四川省宜賓市翠屏區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1四川省宜賓市翠屏區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.函數(shù)的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)定義域?yàn)椋捎?，在上均單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又且無限接近于0時(shí)，趨近于負(fù)無窮，，，，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間內(nèi).故選：C.3.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題知：.故選：C.4.已知某函數(shù)圖象如圖所示，則該函數(shù)〖解析〗式為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，，顯然不滿足圖象，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，顯然不滿足圖象，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，顯然不滿足圖象，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足對(duì)應(yīng)圖象，故D正確.故選：D.5.函數(shù)在時(shí)有最大值為1，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，解得，所以.故選：C.6.已知，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗，所以函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值，所以.故選：B.7.中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，此扇形所在圓面中剩余部分面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”.某扇環(huán)玉雕為“美觀扇面”的一部分，其所在扇面半徑，尺寸（單位：）如圖所示，則該玉雕的扇環(huán)面積為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，解得，所以該玉雕的扇環(huán)面積為.故選：A．8.設(shè)正實(shí)數(shù)分別滿足，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，即，又，所以作函?shù)，則與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，如圖所示：由圖可知：.故選：D.二、多選題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A.B.C.D.〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不同，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：，，定義域都為R，對(duì)應(yīng)法則相同，故B正確；C選項(xiàng)：易得兩個(gè)函數(shù)的定義域均為，，，對(duì)應(yīng)法則相同，故C正確；D選項(xiàng)：，的定義為，的定義域?yàn)椋x域不同，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞增〖答案〗ABD〖解析〗的最小正周期，A選項(xiàng)正確；，所以B選項(xiàng)正確；，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.在下列命題中，正確的是（）A.已知命題：“，都有，則命題的否定：“，都有”B.若函數(shù)滿足，則C.“方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根”的充要條件是“”D.若函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，命題的否定：“，都有”，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由可得，所以，故，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根等價(jià)于，解得，故C正確，對(duì)于D，為奇函數(shù)，則且，解得，故D正確.故選：CD.12.已知為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，記，下列結(jié)論中正確的是（）A.為奇函數(shù)B.若的一個(gè)零點(diǎn)為，且，則C.若在上的所有零點(diǎn)和記為，則D.在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，由題意及誘導(dǎo)公式易知定義域?yàn)镽，且，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，由題意可知，顯然當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足題意，故，即，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由上可知在時(shí)的零點(diǎn)即函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示：上有三個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)依次分別設(shè)為，，又為R上奇函數(shù)，所以上的零點(diǎn)分別為，其和為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，結(jié)合C項(xiàng)，可知上的零點(diǎn)有五個(gè)，分別為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則__________.〖答案〗〖解析〗由題意，所以.故〖答案〗為：.14.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最大值是_________.〖答案〗2〖解析〗由題意，做出函數(shù)圖象如下圖所示：在中，令，解得，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大，最大值是.故〖答案〗為：.15.若函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.〖答案〗〖解析〗由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可知，令，可得，因此函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)；即；所以，顯然，解得或；即函數(shù)的定義域?yàn)?；利用二次函?shù)單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)增區(qū)間為.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由題意當(dāng)即時(shí)，方程有解，即，即當(dāng)且僅當(dāng)在有解，因在上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以若在有解，則只需，則的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.計(jì)算下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.在中，已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由，可得，因?yàn)?，所以，亦可得，由，則，解得，則，所以.（2）原式.19.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）解不等式，即，所以，解得，所以集合.（2）由題可知，對(duì)恒成立，所以解得，故，所以的取值范圍為.20.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）令，判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若函數(shù)的最大值為6，求的值.解：（1）因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，解得，所以，因?yàn)槎x域?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù).（2）由（1）可知，，令，則，開口向下，對(duì)稱軸：，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知在上的最大值為，解得，不符合；②當(dāng)，即時(shí)，在上上單調(diào)遞減，可知在上的最大值為，解得；③當(dāng)，即時(shí)，在上上單調(diào)遞增，可知在上的最大值為，解得；綜上所述：.21.2023年宜賓市新添城市名片“中國(guó)動(dòng)力電池之都”，初步建成較為完整的配套協(xié)同動(dòng)力電池產(chǎn)業(yè)布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產(chǎn)業(yè)鏈.新能源電動(dòng)車主要采用電能作為動(dòng)力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動(dòng)力汽車?純電動(dòng)汽車.有關(guān)部門在國(guó)道上對(duì)某型號(hào)純電動(dòng)汽車進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速.經(jīng)數(shù)次測(cè)試，得到該純電動(dòng)汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示：01040600142044806720為了描述該純電動(dòng)汽車國(guó)道上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③.（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一輛同型號(hào)純電動(dòng)汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國(guó)道上行駛，高速上行駛.假設(shè)該電動(dòng)汽車在國(guó)道和高速上均做勻速運(yùn)動(dòng)，國(guó)道上每小時(shí)的耗電量與速度的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表達(dá)式；高速路上車速（單位：）滿足，且每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系滿足.則當(dāng)國(guó)道和高速上的車速分別為多少時(shí)，該車輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？解：（1）對(duì)于③，，當(dāng)時(shí)，它無意義，不符合題意；對(duì)于②，，當(dāng)時(shí)，，又，所以，不符合原意；因此選①，，由表中的數(shù)據(jù)得，，解得，所以.（2）高速上行駛，所用時(shí)間為，則所耗電量為，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是；國(guó)道上行駛，所用時(shí)間為，則所耗電量為，而，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)這輛車在高速上的行駛速度為，在國(guó)道上的行駛速度為時(shí)，該車從宜賓行駛到重慶某地的總耗電量最少，最少為.22.已知，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有兩個(gè)元素，求的取值范圍；（3）設(shè)，若對(duì)任意的，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于2，求的取值范圍