上海市普陀區(qū)2024屆高考一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1上海市普陀區(qū)2024屆高考一模數(shù)學(xué)試題一、填空題1.若拋物線的頂點到它的準線距離為，則正實數(shù)______.〖答案〗2〖解析〗，因為為正實數(shù)，則，則，故〖答案〗為：2.2.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足.則______.〖答案〗〖解析〗由，得，所以.故〖答案〗為：3.若圓上的一段圓弧長與該圓的內(nèi)接正六邊形的邊長相等，則這段圓弧所對的圓心角的大小為______.〖答案〗1弧度〖解析〗圓的內(nèi)接正六邊形的邊長等于圓半徑，弧長等于半徑的弧所對圓心角為1弧度角．故〖答案〗為：1弧度．4.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則______.〖答案〗21〖解析〗由是等差數(shù)列，則，即，則有.故〖答案〗為：.5.設(shè)，若.則______.〖答案〗4〖解析〗展開式的通項公式為：，分別令，，，則，即，解得：.故〖答案〗為：4.6.若函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗令，，解得，，令，則其一個單調(diào)增區(qū)間為，則實數(shù)的取值范圍為，故〖答案〗為：.7.設(shè)集合，，若的真子集的個數(shù)是1，則正實數(shù)的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗，則，解得，若的真子集的個數(shù)是1，則中只含有一個元素，因為為正實數(shù)，則，，若，則，解得，若，則，解得，綜上所述，的取值范圍為.故〖答案〗為：.8.設(shè)圓錐的底面中心為，，是它的兩條母線，且，若棱錐是正三棱錐，則該圓錐的側(cè)面積為______.〖答案〗〖解析〗由棱錐為正三棱錐，得，，而⊥，⊥，由勾股定理得，即圓錐的底面圓半徑，母線長，則該圓錐的側(cè)面積為.故〖答案〗：9.若數(shù)列滿足，（，），則的最小值是______.〖答案〗6〖解析〗由已知，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以，設(shè)，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在遞增，因此在時遞減，在時遞增，又，，所以的最小值是6，故〖答案〗為：6.10.設(shè)函數(shù)（）的圖象與直線相交的連續(xù)的三個公共點從左到右依次記為，，，若，則正實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗作出函數(shù)，的大致圖象，如圖，令，，解得，，則函數(shù)的圖象與直線連續(xù)的三個公共點，，，（可以同時往左或往右移動正整數(shù)倍周期長度）即，關(guān)于直線，對稱，，由于，故，而，關(guān)于直線，對稱，故點橫坐標為，將點橫坐標代入，得．故〖答案〗為：.11.設(shè)函數(shù)，若對任意，皆有成立，則實數(shù)的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗，即，即，即對任意恒成立，，即對任意恒成立，對任意恒成立，則，設(shè)，則，令，解得，當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，則，則，故〖答案〗為：.12.體積為的正四面體內(nèi)有一個球，球與該正四面體的各面均有且只有一個公共點，，是球的表面上的兩動點，點在該正四面體的表面上運動，當最大時，的最大值是______.〖答案〗〖解析〗記該正四面體為，如圖，由題意球是該正四面體的內(nèi)切球，顯然在其高上，是底面正的中心，設(shè)，則，，，所以，是內(nèi)切球球心也是其外接球球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為，即，又，由得，，最大時，是球的直徑，，點在該正四面體的表面，當是正四面體的頂點時，取得最大值為，所以的最大值是．故〖答案〗為：．二、選擇題13.若橢圓的兩個頂點和焦點都在圓：上，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的方程是B.過橢圓上的點作圓的切線，一定有兩條C.圓上的點與橢圓上的點的距離的最大值是D.直線與橢圓有交點，與圓無交點〖答案〗C〖解析〗由題知，設(shè)橢圓的方程為，則將代入圓，可得，將橢圓焦點代入圓，可得，所以橢圓中，所以橢圓的方程為，A錯；過橢圓在軸上的頂點，作圓的切線，明顯一條，B錯；圓上的點與橢圓上的點的距離的最大值是，C對；聯(lián)立得，由，所以直線與橢圓有交點，聯(lián)立得，由，所以直線與圓相切，D錯.故選：C.14.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，則該三角形外接圓的半徑為（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗.,設(shè)該三角形外接圓的半徑為由正弦定理得故選：A.15.已知一組數(shù)據(jù)3、1、5、3、2，現(xiàn)加入，兩數(shù)對該組數(shù)據(jù)進行處理，若經(jīng)過處理后的這組數(shù)據(jù)的極差為，則經(jīng)過處理后的這組數(shù)據(jù)與之前的那組數(shù)據(jù)相比，一定會變大的數(shù)字特征是（）A.平均數(shù) B.方差 C.眾數(shù) D.中位數(shù)〖答案〗B〖解析〗對A，將原數(shù)據(jù)從小到大進行排序得1,2,3,3,5；其平均數(shù)為，眾數(shù)為3，中位數(shù)為3，若加入的數(shù)據(jù)為，則平均數(shù)，眾數(shù)為3，中位數(shù)為3，平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均不變，故ACD錯誤；對B，因為加入，兩數(shù)后，極差變?yōu)?，則數(shù)據(jù)波動程度變大，則方差一定變大，故B正確.故選：B.16.已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)有且僅有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當時，，單調(diào)遞增，當時，，根據(jù)反比例函數(shù)的平移可得到，則此時單調(diào)遞增，作出圖象如下圖所示，令，即，則題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線在圖象上有兩個交點，，且直線過定點，當直線經(jīng)過點時，代入得，解得，設(shè)此時直線為，當直線經(jīng)過點時，代入得，解得，設(shè)此時直線，當直線經(jīng)過點時，代入得，解得，設(shè)此時直線為，當時，，，，則在點處的切線斜率為9，設(shè)此時直線為，由圖知當直線在和或和之間轉(zhuǎn)動時，存在兩個交點，同時注意邊界值是否取等可知，故選：D.三、解答題17.我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公眾關(guān)注的熱點話題之一，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某研究機構(gòu)對屬地所在的一社區(qū)進行了調(diào)查，并將隨機抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.（1）經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；（2）經(jīng)統(tǒng)計年齡在的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機選取男女各2人進行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）解：（1）由條件得，指數(shù)，則這50人年齡的第60百分位數(shù)是將他們的年齡按從小到大的順序排列后的第30人與第31人的年齡平均值，由莖葉圖可知，第30人的年齡為44，第31人的年齡為45，則所求的第60百分位數(shù)是44.5.（2）由莖葉圖可知，年齡在的被調(diào)查者共9人，其中6名男性，3名女性，令為至少有三人投贊成票，依題意得，被選中的4人中有兩名女性一名男性投贊成票的概率是被選中的4人中有一名女性兩名男性投贊成票的概率是，被選中的4人中有兩名女性兩名男性投贊成票的概率是，則被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率為.18.圖1所示的是等腰梯形，，，，于點，現(xiàn)將沿直線折起到的位置，形成一個四棱錐，如圖2所示.（1）若，求證：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的大小.（1）證明：如圖所示，連接，因為等腰梯形，，，，，可得，且,即，因為，則，所以,又因為，且，平面，所以平面.（2）解：以為原點，以所在的直線分別為軸，以過點垂直于平面為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，且，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，過點作于點，因為平面平面，所以平面，所以為與平面所成的角，所以，可得，則，設(shè)平面法向量為，則，取，可得，所以，又由軸垂直平面，可得平面的一個法向量為，則，所以二面角的大小.19.設(shè)函數(shù)的表達式為.（1）求證：“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件；（2）若，且，求實數(shù)的取值范圍.（1）證明：函數(shù)的定義域為R，不恒為0，函數(shù)為偶函數(shù)，所以“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件.（2）解：當時，，求導(dǎo)得，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當時，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，又是偶函數(shù)，因此，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或.20.設(shè)雙曲線：（），點是的左焦點，點為坐標原點.（1）若的離心率為，求雙曲線的焦距；（2）過點且一個法向量為的直線與的一條漸近線相交于點，若，求雙曲線的方程；（3）若，直線：（，）與交于，兩點，，求直線的斜率的取值范圍.解：（1）由題意得：，，，解得，所以曲線的焦距為：.（2）由題意可得，所以，且漸近線為，由過點的直線的一個法向量，則得直線的斜率為，所以直線的方程為，由題意可知直線與漸近線交于點，即，解得,因為，解得，所以曲線的方程為.（3）由,得曲線的方程為，將直線:與曲線聯(lián)立得：，化簡得，由題意知直線與曲線交于兩點，設(shè)，，則，解得：，且，由根與系數(shù)關(guān)系得：，，設(shè)線段中點為，由，因，所以，得，所以得，即，化簡得，所以，因為，，當且僅當時取等號，所以，得，所以，所以，所以的最小值為，所以得，故的取值范圍為.21.若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足（，），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列：1，2，3，8，49是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）若數(shù)列是首項為的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿足，求的值和數(shù)列的通項公式；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項和，，，試比較與的大小，并證明.解：（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義，則，故，因為成立，成立，不成立，所以不是“數(shù)列”.（2）由是首項為的