陜西省寶雞市2024屆高三上學(xué)期高考模擬檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

PAGEPAGE1陜西省寶雞市2024屆高三上學(xué)期高考模擬檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.若集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.0 C.2 D.0或1〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時(shí)，由可得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由只有一個(gè)根需滿足，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值為0或1.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面表示的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，，，所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D3.展開(kāi)式中的第四項(xiàng)為（）A. B. C.240 D.〖答案〗B〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以,故選：B4.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由于函數(shù)的定義域?yàn)?，故可排除ABD，故選：C.5.已知直線和圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則“”是“的面積為”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)，所以若，則或.故選：B6.在空間中，下列說(shuō)法正確的是（）A.若的兩邊分別與的兩邊平行，則B.若二面角的兩個(gè)半平面，分別垂直于二面角的兩個(gè)半平面，，則這兩個(gè)二面角互補(bǔ)C若直線平面，直線，則D.到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面有且僅有7個(gè)〖答案〗D〖解析〗根據(jù)等角定理知兩角可能相等也可能互補(bǔ)則A不正確;對(duì)于B根據(jù)條件可得兩個(gè)二面角可能互補(bǔ)也可能相等則B不正確;對(duì)于C直線或，則C不正確；對(duì)于D距離四面體的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面有平面一側(cè)有一個(gè)頂點(diǎn)，另一側(cè)有三個(gè)頂點(diǎn)，這樣的平面有4個(gè)，

它們?yōu)楦髅嫔系母叩闹写姑妫ù怪逼椒指撸?平面兩側(cè)各有兩個(gè)頂點(diǎn)，它們分別過(guò)除一組對(duì)棱外的其余四條棱的中點(diǎn)，這樣的平面有3個(gè)．故共有7個(gè)滿足條件的平面．故D正確.故選：D7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.由可得：.因?yàn)?，所?所以故選：C.8.三棱錐中，平面，為等邊三角形，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，點(diǎn)為外接圓的圓心，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作線段的垂線，所作兩條垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，因?yàn)槠矫?，且為等邊三角形，，所以四邊形為矩形，，，所以，即三棱錐外接球的半徑，則該三棱錐外接球表面積為.故選：B9.千年寶地，一馬當(dāng)先．2023年10月15日7時(shí)30分，吉利銀河．2023寶雞馬拉松賽在寶雞市行政中心廣場(chǎng)鳴槍開(kāi)跑，比賽吸引了全國(guó)各地職業(yè)選手及路跑愛(ài)好者共2萬(wàn)人的熱情參與．為確?；顒?dòng)順利舉行，組委會(huì)自起點(diǎn)開(kāi)始大約每隔5公里設(shè)置一個(gè)飲水站（志愿者為選手遞送飲料或飲用水，為選手提供能量補(bǔ)給），兩個(gè)飲水站中間設(shè)置一個(gè)用水站（志愿者為選手遞送濕毛巾等，協(xié)助醫(yī)務(wù)工作者），共15個(gè)飲用水服務(wù)點(diǎn)，分別由含甲、乙在內(nèi)的15支志愿者服務(wù)隊(duì)負(fù)責(zé)，則甲隊(duì)和乙隊(duì)服務(wù)類型不同且服務(wù)點(diǎn)不相鄰的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，故共有飲水站8個(gè)，用水站7個(gè)，分別設(shè)為，其中任取2個(gè)飲用水服務(wù)點(diǎn)安排給甲、乙，共有種不同的安排方法，甲隊(duì)和乙隊(duì)服務(wù)類型不同且服務(wù)點(diǎn)不相鄰的時(shí)，可以分別取一個(gè)飲水站和一個(gè)用水站安排給甲、乙共有，再減去其中甲、乙相鄰的情況，相鄰時(shí)，共有，14種情況，故甲隊(duì)和乙隊(duì)服務(wù)類型不同且服務(wù)點(diǎn)相鄰的安排方法為，即滿足甲隊(duì)和乙隊(duì)服務(wù)類型不同且服務(wù)點(diǎn)不相鄰的安排方法有種，由古典概型可知，，故選：B10.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，則（）A.2 B.3 C.4 D.〖答案〗B〖解析〗拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∵直線傾斜角為，∴直線的方程為：.設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為，∴,，聯(lián)立方程組,消去y并整理,得解得,，∴，故選:B．11.已知函數(shù)滿足:,且則的值可能是（）A.17 B.21 C.25 D.29〖答案〗B〖解析〗由已知，所以關(guān)于對(duì)稱，故，，所以，，因?yàn)?，則關(guān)于對(duì)稱，則，，所以，，對(duì)A，當(dāng)，解得，因?yàn)?，故舍去；?duì)B，當(dāng)，解得，當(dāng)，解得，故B正確；對(duì)C，當(dāng)，解得，因?yàn)?，故舍去；?duì)D，當(dāng)，解得，因?yàn)椋噬崛?；故選：B．12.設(shè)，是橢圓與雙曲線（，）的公共焦點(diǎn)，P為它們的一個(gè)交點(diǎn)，，分別為，的離心率，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)點(diǎn)是，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，故令，則，所以，故,故選：A第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.命題“任意，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗若命題“任意，”為真命題，則，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，，，所以，即，所以命題“任意，”為假命題，則的取值范圍為.故〖答案〗為：14.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗由約束條件作出可行域如圖所示：化為.由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)有最小值.故〖答案〗為：.15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，且，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以由正弦定理及二倍角公式可得：，整理可得?又因?yàn)?，所以，則，即.所以在中有，即.因?yàn)椋?所以.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若且，則的最大值為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，且當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù)，所以的大致圖象如下：因?yàn)椋瑸槭谷〉米畲笾?，必然異?hào)，不妨設(shè)，同時(shí)結(jié)合圖象可知，其中滿足，由于，所以，所以，即，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；由于，所以，則的最大值為.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題．17.隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的迅速發(fā)展，人工智能也滲透到生活的方方面面，如：線上繳費(fèi)、指紋識(shí)別、動(dòng)態(tài)導(dǎo)航等，給人們的生活帶來(lái)極大的方便，提升了生活質(zhì)量，為了了解市場(chǎng)需求，某品牌“掃地機(jī)器人”公司隨機(jī)調(diào)查了1000人，記錄其年齡與是否使用“掃地機(jī)器人”得到如下統(tǒng)計(jì)圖表：（分區(qū)間，，……統(tǒng)計(jì)）（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為使用“掃地機(jī)器人”與年齡有關(guān)？是否使用掃地機(jī)器人年齡是否

（2）若以圖表一中的頻率視為概率，現(xiàn)從年齡在的人中隨機(jī)抽取3人做深度采訪，求這3人中年齡在人數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由題意及圖得，公司隨機(jī)調(diào)查了1000人，年齡在人數(shù)：，年齡在人數(shù)：，年齡在人數(shù)且使用掃地機(jī)器人人數(shù)：，年齡在人數(shù)且不使用掃地機(jī)器人人數(shù)：，年齡在人數(shù)且使用掃地機(jī)器人人數(shù)：，年齡在人數(shù)且不使用掃地機(jī)器人人數(shù)：，完成列聯(lián)表如下：是否使用掃地機(jī)器人年齡是否440110270180故而有的把握認(rèn)為使用“掃地機(jī)器人”與年齡有關(guān)．（2）由題意（1）及圖得，由條件可知：X的所有取值有0，1，2，3，，，，，，分布列為X0123P．18.已知四棱錐中，，，，，M為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．（1）證明：設(shè)H為的中點(diǎn)，連接，，，，又，，，又，且平面，平面，又平面，，又，，四邊形為矩形，且．設(shè)N為的中點(diǎn)，連接，，則，且，則，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面．（2）解：由，，得，，由（1）可知，平面，平面，所以平面平面，且平面平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，取向上為正方向作為軸，如圖，平面，如圖，,,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為0，豎坐標(biāo)為，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，由得：，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，，二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．19.已知數(shù)列，若，且．（1）求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1），，又，是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，；（2），且結(jié)合（1）得，，，要使不等式對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，只要，即，由題意可得，解得，只需，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．20.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)M，N在曲線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)，，，，，，，，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．（2）依題的斜率不為0，所以設(shè)，，，聯(lián)立得，，得，，．又因?yàn)镺到的距離，，．又因?yàn)?，，化?jiǎn)得得，所以，綜上，的面積是定值，且該定值為．21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，求證：當(dāng)時(shí)，恒成立；（3）設(shè)，求證：當(dāng)函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，該零點(diǎn)一定不是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）解：時(shí)，，．所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．即的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）證明：因，，令，則，令，則，即在上單調(diào)遞減，且，，即存在唯一，使，且，又因?yàn)?，則，所以時(shí)，恒成立．即．（3）解：由（2）知函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)有唯一零點(diǎn)時(shí)，設(shè)為，則，又，即該函數(shù)的極值點(diǎn)為，代入得，化簡(jiǎn)得，此方程無(wú)解，所以原命題成立．（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)，），且直線l和曲線C交于M，N兩點(diǎn)．（1）求曲線C的普通方程及直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若，求直線l的普通方程．解：（1）由，將兩個(gè)方程左右兩邊平方后相加，可得曲線C的直角坐