陜西省西安市長安區(qū)教育片區(qū)2024屆高三上學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

PAGEPAGE1陜西省西安市長安區(qū)教育片區(qū)2024屆高三上學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題（理）第I卷一?選擇題1.若集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，則或，可得，所以，故A錯(cuò)誤，B正確，例如，則，故CD錯(cuò)誤；故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，，則的實(shí)部與虛部分別為（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，其?shí)部與虛部分別為，.故選：A3.函數(shù)的最小值為（）A.2 B.5 C.6 D.7〖答案〗D〖解析〗由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選:D4.若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由平面截球所得截面圓的面積為，得此截面小圓半徑，而球心到此小圓距離，因此球的半徑，有，所以球的表面積.故選：C5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，下列判斷正確的是（）A.若輸出的，則 B.若輸出的，則C.若輸出的，則 D.輸出的的值可能為7〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，根據(jù)程序框圖可知，如果輸出，則可以取，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，根據(jù)程序框圖可知，如果輸出，則可以取，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，根據(jù)程序框圖可知，如果輸出，則，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，根據(jù)程序框圖可知，如果輸出，則；當(dāng)時(shí)，應(yīng)該輸出，故矛盾，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C6.若函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.在上有最小值 D.的圖象關(guān)于直線對稱〖答案〗D〖解析〗，最小正周期，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.若，所以在上沒有最小值，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以D選項(xiàng)正確.故選：D7.已知是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，對于A，因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對于B，，則為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，，因?yàn)椋?，即，故C錯(cuò)誤；對于D，，則為奇函數(shù)，與均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.8.函數(shù)的最大值為（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗，其中，∴的最大值為.故選：.9.過拋物線的焦點(diǎn)作直線與該拋物線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若在第一象限，的傾斜角為銳角，且為的中點(diǎn)，則的斜率為（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則軸，如圖，由為的中點(diǎn)，得，則，，所以的斜率.故選：B10.如圖，在正方體中，均為棱的中點(diǎn)，現(xiàn)有下列4個(gè)結(jié)論：①平面平面；②梯形內(nèi)存在一點(diǎn)，使得平面；③過可作一個(gè)平面，使得到這個(gè)平面的距離相等；④梯形的面積是面積的3倍.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗令正方體的棱長為2，連接，交分別于點(diǎn)，連接，顯然矩形是正方體的對角面，則，連接，由分別為棱的中點(diǎn)，得，，于是，而，則四邊形是平行四邊形，有，又，平面，則平面，而平面，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，因此平面平面，①正確；取的中點(diǎn)，連接交分別于，有，則∽，，于是，即，而，則，又平面平面，因此，平面，則平面，又平面，則，而平面，于是平面，顯然點(diǎn)在線段上，在梯形內(nèi)，②正確；連接，顯然，即四邊形是平行四邊形，，因此過可作一個(gè)平面，使得平行于這個(gè)平面，點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等，③正確；，且有，，，④正確，所以正確命題的個(gè)數(shù)是4.故選：A11.的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，解得，可得，由余弦定理得，設(shè)，可得，令，可得，即，令，可得，解得或（舍去），當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值.故選：C.12.設(shè)的小數(shù)部分為x，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由，得的整數(shù)部分為4，則，所以，即，故.故選:B.第II卷二?填空題13.雙曲線的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗可化為，，則.故〖答案〗為：14.燒水時(shí)，水溫隨著時(shí)間的推移而變化.假設(shè)水的初始溫度為，加熱后的溫度函數(shù)（是常數(shù)，表示加熱的時(shí)間，單位：min），加熱到第10min時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)樗某跏紲囟葹?，所以，解得，所以，則，所以加熱到第時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是.故〖答案〗為：15.若隨機(jī)變量，且，則__________.〖答案〗10〖解析〗因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)椋?，所以，所?故〖答案〗為：1016.已知函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由，得或，函數(shù)上有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)及在內(nèi)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合，顯然直線與的圖象交于點(diǎn)和，在坐標(biāo)系內(nèi)作出直線和函數(shù)及在內(nèi)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)，且且時(shí)，直線與函數(shù)及在內(nèi)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：三?解答題（一）必考題.17.從某臍橙果園隨機(jī)選取200個(gè)臍橙，已知每個(gè)臍橙的質(zhì)量（單位：）都在區(qū)間內(nèi)，將這200個(gè)臍橙的質(zhì)量數(shù)據(jù)分成這4組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）試問這200個(gè)臍橙中質(zhì)量不低于的個(gè)數(shù)是多少？（2）若每個(gè)區(qū)間的值以該區(qū)間的中間值為代表，估計(jì)這200個(gè)臍橙的質(zhì)量的平均數(shù).解：（1）不低于的頻率為，所以這200個(gè)臍橙中質(zhì)量不低于的個(gè)數(shù)是.（2）平均數(shù)為.18.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）依題意，，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.所以，所以.（2），，兩式相減得，所以.19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，.（1）證明：平面平面.（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在正方形中，，，所以，所以.又因?yàn)?，、平面，所以平?又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，又，所以平面，又平面，所以.又，，所以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，，，則，令，得.因?yàn)?，所以，所以直線與平面所成角正弦值為.20.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.（1）求的方程；（2）若不垂直于軸的直線過點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），分別為在軸上的左、右頂點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）因?yàn)?，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，且長軸長為4的橢圓，設(shè)的軌跡方程為，則，可得．又，所以，所以的方程為．（2）依題意，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得．易知，且．由，得．（方法一）因?yàn)?，所以，所以，所以為定值，且定值為．（方法二）因?yàn)?，所以，所以為定值，且定值為?1.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值，（2）若,證明：當(dāng),且時(shí),恒成立.（1）解：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以在處取得極小值，且極小值為無極大值.（2）證明：的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)，且時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，因?yàn)椋?，又，所?（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求這兩條直線的普通方程（結(jié)果用直線的一般式方程表示）；（2）若這兩條直線與圓都相離，求的取值范圍.解：（1）直線的參數(shù)方程為，則，兩式