解決的首要問題?！?-1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型工程控制中常用的數(shù)學(xué)模型有三種：傳遞函數(shù)----------復(fù)域描述頻率特性----------頻域描述微分方程----------時(shí)域描述本章主要介紹微分方程與傳遞函數(shù)兩種數(shù)學(xué)模型&系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立方法控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立有分析法和實(shí)驗(yàn)法。分析法是對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理或化學(xué)定律，分別列寫各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，可稱為機(jī)理分析法或解析法。實(shí)驗(yàn)法（又稱系統(tǒng)辨識(shí)）是人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。§2-1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

線性系統(tǒng)微分方程的建立

步驟：1.分析系統(tǒng)和元件的工作原理，找出各物理量之間的關(guān)系，確定輸出量及輸入量。2.設(shè)中間變量，依據(jù)物理、化學(xué)等定律忽略次要因素列寫微分方程式。

3.將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標(biāo)準(zhǔn)方程。

§2-1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

線性系統(tǒng)微分方程的建立

所謂標(biāo)準(zhǔn)方程包含三方面的內(nèi)容：①將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊；②各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列；③將方程的系數(shù)通過元件或系統(tǒng)的參數(shù)化成具有一定物理意義的系數(shù)?！?-1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

例1編寫如圖1所示RLC電路的微分方程式

圖1

RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)

解:

(1)定輸入輸出量:

u----輸入量

uc----輸出量

（3）消去中間變量,可得電路微分方程式(2)列寫微分方程式中§2-1系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

常見機(jī)電元件介紹

機(jī)械元件有三種:即質(zhì)量塊或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體；彈簧（彈性元件）；阻尼器。

電器元件有三種:即電阻；電容；電感。

這6種元件從能量角度來劃分，可分為貯能元件和耗能元件。

§2-1系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

常見機(jī)電元件介紹

1、機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)方程

機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)方程（數(shù)學(xué)表達(dá)式）

2、電容、電感的微分方程3、阻尼器的微分方程

微分方程式的編寫例1:列寫圖1所示RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程式i(t)R

ur(t)Cuc(t)圖1RC無源網(wǎng)絡(luò)

(1)確定電路的輸入量和輸出量。由電路可知，R、C為常量，依據(jù)實(shí)際工作情況確定ur(t)為輸入電壓，uc(t)為輸出電壓。(2)依據(jù)電路工作原理選電流i(t)為中間變量。依據(jù)電學(xué)定律列寫方程式。（1）（2）第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例彈簧阻尼系統(tǒng)f—粘滯摩擦系數(shù)k—彈簧系數(shù)v—物體相對(duì)的移動(dòng)速度例1編寫如圖1所示RLC電路的微分方程式

圖1

RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)

解:

(1)定輸入輸出量:

u----輸入量

uc----輸出量

（3）消去中間變量,可得電路微分方程式(2)列寫微分方程式中例機(jī)械傳遞系統(tǒng)xa和xb作為網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)。在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，力的和等于零。綜合兩個(gè)方程可以得到：“D”表示微分算子第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型求質(zhì)量m在外力F的作用下，質(zhì)量m的位移x的運(yùn)動(dòng)。設(shè)系統(tǒng)已處于平衡狀態(tài)，相對(duì)于初始狀態(tài)的位移、速度、加速度例2-1-3彈簧-質(zhì)量-阻尼器（S-M-D）機(jī)械位移系統(tǒng)m圖2-1-3彈簧系統(tǒng)*比較R-L-C電路運(yùn)動(dòng)方程與M-S-D機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程相似系統(tǒng)：揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系三、非線性系統(tǒng)的線性化1）線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)是由線性元件組成的系統(tǒng)，線性微分方程用來描述線性系統(tǒng)。若微分方程的系數(shù)是常數(shù)稱線性定常系統(tǒng)，或線性時(shí)不變系統(tǒng)。這是經(jīng)典控制論主要研究的對(duì)象，因?yàn)樗梢苑奖愕剡M(jìn)行拉氏變換，并求得傳遞函數(shù)。三、非線性系統(tǒng)的線性化1）線性系統(tǒng)同時(shí)滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)線性條件：同時(shí)滿足疊加性和齊次性。也就是說，一個(gè)線性系統(tǒng)應(yīng)滿足：2.非線性系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)中只要有一個(gè)元件具有非線性特性時(shí),就叫做非線性系統(tǒng),如下圖所示:線性部分非線性系統(tǒng)是由非線性微分方程來描述其運(yùn)動(dòng)特性.常見的非線性特性：嚴(yán)格說來，構(gòu)成控制系統(tǒng)的元部件的輸出量與輸入信號(hào)之間，都具有不同程度的非線性。比如機(jī)械傳動(dòng)中，相互運(yùn)動(dòng)都有摩擦，這樣在開始階段就一定存在著不靈敏區(qū)，致使輸出和輸入之間不能是線性關(guān)系。又如磁路存在飽和問題，晶體管的輸入、輸出特性等等。

（a）不靈敏區(qū)特性

（c）晶體管輸入特性（d）晶體管輸出特性（b）磁滯特性非線性系統(tǒng)的線性化：對(duì)于高階微分方程，在數(shù)學(xué)上不可能求得一般形式的解。因此，在研究這類問題時(shí)，在理論上將會(huì)遇到困難。矛盾推動(dòng)著事物不斷向前發(fā)展，人們根據(jù)理想化的思想，找到了“線性化”這一方法，較好地解決了很多非線性問題。線性化是指將非線性微分方程，在一定條件下近似轉(zhuǎn)化為線性微分方程的過程。３．線性化方法：①小偏差線性化的基本概念小偏差線性化的實(shí)質(zhì)是：在系統(tǒng)工作點(diǎn)附近，將方程利用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，忽略高次項(xiàng)的方法。其幾何意義是：在預(yù)期工作點(diǎn)附近，用通過該點(diǎn)的切線近似代替原來的曲線。②注意事項(xiàng)1．應(yīng)用小偏差線性化時(shí)，必須明確預(yù)定平衡工作點(diǎn)的參數(shù)值，對(duì)于不同的工作點(diǎn)，得出的線性微分方程的系數(shù)一般是不一樣的。2．如果元、部件或系統(tǒng)的原有特性接近線性時(shí)，線性化得到的方程對(duì)偏差信號(hào)變化范圍較大時(shí)，仍能適用。反之，線性化運(yùn)動(dòng)方程只能適用于偏差信號(hào)為微量的情況。③小偏差線性化的使用條件：（1）在工作點(diǎn)附近信號(hào)變化為微量；（2）在工作點(diǎn)附近能展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)。（3）本質(zhì)非線性不能應(yīng)用小偏差線性化。如圖所示的理想繼電器特性就不能進(jìn)行小偏差線性化。因?yàn)樵撎匦栽谠c(diǎn)不連續(xù)，不能進(jìn)行臺(tái)勞展開，的所有點(diǎn)上的輸出的偏導(dǎo)數(shù)為零，無任何實(shí)用意義。因此該類特性不能應(yīng)用小偏差線性化，此類非線性稱之為本質(zhì)非線性。

1）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；

2）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件所遵循的物理，化學(xué)，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意負(fù)載效應(yīng)。所謂負(fù)載效應(yīng)，就是考慮后一級(jí)對(duì)前一級(jí)的影響。

3）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標(biāo)準(zhǔn)方程。所謂標(biāo)準(zhǔn)方程包含三方面的內(nèi)容：①將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊；②各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列；③將方程的系數(shù)通過元件或系統(tǒng)的參數(shù)化成具有一定物理意義的系數(shù)。4.用解析法建立運(yùn)動(dòng)方程的步驟例直流電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型直流電動(dòng)機(jī)是在控制系統(tǒng)中常用的一種裝置,其示意圖如下所示:直流電動(dòng)機(jī)確定直流電動(dòng)機(jī)的輸入量和輸出量上圖表明,直流電動(dòng)機(jī)的激磁電流,從而磁場(chǎng)恒定不變.電機(jī)的轉(zhuǎn)速與電樞電壓大小有關(guān),與負(fù)載力矩的大小有關(guān).因此輸入量有兩個(gè),一個(gè)是電樞電壓,另一個(gè)是負(fù)載力矩輸出量一個(gè),即轉(zhuǎn)速或角位移列寫原始方程式將電動(dòng)機(jī)分解成二個(gè)更簡(jiǎn)單的部分,一個(gè)是電樞回路部分,另一個(gè)是機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)部分.由基爾霍夫定律,電樞回路部分原始方程為:式(1)中,是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的一個(gè)與方向相反的感應(yīng)電勢(shì).根據(jù)力矩平衡原理,機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)部分的運(yùn)動(dòng)方程為式(2)中,是電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩,是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)部分和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)部分和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù).(3)消去中間變量從式(1)和式(2)中可見,是中間變量,要消去它們,就要找出中間變量與其它因素間的關(guān)系.感應(yīng)電勢(shì)正比于轉(zhuǎn)速和激磁電流產(chǎn)生的磁通量由于激磁電流是恒定的,所以磁通量也恒定,感應(yīng)電勢(shì)僅取決于轉(zhuǎn)速,并可表示為:式(3)中,為反電勢(shì)系數(shù).電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩是激磁磁通和電樞電流的正比函數(shù),由于激磁磁通恒定,故可表為:式(4)中,為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù).將式(1),(2),(3),(4)聯(lián)立得:消去中間變量得電動(dòng)機(jī)輸入輸出方程為:如果電動(dòng)機(jī)的輸出軸配有滾珠軸承并涂高效潤(rùn)滑油,則粘性摩擦系數(shù)可忽略不計(jì),如果電動(dòng)機(jī)輸出軸不帶負(fù)載,即則式(5)可簡(jiǎn)化為:若令:為機(jī)電時(shí)間常數(shù),為電樞回路時(shí)間常數(shù)則式(6)可寫為:有式(7)可知,當(dāng)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后,不再變化,則,從而,式(8)中是電動(dòng)機(jī)的傳遞系數(shù).由于電動(dòng)機(jī)中的電樞回路有一個(gè)儲(chǔ)能元件,并且轉(zhuǎn)動(dòng)部分有慣性,故描寫電動(dòng)機(jī)的微分方程式(7)的左端必為二階微分,且有二個(gè)時(shí)間常數(shù).

如果電動(dòng)機(jī)電樞回路中的電感很小,即電樞回路時(shí)間常數(shù)很小可忽略不計(jì),則式(7)可簡(jiǎn)化為:二階微分方程簡(jiǎn)化為一階微分方程,給數(shù)學(xué)處理帶來很大的方便,近一步,如電動(dòng)機(jī)為小型電動(dòng)機(jī),其轉(zhuǎn)動(dòng)部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小,從而機(jī)電時(shí)間常數(shù)很小可忽略不計(jì),則式(9)可近一步簡(jiǎn)化為即式(8),成為代數(shù)方程例2.電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型測(cè)速發(fā)電機(jī)直流電動(dòng)機(jī)激磁回路激磁電流電樞電壓運(yùn)算器確定各環(huán)節(jié)的輸入輸出方程運(yùn)算器:如采用的運(yùn)算器僅起比例放大作用,放大倍數(shù)為,則測(cè)速發(fā)電機(jī):如采用的是小型測(cè)速發(fā)電機(jī),則其輸入輸出方程為:式(11)中為測(cè)速發(fā)電機(jī)的傳遞系數(shù),電動(dòng)機(jī)的微分方程為式(7).(2)消去中間變量聯(lián)立式(7),式(10),式(11),消去中間變量則系統(tǒng)的微分方程為:式(12)中為系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)傳遞系數(shù)的乘積,稱為系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù).§2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型由2-1節(jié)的敘述可知,對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)來說,描述其性能的基本數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程,其一般形式為:但從分析系統(tǒng)性能的方便與否這一角度衡量,微分方程雖是基本的數(shù)學(xué)模型,卻并不是一個(gè)使用起來最方便的數(shù)學(xué)模型.因?yàn)閺奈⒎址匠坛霭l(fā)分析系統(tǒng)的性能,就必須求出微分方程的解,而對(duì)于階數(shù)大于2的微分方程來說,求解并非易事.其次,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化后對(duì)系統(tǒng)性能的影響也很難從微分方程本身及其解中很容易地看出來,這就對(duì)分析系統(tǒng)尤其是綜合系統(tǒng)帶來很大的困難.

對(duì)于解高階微分方程的困難,可用拉氏變換,將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算,求出微分方程的解.

從而人們?cè)O(shè)想,能否利用拉氏變換這一工具,不解微分方程,就能知道系統(tǒng)的性能,甚至當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化后,也能方便地看出它對(duì)系統(tǒng)性能的影響呢?這就引出了傳遞函數(shù)概念.傳遞函數(shù)在古典自控理論中是一個(gè)很重要的函數(shù),古典自控理論的兩大分支,根軌跡法和頻率法,就是在傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上建立起來的.1.傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)例:一RC電路如下圖所示,設(shè)在開關(guān)K閉合的瞬間時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn),即t=0,且此時(shí)電容兩端的電壓為開關(guān)K閉合后不再打開,則在RC電路輸入端加了一恒定的電壓,其幅值為RC電路的微分方程為:令為RC電路的時(shí)間常數(shù),則式(13)為:對(duì)式(14)兩邊進(jìn)行拉氏變換,得:式(15)中,而因?yàn)槭欠禐榈碾A躍電壓,故代入式(16),得:對(duì)式(17)兩邊進(jìn)行拉氏反變換,得:上式中等式右邊第一項(xiàng)是在電容兩端的初始電壓由輸入電壓激勵(lì)下的輸出分量,也叫零初始條件響應(yīng),第二項(xiàng)是由初始條件激勵(lì)下的輸出分量,也叫零輸入響應(yīng).如令,即初始條件為零,則式(16)為把叫所舉例中RC電路的傳遞函數(shù),從而RC電路可用下面方塊圖表示:由上例,可得系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的傳遞函數(shù)的如下定義:設(shè)單輸入-單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為:當(dāng)初始條件為零時(shí),系統(tǒng)輸出量的拉氏變換表達(dá)式與系統(tǒng)輸入量的拉氏變換表達(dá)式之比,稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù),其一般表達(dá)式為:下面給出傳遞函數(shù)的若干性質(zhì):1)傳遞函數(shù)是兩個(gè)復(fù)變量s的有理多項(xiàng)式之比,且m<=n

即傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù),具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì).兩個(gè)多項(xiàng)式中的所有系數(shù)均為實(shí)數(shù).

傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而與系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)的形式和大小無關(guān).3)傳遞函數(shù)的分母稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式,如令分母則叫系統(tǒng)的特征方程,特征方程的根叫系統(tǒng)的極點(diǎn),也叫傳遞函數(shù)的極點(diǎn),n叫系統(tǒng)的階數(shù),如令傳遞函數(shù)的分子求得的根叫系統(tǒng)的零點(diǎn),也叫傳遞函數(shù)的零點(diǎn).從而上式中傳遞函數(shù)的零點(diǎn)為,傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為,而稱為傳遞函數(shù)的根軌跡增益.當(dāng)s=0時(shí),稱為傳遞函數(shù)的傳遞系數(shù).系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)以及傳遞系數(shù)對(duì)輸出的影響請(qǐng)參見教材有關(guān)內(nèi)容.傳遞函數(shù)本身的拉氏反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

(或叫單位脈沖過渡函數(shù))g(t),因?yàn)?關(guān)于傳遞函數(shù)定義中的零初始條件作些說明.將輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)的瞬間時(shí)刻t作為時(shí)間的起點(diǎn),即t=0,則不管輸入信號(hào)在t<0期間是否客觀存在,對(duì)于系統(tǒng)來說,輸入信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零,可用數(shù)學(xué)語言表述為:而對(duì)于系統(tǒng)本身來來講,在t<0期間系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài),且其穩(wěn)定的工作狀態(tài)為零狀態(tài),即:在上述意義下,認(rèn)為系統(tǒng)滿足零初始條件.§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng),不管其多么復(fù)雜,總是由若干個(gè)元件按不同的方式根據(jù)一定的目的組合而成.從描述各種元件的行為特征的數(shù)學(xué)模型來看元件,不管元件的結(jié)構(gòu)和作用原理如何千差萬別,其數(shù)學(xué)模型卻有可能完全一樣.因此從元件的數(shù)學(xué)模型來劃分元件的種類,只有幾種最基本的元件或稱為典型環(huán)節(jié).復(fù)雜一些的元件,其數(shù)學(xué)模型可以是幾個(gè)典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型組合.而一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也無非是一些典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型組合而成.因此從分析和綜合系統(tǒng)的角度來看,按數(shù)學(xué)模型來劃分環(huán)節(jié),更能抓住事物的本質(zhì).

在介紹典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)前,先補(bǔ)充算子阻抗法.補(bǔ)充算子阻抗法的目的是為了便于推導(dǎo)所舉典型環(huán)節(jié)的物理原型的傳遞函數(shù).

設(shè)電阻R的輸入信號(hào)是流過電阻的電流,輸出信號(hào)是電阻兩端的電壓,如下圖所示:則對(duì)其兩邊進(jìn)行拉氏變換,得:從而,稱R為電阻的算子阻抗.設(shè)電容C的輸入信號(hào)是流過電容的電流,輸出信號(hào)是電容兩端的電壓,如下圖所示,則設(shè)初始條件為零,對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換,得:稱為電容的算子阻抗.設(shè)電感L的輸入信號(hào)是流過電感的電流,輸出信號(hào)是電感兩端的電壓,如下圖所示,則設(shè)初始條件為零,對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換,得:稱Ls為電感的算子阻抗.由式(21),(22),(23)可見都具有電阻的性質(zhì),從而電路中電容和電感串聯(lián)或并聯(lián)連接時(shí),就與電阻的串聯(lián)或并聯(lián)的運(yùn)算方法一樣.1)比例環(huán)節(jié)當(dāng)右下圖中的運(yùn)放為理想運(yùn)放時(shí)當(dāng)輸入電壓時(shí),比例環(huán)節(jié)輸入和輸出的波形如右圖所示:一般情況下,比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:式(24)中K可大于零也可小于零.2)慣性環(huán)節(jié)(非周期環(huán)節(jié))右圖所示電路即為慣性環(huán)節(jié)一般情況下,慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:當(dāng)輸入信號(hào)時(shí),慣性環(huán)節(jié)輸出的時(shí)間表達(dá)式為其圖形如下圖所示,慣性環(huán)節(jié)傳遞系數(shù)K的物理含意是輸出穩(wěn)態(tài)值與輸入穩(wěn)態(tài)之比,此結(jié)論具有普遍性.慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)的變化速度為:上式表明,在t=0時(shí)刻,慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)的變化速度,如輸出保持t=0時(shí)刻的速度不變,則達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值K所需的時(shí)間即為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T,如下圖所示慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T,也可由另一方法求出,令t=T,即慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)曲線在時(shí)刻T的值為:如上圖所示.3)積分環(huán)節(jié)(a)理想積分環(huán)節(jié)其物理模型如下圖所示:所謂理想積分環(huán)節(jié),是指不僅運(yùn)放是理想的,而且電路中積分電容的漏電流為零,即電容的漏阻無窮大,則理想積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:上式中T=RC為積分時(shí)間常數(shù).當(dāng)時(shí),輸出為:輸出曲線如下圖所示,圖中,由上式可見,當(dāng)t=T時(shí),輸出達(dá)到輸入的幅值,如右圖所示,所以積分時(shí)間常數(shù)T也叫再調(diào)時(shí)間.一般情況下,理想積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:理想積分環(huán)節(jié)有兩個(gè)重要的特性介紹如下:一是飽和特性:對(duì)于理想積分環(huán)節(jié),只要輸入信號(hào)存在,輸出就以1/T的速度對(duì)輸入信號(hào)積分,理論上講輸出將無限上升,但實(shí)際上由于受到元件能源的限制,輸出不可能無限止增長(zhǎng),具有飽和特性.二是記憶特性:若理想積分環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為如下圖所示的矩形信號(hào),則此信號(hào)可分解為兩個(gè)如下圖信號(hào)的疊加由上圖得:理想積分環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)為:其輸出信號(hào)曲線如下圖:可見,當(dāng)理想積分環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)在時(shí)刻突然變?yōu)榱銜r(shí),理想積分環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)并不為零,而是一直保持其在時(shí)刻的輸出值不變,即具有記憶特性.(b)實(shí)際積分環(huán)節(jié)其物理模型如下圖所示:上圖中,當(dāng)電容C具有漏電流時(shí),相當(dāng)于在電容C的兩端并聯(lián)一個(gè)漏電阻.實(shí)際上上圖即為慣性環(huán)節(jié)的物理模型,因此,實(shí)際積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:其單位階躍響應(yīng)曲線見下圖,當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T較大時(shí),曲線上升的很慢,如右圖紅線所示,從而可將其近似看成具有飽和特性的積分環(huán)節(jié).4)微分環(huán)節(jié)(a)理想微分環(huán)節(jié)其物理模型如下圖所示:當(dāng)運(yùn)放是理想運(yùn)放,且電路中微分電容的漏電流為零,即電容的漏阻無窮大,則理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函上式中T=RC為微分時(shí)間常數(shù).當(dāng)數(shù)為:時(shí),輸出為:輸出曲線如下圖所示,輸出是一個(gè)強(qiáng)度為T的脈沖函數(shù),在t=0時(shí)刻輸出一下上升到無窮大,瞬間又跌回到零,既無慣性又在t=0時(shí)刻變化速度為無窮大這在實(shí)際上是無法實(shí)現(xiàn)的.理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的一般形式為:若理想微分環(huán)節(jié)輸入一單位速度信號(hào),則其輸出為:輸入和輸出曲線見下圖,輸出為幅值為T的階躍信號(hào),它反映了輸入信號(hào)的變化速度.(b)實(shí)際微分環(huán)節(jié)在實(shí)際系統(tǒng)中,微分環(huán)節(jié)常帶有慣性,其物理模型如下圖所示,實(shí)際微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:上式中,為實(shí)際微分環(huán)節(jié)的兩個(gè)時(shí)間常數(shù)當(dāng)時(shí),實(shí)際微分環(huán)節(jié)的輸出為:輸入和輸出曲線見下圖,若減小電容,則時(shí)間常數(shù)變小,曲線見下圖綠線,若再減小電容則時(shí)間常數(shù)變得更小,曲線見左圖紅線,可見,當(dāng)足夠小時(shí),實(shí)際微分環(huán)節(jié)就可近似為理想微分環(huán)節(jié).一般情況下,實(shí)際微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:5)二階振蕩環(huán)節(jié)其物理模型如下圖R-L-C電路所示,用算子阻抗法,可的其傳遞函數(shù)為:振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的一般形式為:式(29)中,,稱為無阻尼自然振蕩角頻率,叫阻尼比當(dāng)時(shí),二階振蕩環(huán)節(jié)具有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),其單位階躍響應(yīng)曲線是衰減振蕩的,如下圖所示:將R-L-C電路的傳遞函數(shù)與式(29)相比較,可得R-L-C電路的6)延遲環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)其單位階躍響應(yīng)曲線見下圖:課外習(xí)題:P.71第2-9題,第2-10題§2-4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的元件或系統(tǒng),若要求取它的傳遞函數(shù)可先列寫出它們的微分方程,然后在零初始條件下,求出傳遞函數(shù).但如果系統(tǒng)較復(fù)雜,中間變量較多,則列寫它們的微分方程就很困難,從而求傳遞函數(shù)也就不簡(jiǎn)單.一種簡(jiǎn)便的方法就是利用結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖.控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖都是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳遞的數(shù)學(xué)圖形,它們表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算.結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖的本質(zhì)是代數(shù)方程組各變量之間的關(guān)系的一種圖形表示.一.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成例:一RC網(wǎng)絡(luò)如下圖所示,畫出它的結(jié)構(gòu)圖.畫結(jié)構(gòu)圖的過程為:1.列寫出S域的代數(shù)方程組2.由代數(shù)方程組畫結(jié)構(gòu)圖.控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖由四種基本單元組成:(1)信號(hào)線,如下圖所示:信號(hào)線是帶有箭頭的直線,箭頭表示信號(hào)的流向,在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或時(shí)間函數(shù)的拉氏變換表達(dá)式.(2)引出點(diǎn)(或測(cè)量點(diǎn)),如下圖所示:引出點(diǎn)表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置,從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同.(3)比較點(diǎn)(或綜合點(diǎn)或加減點(diǎn)),如下圖所示:比較點(diǎn)表示兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算,“+”表示相加,“--”表示相減,習(xí)慣上“+”可省略不寫.需指出的是,比較點(diǎn)的輸入信號(hào)須具有相同的物理屬性和單位,比較點(diǎn)的輸出信號(hào)只有一個(gè).方框(或環(huán)節(jié)),如下圖所示:箭頭指向方框的信號(hào)線表示該方框的輸入信號(hào),箭頭離開方框的信號(hào)線表示該方框的輸出信號(hào),方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù),且有二.結(jié)構(gòu)圖的基本形式和等效變換從大量的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),不管系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)如何錯(cuò)綜復(fù)雜地連接,但從分析的角度看,不外乎有下列三種基本形式(1)串聯(lián)連接,如下圖所示:其等效傳遞函數(shù)為:并聯(lián)連接,如下圖所示,其等效傳遞函數(shù)為:(3)反饋連接,如下圖所示,圖中,為前向通道傳遞函數(shù),為反饋通道傳遞函數(shù)由圖可得:消去中間變量和得反饋連接的閉環(huán)傳遞函數(shù)為如把反饋通道在A點(diǎn)處斷開,如下圖所示,

得叫閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù).從而閉環(huán)傳遞函數(shù)可表為:前向通道傳遞函開環(huán)傳遞函數(shù)上面結(jié)論具有一般性.如,則上式表明,當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)大大大于1時(shí),閉環(huán)傳遞函數(shù)與前向通道傳遞函無關(guān),僅為反饋通道傳遞函數(shù)的倒數(shù),這是反饋控制系統(tǒng)的基本優(yōu)點(diǎn).特別的是,如果,則稱為單位反饋,此時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:對(duì)于下圖所示的同一個(gè)系統(tǒng),不同信號(hào)間的傳遞函數(shù)是不相同的.對(duì)于左圖,輸出關(guān)于輸入的傳遞函數(shù)前已推出為:但對(duì)于關(guān)于輸入的傳遞函數(shù)可由下圖求得為:但是,和的分母即它們的特征多項(xiàng)式完全一樣.對(duì)于一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng),不管其結(jié)構(gòu)圖多么復(fù)雜,總可通過一些等效變換的方法,把它簡(jiǎn)化成上面三種基本形式,從而求出它的傳遞函數(shù).下面介紹五種常用的等效變換法則.(1)信號(hào)引出點(diǎn)后移(2)信號(hào)引出點(diǎn)前移(3)信號(hào)比較點(diǎn)后移信號(hào)比較點(diǎn)前移(5)信號(hào)比較點(diǎn)交換或合并教材P.49~P.50表2-1給出了結(jié)構(gòu)圖等效變換的若干基本法則.三.復(fù)雜結(jié)構(gòu)圖傳遞函數(shù)的求取例1:利用結(jié)構(gòu)圖等效變換法則求下圖的傳遞函數(shù)解:由上圖得例2:利用結(jié)構(gòu)圖等效變換法則求下圖的傳遞函數(shù)將上圖重新整理成下圖:信號(hào)比較點(diǎn)前移信號(hào)比較點(diǎn)重新組合由上面簡(jiǎn)化后的結(jié)構(gòu)圖可得其傳遞函數(shù)為:四.反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例:設(shè)某負(fù)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示:求在和同時(shí)作用下的表達(dá)式及分別的傳遞函數(shù).對(duì)和解:令得令上圖可等效為下圖,由上圖得:因此求對(duì)的傳遞函數(shù)時(shí),令,題中給出的圖可等效為下圖:則求對(duì)的傳遞函數(shù)時(shí),令,題中給出的圖可等效為下圖:則課外習(xí)題:P.71第2-11題

P.73第2-17題(a)﹑(b)﹑(c)﹑(d)﹑(f),第2-18題五.信號(hào)流圖及梅遜增益公式

信號(hào)流圖的本質(zhì),是用小圓點(diǎn)和帶箭頭的直線組成的圖型,來表示一個(gè)或一組線性代數(shù)方程,然后利用梅遜公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù).

例1設(shè)有一組線性代數(shù)方程為:

X2=a12X1+a32x3X3=a23X2+a43X4X4=a24X2+a34X3+a44X4X5=a25X2–a45X4

信號(hào)流圖中的術(shù)語節(jié)點(diǎn):表示變量或信號(hào)的小圓點(diǎn).方程組中有幾個(gè)變量,就可用相應(yīng)數(shù)目的節(jié)點(diǎn).支路:連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段.線段上箭頭的方向,表示信號(hào)流通的方向.支路旁標(biāo)明的數(shù)字﹑字母或表達(dá)式稱為支路傳輸值或稱為支路傳輸增益.支路上的箭頭指向節(jié)點(diǎn),叫該節(jié)點(diǎn)的輸入支路,支路上的箭頭離開節(jié)點(diǎn),叫該節(jié)點(diǎn)的輸出支路.X4X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25注意:(1)信號(hào)在節(jié)點(diǎn)上只能相加;(2)根據(jù)線性代數(shù)方程組,先確定變量數(shù)目,依此排列,然后畫圖;(3)流入節(jié)點(diǎn)的信號(hào)可以各不相同,但流出節(jié)點(diǎn)的信號(hào)表示同一個(gè)信號(hào).輸入節(jié)點(diǎn):只有輸出支路的節(jié)點(diǎn),叫輸入節(jié)點(diǎn),也叫源節(jié)點(diǎn),如X1.輸出節(jié)點(diǎn):只有輸入支路的節(jié)點(diǎn),叫輸出節(jié)點(diǎn),也叫匯節(jié)點(diǎn),如X5.混合節(jié)點(diǎn):既有輸入支路,又有輸出支路的節(jié)點(diǎn),叫混合節(jié)點(diǎn).

如X2,X3,X4.增加一條單位傳輸支路,可使混合節(jié)點(diǎn)變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn),但不能使其變?yōu)檩斎牍?jié)點(diǎn).X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X41X2通道:凡從某一節(jié)點(diǎn)開始,沿支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過一些節(jié)點(diǎn)而終止在另一節(jié)點(diǎn)或同一節(jié)點(diǎn)的路經(jīng),統(tǒng)稱為通道.開通道:如果通道從某一節(jié)點(diǎn)開始終止在另一節(jié)點(diǎn)上,而且通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次,該通道叫開通道.

閉通道:如果通道的終點(diǎn)就是通道的始點(diǎn),而且通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次,該通道叫閉通道.也叫回環(huán),回路.如a44,a34a43,

a23a32.但a23a34a43a32不是.前向通道:在開通道中,從源節(jié)點(diǎn)始到匯節(jié)點(diǎn)止,并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次的通道.在確定前向通道時(shí),首先要明確源節(jié)點(diǎn)與匯節(jié)點(diǎn).X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4不接觸回路:如果一些