同濟大學(xué)第章概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題

同濟大學(xué)第章概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題2024-01-20目錄CONTENTS概率論基本概念一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基本概念與參數(shù)估計假設(shè)檢驗與方差分析回歸分析初步01概率論基本概念樣本空間定義及例子事件定義及例子事件間的關(guān)系與運算樣本空間與事件概率的古典定義概率的幾何定義概率的公理化定義概率的性質(zhì)01020304概率定義及性質(zhì)條件概率的定義及計算多個事件的獨立性事件的獨立性定義及判斷獨立重復(fù)試驗條件概率與獨立性01020304劃分與全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式的應(yīng)用舉例先驗概率與后驗概率全概率公式與貝葉斯公式02一維隨機變量及其分布設(shè)隨機試驗的樣本空間為S，如果對于每一個樣本點e∈S，都有一個實數(shù)X(e)與之對應(yīng)，則稱X=X(e)為隨機變量。隨機變量定義隨機變量具有可測性、單值性和對應(yīng)關(guān)系的確定性。隨機變量的性質(zhì)隨機變量定義及性質(zhì)如果隨機變量X的所有可能取值是有限個或可列個，則稱X為離散型隨機變量。離散型隨機變量的定義離散型隨機變量的分布律可以用分布列來表示，即列出隨機變量X取各個可能值的概率。離散型隨機變量的分布律離散型隨機變量及其分布律連續(xù)型隨機變量的定義如果隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，則稱X為連續(xù)型隨機變量。連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)f(x)是分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)，它描述了隨機變量在某個確定點取值的概率密度。連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)隨機變量函數(shù)的定義設(shè)X是一個隨機變量，g(x)是一個實函數(shù)，則Y=g(X)也是一個隨機變量，稱Y為X的函數(shù)。隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布可以通過求解分布函數(shù)或概率密度函數(shù)得到。對于離散型隨機變量，可以通過求解各取值的概率得到其函數(shù)分布；對于連續(xù)型隨機變量，可以通過求解概率密度函數(shù)的變換得到其函數(shù)分布。隨機變量函數(shù)分布03多維隨機變量及其分布描述二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布律或聯(lián)合密度函數(shù)。計算二維隨機變量$(X,Y)$落在某一區(qū)域內(nèi)的概率$P{(X,Y)inD}$。判斷二維隨機變量$(X,Y)$是否相互獨立。二維隨機變量聯(lián)合分布計算條件概率$P{Xleqx|Y=y}$和$P{Yleqy|X=x}$。討論條件分布與邊緣分布的關(guān)系。求二維隨機變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布律或邊緣密度函數(shù)。邊緣分布與條件分布

相互獨立隨機變量判斷兩個隨機變量是否相互獨立，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$是否成立。若相互獨立，計算它們的聯(lián)合分布律或聯(lián)合密度函數(shù)。討論相互獨立隨機變量的性質(zhì)和應(yīng)用。求多維隨機變量函數(shù)的分布律或密度函數(shù)，如$Z=X+Y$，$Z=max(X,Y)$等。計算多維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。討論多維隨機變量函數(shù)分布的性質(zhì)和應(yīng)用。多維隨機變量函數(shù)分布04數(shù)理統(tǒng)計基本概念與參數(shù)估計總體樣本統(tǒng)計量總體、樣本與統(tǒng)計量研究對象的全體個體組成的集合，常用大寫字母表示。從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體性質(zhì)，常用小寫字母表示。由樣本數(shù)據(jù)計算得出的用于描述樣本特征的量，如樣本均值、樣本方差等。用樣本矩作為總體矩的估計量，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)使得似然函數(shù)取得最大值的參數(shù)值作為估計量，適用于總體分布形式已知且參數(shù)未知的情況。點估計方法最大似然估計法矩估計法置信區(qū)間法利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個包含總體參數(shù)的區(qū)間，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)的可信程度，即置信水平。樞軸量法通過構(gòu)造一個包含總體參數(shù)和樣本數(shù)據(jù)的樞軸量，并根據(jù)樞軸量的分布性質(zhì)給出參數(shù)的置信區(qū)間。區(qū)間估計方法估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)，即估計量在多次重復(fù)抽樣下的平均值等于總體參數(shù)真值。無偏性有效性一致性對于同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，方差更小的估計量更有效。隨著樣本量的增加，估計量的值逐漸趨近于總體參數(shù)的真值。030201評價估計量標(biāo)準(zhǔn)05假設(shè)檢驗與方差分析確定拒絕域0102030405根據(jù)實際問題，提出原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$。根據(jù)假設(shè)選擇合適的檢驗統(tǒng)計量，如$Z$檢驗、$t$檢驗等。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計算檢驗統(tǒng)計量的值。根據(jù)顯著性水平$alpha$，確定拒絕域的形式。根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的值是否落在拒絕域內(nèi)，作出接受或拒絕原假設(shè)的決策。假設(shè)檢驗基本原理和步驟選擇檢驗統(tǒng)計量建立假設(shè)作出決策計算檢驗統(tǒng)計量的值0102030405單個正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗$Z$檢驗：當(dāng)總體方差$sigma^2$已知時，使用$Z$檢驗對總體均值$mu$進行假設(shè)檢驗。單個正態(tài)總體方差假設(shè)檢驗$t$檢驗：當(dāng)總體方差$sigma^2$未知時，使用$t$檢驗對總體均值$mu$進行假設(shè)檢驗。$chi^2$檢驗：使用$chi^2$檢驗對總體方差$sigma^2$進行假設(shè)檢驗。單個正態(tài)總體均值和方差假設(shè)檢驗010405060302兩個正態(tài)總體均值比較假設(shè)檢驗兩獨立樣本$t$檢驗：當(dāng)兩總體方差相等且未知時，使用兩獨立樣本$t$檢驗對兩總體均值進行比較。Welch$t$檢驗：當(dāng)兩總體方差不相等時，使用Welch$t$檢驗對兩總體均值進行比較。配對樣本$t$檢驗：當(dāng)兩總體存在配對關(guān)系時，使用配對樣本$t$檢驗對兩總體均值進行比較。兩個正態(tài)總體方差比較假設(shè)檢驗$F$檢驗：使用$F$檢驗對兩總體方差進行比較。兩個正態(tài)總體均值和方差比較假設(shè)檢驗通過計算不同來源的變異（組內(nèi)變異和組間變異），比較它們的大小來判斷因素對結(jié)果是否有顯著影響。方差分析基本原理研究單一因素對結(jié)果的影響，通過比較不同水平下的均值差異來判斷因素對結(jié)果是否有顯著影響。單因素方差分析研究多個因素對結(jié)果的影響及因素間的交互作用，通過構(gòu)建不同的模型來判斷各因素對結(jié)果的影響程度。多因素方差分析方差分析原理及應(yīng)用06回歸分析初步參數(shù)估計利用樣本數(shù)據(jù)對回歸系數(shù)進行估計，得到回歸方程的斜率和截距。擬合優(yōu)度評估通過計算決定系數(shù)R^2評估模型的擬合優(yōu)度，判斷自變量和因變量之間的線性關(guān)系強度。建立一元線性回歸模型根據(jù)給定的樣本數(shù)據(jù)，通過最小二乘法確定回歸系數(shù)，建立一元線性回歸模型。一元線性回歸模型建立及參數(shù)估計03殘差分析對殘差進行可視化分析和統(tǒng)計檢驗，以檢查模型的假設(shè)條件是否滿足。01回歸方程顯著性檢驗通過F檢驗或t檢驗對回歸方程進行顯著性檢驗，判斷自變量對因變量的影響是否顯著。02預(yù)測區(qū)間構(gòu)建利用回歸方程對新的自變量數(shù)據(jù)進行預(yù)測，并構(gòu)建預(yù)測區(qū)間，以評估預(yù)測的可靠性?；貧w方程顯著性檢驗及預(yù)測區(qū)間構(gòu)建多元線性回歸模型建立根