天津市濱海新區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1天津市濱海新區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間100分鐘．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫(xiě)在答題紙上．答卷時(shí)，考生務(wù)必將〖答案〗寫(xiě)在答題紙上，答在試卷上的無(wú)效．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷選擇題（60分）一、選擇題：本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選〖答案〗填入答題紙中的答題欄內(nèi)．1.直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，直線(xiàn)的斜率為,設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，又，所以，得.故選：B2.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，且，所以，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，故選：D3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則的值為（）A.8 B. C.16 D.±16〖答案〗A〖解析〗因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)的公比為，則，，兩式相除可得，所以，所以，故選：A.4.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A.3 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗數(shù)列滿(mǎn)足，，，，故選：C．5.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是．故選:B.6.《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是（）A.升 B.升 C.升 D.升〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意得該竹子自上而下各節(jié)的容積形成等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，由題意可得，所以，解得，所以，即第5節(jié)竹子的容積為升．故選：A．7.已知正方體的棱長(zhǎng)等于，則的值為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以．故選：B.8.已知三棱錐O-ABC中，點(diǎn)M、N分別為AB、OC的中點(diǎn)，且，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示，連接，可得.故選：D.9.若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線(xiàn)方程可得其漸近線(xiàn)方程為：，，即，則雙曲線(xiàn)方程可化為：，由雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，解得：，，雙曲線(xiàn)方程為：.故選：C.10.已知圓：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）①兩圓的圓心距；②直線(xiàn)AB的方程為；③；④圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為．A.1 B.2C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗圓的圓心，半徑為：2；圓的圓心，半徑為；對(duì)于①，兩圓的圓心距，所以①不正確；對(duì)于②，兩圓相交，兩個(gè)圓的方程作差可得，即，所以②正確；對(duì)于③，圓到直線(xiàn)的距離為：，所以，所以③不正確；對(duì)于④，圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為：，所以④正確；故選：B．11.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（

）A.35 B.48 C.50 D.51〖答案〗A〖解析〗數(shù)列滿(mǎn)足，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)．，所以．故選：A．12.已知雙曲線(xiàn)C：的右焦點(diǎn)為F，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線(xiàn)的左、右兩支上，以AB為直徑的圓恰好過(guò)右焦點(diǎn)F，，且點(diǎn)C在雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，連接，，，

由以AB為直徑的圓恰好過(guò)右焦點(diǎn)F可得AF⊥BF，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得四邊形為矩形，

可設(shè)，則，

在直角三角形中，可得，

即為，

解得，

又在直角三角形中，，即為，

即為，

即有，

故選：B．第Ⅱ卷（90分）注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上．2．本卷共12小題，共90分．二、填空題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．13.過(guò)點(diǎn)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程是________.〖答案〗〖解析〗設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為，而點(diǎn)在直線(xiàn)上，于是得，解得，所以所求的直線(xiàn)的方程為.故〖答案〗為：14.過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的弦與另一個(gè)焦點(diǎn)圍成的的周長(zhǎng)是______．〖答案〗〖解析〗在橢圓中，，由題意可知，的周長(zhǎng)為.故〖答案〗為：.15.準(zhǔn)線(xiàn)方程為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______．〖答案〗〖解析〗拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，說(shuō)明拋物線(xiàn)開(kāi)口向左，且，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是．16.過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)方程是__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以切點(diǎn)為，切線(xiàn)斜率，所以由點(diǎn)斜式寫(xiě)方程得即故〖答案〗為17.拋物線(xiàn)有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后得到的光線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；反之，平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的入射光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后得到的光線(xiàn)必過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線(xiàn)從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)A反射后，到達(dá)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)B，則___________.〖答案〗25〖解析〗將代入，得，即，由拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可知，直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，所以直線(xiàn)AB的斜率為，直線(xiàn)AB的方程為，代入并消去y得，解得，，故.故〖答案〗為：2518.已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則當(dāng)_____________時(shí)，取最大值，的最大值為_(kāi)____________．〖答案〗①5或6②30〖解析〗設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以即，又，所以，，因?yàn)?，圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為所以當(dāng)或時(shí)，取最大值，的最大值為30.故〖答案〗：5或6；30.19.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體，中，E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為_(kāi)_____；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_____.〖答案〗①②〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,0,,,1,,,1,,,1,,,,,，，設(shè)平面的法向量為，則，，，取，則，，是平面的一個(gè)法向量，又，設(shè)與平面所成角為，則，取，，則，，故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為；故〖答案〗為：20.如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)ICME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．，，，…為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為，____________；令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則____________．〖答案〗①②12〖解析〗由題意得，則，，，，，，前項(xiàng)和，故，故〖答案〗為：，12三、解答題：本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．21.已知圓心在直線(xiàn)上，且過(guò)點(diǎn)、．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)直線(xiàn)被所截得的弦長(zhǎng)為4，求直線(xiàn)的方程．解：（1）由點(diǎn)、可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)的斜率為，可得直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)的方程為：即，由可得：，所以圓心為，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為即，圓心到直線(xiàn)的距離，則可得，即，解得：或，所以直線(xiàn)的方程為或，即或22.如圖，是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面，，且.（1）求證:平面;（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)D到平面的距離.解：（1）根據(jù)題意可以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，顯然，又平面，所以平面；（2）由上坐標(biāo)系可知，則，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，則有，，取，則，即，設(shè)平面與平面的夾角為，則；（3）由（2）得平面的一個(gè)法向量為，又，所以點(diǎn)D到平面的距離.23.設(shè)橢圓（）的上頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，已知橢圓的離心率，．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），與直線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，若的面積為，求直線(xiàn)的方程．解：（1）根據(jù)已知條件，，則，又因?yàn)?，所以有，，所以橢圓方程為.（2）根據(jù)已知條件，直線(xiàn)的斜率一定存在，若，則直線(xiàn)方程為，與直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，所以；因?yàn)?，所以直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程有：，即，，，又因?yàn)?，所以，代入直線(xiàn)，得，所以，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：；聯(lián)立，有，所以直線(xiàn)的斜率為，整理有：，設(shè)，則有，因?yàn)?，，即，解得所以，所以，整理有：；因?yàn)樗谥本€(xiàn)方程為：化為一般式，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，整理的，所以的面積為：，，整理有，即，整理有：，解得或；或整理有：，解得或；綜上所述，直線(xiàn)方程為或或或.，24.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，且