橢圓與三角形相關(guān)問(wèn)題的歸類(lèi)解析獲獎(jiǎng)科研報(bào)告論文

橢圓與三角形相關(guān)問(wèn)題的歸類(lèi)解析獲獎(jiǎng)科研報(bào)告論文解析幾何與三角是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，兩者結(jié)合能體現(xiàn)兩主干知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)之間的綜合應(yīng)用，而在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題歷來(lái)受命題者的青睞，在各級(jí)各類(lèi)考試中頻頻出現(xiàn)，各省市和全國(guó)高考卷對(duì)此類(lèi)問(wèn)題也情有獨(dú)鐘.本文就以橢圓和三角形相關(guān)問(wèn)題作一歸類(lèi)解析.

一、三角形邊長(zhǎng)問(wèn)題

例1設(shè)F1、F2為橢圓x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.

分析：本題可以根據(jù)橢圓的定義求出兩焦半徑的長(zhǎng)度，或利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)P的坐標(biāo).但本題并沒(méi)有講哪個(gè)是直角，故要分類(lèi)討論.具體解題過(guò)程不再贅述.

(1)若∠PF2F1為直角，則|PF1|=143,

|PF2|=43,∴|PF1||PF2|=72.

(2)若∠F1PF2為直角，得|PF1|=4,|PF2|=2，故|PF1||PF2|=2.

評(píng)注：這類(lèi)題目往往考查橢圓的一些概念和性質(zhì)，又不失考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)常以選擇題填空題的形式出現(xiàn).

二、橢圓離心率問(wèn)題

例2已知P是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)，O為橢圓中心，F(xiàn)1、F2是左右兩焦點(diǎn)，在△F1PF2中，若∠F1PF2=90°，求橢圓離心率的取值范圍.

解：以O(shè)為圓心，以c為半徑作圓，此圓必定與橢圓有交點(diǎn)，而且交點(diǎn)P顯然滿(mǎn)足∠F1PF2=90°，所以c應(yīng)滿(mǎn)足b≤c評(píng)注：題中△F1PF2稱(chēng)為橢圓的“焦點(diǎn)三角形”，根據(jù)焦點(diǎn)三角形的特

征，解題的主要途徑是：橢圓的兩個(gè)定義(或焦半徑公式)和正余弦定理(或勾股定理)，以及數(shù)形結(jié)合的思想.

若將此題變式為：以長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，角度再作一點(diǎn)變化即可變?yōu)橄旅骖}目(上海市高考題).

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，如果橢圓上存在一點(diǎn)Q使得∠AQB=120°.求橢圓的離心率e的取

值范圍.

三、坐標(biāo)取值范圍問(wèn)題

例3橢圓x24+y2=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

解法一：橢圓x24+y2=1的半焦距c=3

，以O(shè)為圓心，c為半徑作圓x2+y2=3,解x2+y2=3

x24+y2=1得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為±263.又同圓中同弧所對(duì)的角，頂點(diǎn)在圓內(nèi)的角大于頂點(diǎn)在圓周上的角，大于頂點(diǎn)在圓外的角，故當(dāng)P在橢圓和圓的交點(diǎn)間的上下兩段橢圓弧上時(shí)，∠F1PF2為鈍角，所以-263解法二：設(shè)橢圓上點(diǎn)P(2cosθ,sinθ)，則F1P=(2cosθ+3,sinθ),F2P=(2cosθ-3,sinθ),∵∠F1PF2為鈍角，∴F1P摺F2P<0,∴4cos2θ-3+sin2θ<0,∴3cos2θ-2<0，于是，cosθ∈-63,63,∴2cosθ=x∈-263,263.

評(píng)注：與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題的討論常用的方法有：①利用圖形列

出所討論的參數(shù)適合的不等式(組)，通過(guò)解不等式求出參數(shù)的范圍.②把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)，另一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的變化范圍.

四、最值問(wèn)題

例4設(shè)橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸，離心率為33，過(guò)C(-1，0)的直線l交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，滿(mǎn)足CA=2BC.求當(dāng)△AOB面積達(dá)到最大值時(shí)直線l和橢圓E的方程.

解：設(shè)橢圓為2x2+3y2=t(t>0)，直線為my=x+1.

兩方程聯(lián)立，消去x得，(2m2+3)y2-4my+2-t=0.∵CA=2BC擼∴y1=-2y2,而y1+y2=4m2m2+3，得y1=8m2m2+3,y2=-4m2m2+3,∴S△AOB=12|y1-y2|=6|m2m2+3|=62|m|+3|m|≤62.當(dāng)且僅當(dāng)m2=32時(shí)，即m=±62時(shí)，△AOB面積達(dá)到最大值，此時(shí)直線l的方程為x±62y+1=0.由m2=32及y1y2=2-t2m2+3,得t=10,∴橢圓的方程為2x2+3y2=10.

評(píng)注：這類(lèi)問(wèn)題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，往往以解答題形式出現(xiàn)，如2007年浙江省高考第20題.

五、證明問(wèn)題

例5橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的內(nèi)接△PAB和△PCD，邊PA、PB、PC、PD交x軸分別為A1、B1、C1、D1四點(diǎn)，若PA1=PB1,PC1=PD1，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ使得AB=

λCD?

分析：本題特征比較抽象，思路不易形成，運(yùn)算繁雜.但可從以下兩個(gè)方面去思考，一是以坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)邊線為底邊的三角形為等腰三角形，兩腰所在直線的斜率，其絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，有了這一知識(shí)，再考察本例題，PA的斜率與PB的斜率是互為相反數(shù)，即kPA=-kPB，若PA的斜率k1，則PB的斜率為-k1，若PC的斜率為k2，則PD的斜率為-k2.二是計(jì)算A的坐標(biāo)時(shí)利用根與系數(shù)的關(guān)系可使問(wèn)題簡(jiǎn)化.

解：設(shè)P(x0,y0)，PA的斜率為k1，則lPA:y-y0=k1(x-x0),即y=k1x+y0-k1x0，與橢圓方程聯(lián)立可解得A的坐標(biāo)，即聯(lián)立方程得(a2k21+b2)x2+(2a2k1y0-2a2k21x0)x+a2(y0-k1x0)2-a2b2=0(*)

由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故xA+x0=2a2k21x0-2a2k1y0a2k21+b2,xA=2a2k21x0-2a2k1y0a2k21+b2-x0,∴xA=(a2k21-b2)x0-2a2k1y0a2k21+b2.代入直線方程可得yA=(b2-a2k21)y0-2b2k1x0a2k21+b2,計(jì)算B的坐標(biāo)時(shí)，可以通過(guò)類(lèi)比的思想，只要將A坐標(biāo)中的k1換成-k1，即得到B的坐標(biāo)，∴xB=(a2k2-b+2)x0+2a2k1y0a2k21+b2

，yB=(b2-a2k21)y0+2b2k1x0a2k21+b2,∴kAB=yA-yBxA-xB=-4b2k1x0-4a2k1y0=b2x0a2y0(與k1無(wú)關(guān)的常量).

同理又可以通過(guò)類(lèi)比，只要將上述過(guò)程中的k1換成k2即可計(jì)算出CD所在的直線的斜率也為b2x0a2y0，所以AB摺蜟D擼故一定存在實(shí)數(shù)λ使得AB=λCD.

評(píng)注：解析幾何給