(3.4)-第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析-3

12.6利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻響特性頻率響應函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的零、極點分布與系統(tǒng)的頻率響應特性特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其特點系統(tǒng)函數(shù)的極點分布與系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性2.6.1頻率響應函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的時域特性用單位脈沖響應表示，對進行傅里葉變換，得到

稱為系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)，或稱系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應特性。

將進行Z變換，得到一般稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征系統(tǒng)的復頻域特性。3頻率響應函數(shù)的表示

復函數(shù)

是以2π為周期的連續(xù)周期函數(shù)，用實部和虛部表示為

用幅度與相位表示為

的幅度響應

的相位響應

4

系統(tǒng)函數(shù)的表示

系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)

H(z):表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應與輸入序列z變換的比值

線性時不變系統(tǒng)5N階差分方程的系統(tǒng)函數(shù)因果輸入序列，零初始狀態(tài)，差分方程取z變換，得到N階差分方程的系統(tǒng)函數(shù)：線性時不變系統(tǒng)輸入和輸出滿足差分方程

6

與頻率響應

在數(shù)值上等于H(z)在z平面單位圓上的取值（H(z)必須在單位圓上收斂）。

如果已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)，則可求得其頻率響應，即

7頻率響應的物理意義設輸入序列是頻率為ω的復指數(shù)序列，則由線性卷積公式，得到系統(tǒng)的響應y(n)即：離散線性時不變系統(tǒng)對輸入為單頻復指數(shù)序列的響應，仍為同頻率ω的單頻復指數(shù)序列。其幅度放大倍，相移變化為。

是一個與系統(tǒng)頻率特性有關的量，如果輸入為一般x(n)，則系統(tǒng)響應為對輸入x(n)的所有頻率成分響應的加權和。8正弦輸入序列的系統(tǒng)頻率響應可見，當離散線性時不變系統(tǒng)輸入單頻正弦序列時，輸出仍為同頻率的單頻正弦序列，其幅度為頻率響應幅度

的乘積，而相位為輸入相位θ與系統(tǒng)相位響應之和。

92.6.2系統(tǒng)的極點分布與因果性和穩(wěn)定性

如何根據(jù)H(z)的極點分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性?因果穩(wěn)定的充分必要條件：一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)的收斂域必須在某個圓的外部，該圓包含H(z)所有的極點，而且<1（收斂域必須包含單位圓）。即

Rx-＜|z|≤+∞，0＜Rx-＜1

如果系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點都在單位圓內，則系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)因果穩(wěn)定，則系統(tǒng)的所有極點都在單位圓內。收斂域包含單位圓，系統(tǒng)穩(wěn)定；收斂域包含無窮遠，系統(tǒng)因果。10例：分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性例：已知一個線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，試確定系統(tǒng)的收斂域，并分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。

解：對H(z)的分母進行因式分解得極點為-0.25，-0.5；零點為0，0.5，如右圖所示。兩個極點把平面劃分為三個區(qū)域，所以H(z)的收斂域有三種可能的情況，下面分別進行討論。11

如果收斂域是極點-0.5所在的圓的外部區(qū)域，收斂域包含∞點，有，因此系統(tǒng)是因果的。系統(tǒng)函數(shù)的收斂域為0.5＜|z|≤+∞

，而且包含單位圓，所以對應系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果收斂域是極點-0.25所在的圓的內部區(qū)域，有，因此系統(tǒng)是逆因果的，收斂域為0≤|z|＜0.25。收斂域不包含單位圓，所以對應系統(tǒng)不是穩(wěn)定的。如果收斂域是極點-0.25和-0.5所在的兩個圓之間的環(huán)域，即0.25≤|z|＜0.5，收斂域不包含∞點，單位圓也沒有位于收斂域內，所以對應系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定的。12

【例2.6.1】已知，分析其因果性和穩(wěn)定性。

解

H(z)的極點為z=a,z=a－1，如圖2.5.5所示。（1）收斂域為a－1<|z|≤∞:對應的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應h(n)=(an－a－n)u(n)，這是一個因果序列，但不收斂。（2）收斂域為0≤|z|<a:對應的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應h(n)=(a－n－an)u(－n－1)，這是一個非因果且不收斂的序列。（3）收斂域為a<|z|<a-1:對應一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應h(n)=a|n|，這是一個收斂的雙邊序列。132.6.3系統(tǒng)的零極點分布與系統(tǒng)頻率響應

對系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項式進行因式分解

H(z)在z=cr處有零點，在z=dr處有極點

N＞M時，在z=0處有一個(N-M)階零點

零點和極點分別由差分方程的系數(shù)ai和bi決定

除常數(shù)A外，系統(tǒng)函數(shù)完全由零點cr極點dr唯一確定

零、極點也是描述系統(tǒng)的一種方法，因為已知系統(tǒng)的零、極點分布，就可以大致了解系統(tǒng)的性能

14

將上式分子、分母同乘以zN+M，得到：設系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=ejω代入上式，得到頻率響應函數(shù)2頻率響應的幾何確定法

零點矢量

：極點矢量：矢量的模即矢量長度；矢量的幅角是對應矢量與正實軸的夾角。

15頻率響應幾何確定法系統(tǒng)頻率響應式可表示

幅度響應等于各零點矢量長度之積除以各極點矢量長度之積，再乘以常數(shù)A

相位響應等于各零點矢量的相角之和減去各極點矢量的相角之和，再加上線性分量ω(N-M)。

16頻率響應幾何確定法圖示17零極點位置對頻率響應的影響零點位置:

主要影響幅度響應的谷點值及形狀。當B點旋轉到某個零點cr附近時，如果零點矢量長度最短，則幅度響應在該點可能出現(xiàn)谷點；零點cr越靠近單位圓，零點矢量長度越短，則谷點越接近零；如果零點cr在單位圓上，零點矢量長度為零，則谷點為零。

極點位置:

主要影響幅度響應的峰值及尖銳程度。當B點旋轉到某個極點dr附近時，如果極點矢量長度最短，則幅度響應在該點可能出現(xiàn)峰值；極點dr越靠近單位圓，極點矢量長度越短，則幅度響應在峰值附近越尖銳；如果極點dr在單位圓上，極點矢量長度為零，則幅度響應的峰值趨于無窮大，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。

18小結單位圓附近的零點位置對幅度響應波谷的位置和深度有明顯的影響，零點可在單位圓外。在單位圓內且靠近單位圓附近的極點對幅度響應的波峰的位置和高度則有明顯的影響，極點在單位圓上，則不穩(wěn)定。利用直觀的幾何確定法，適當?shù)乜刂屏?、極點的分布，就能改變系統(tǒng)頻率響應的特性，達到預期的要求，因此它是一種非常有用的分析系統(tǒng)的方法。19

【例2.6.2】

已知H(z)=z-1，分析其頻率特性。

解：由H(z)=z－1，可知極點為z=0，幅頻特性|H(ejω)|=1,相頻特性φ(ω)=－ω，當ω=0轉到ω=2π時，極點向量的長度始終為1。

圖2.6.2

H(z)=z－1的頻響特性當ω=0轉到ω=2π時，極點向量的長度始終為1。由該例可以得到結論：位于原點處的零點或極點，由于零點向量長度或者極點向量長度始終為1，因此原點處的零極點不影響系統(tǒng)的幅頻響應特性，但對相頻特性有貢獻。20【例2.6.3】

設一階系統(tǒng)的差分方程為y(n)=by(n－1)+x(n)用幾何法分析其幅度特性。解由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為

式中，0<b<1。系統(tǒng)極點z=b，零點z=0，當B點從ω=0逆時針旋轉時，在ω=0點，由于極點向量長度最短，形成波峰；在ω=π點形成波谷；z=0處零點不影響幅頻響應。極零點分布及幅度特性如圖所示。如果-1<b<0，則峰值點出現(xiàn)在ω=π處，形成高通濾波器。

21【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。解

H(z)的極點為z=0，這是一個N階極點，它不影響系統(tǒng)的幅頻響應。零點有N個，由分子多項式的根決定

即N個零點等間隔分布在單位圓上，設N=8，極零點分布如圖2.6.5所示。當ω從0變化到2π時，每遇到一個零點，幅度為零，在兩個零點的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。22例2.6.4的梳狀濾波器的極零點分布及幅頻、相頻特性N個零點等間隔分布在單位圓上，設N=8，極零點分布如圖2.6.4所示。當ω從0變化到2π時，每遇到一個零點，幅度為零，在兩個零點的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。根據(jù)其形狀，稱之為梳狀濾波器。232.6.4幾種特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其特點全通濾波器梳狀濾波器最小相位系統(tǒng)241全通系統(tǒng)（全通網(wǎng)絡，全通濾波器）

定義：如果濾波器的幅頻特性對所有頻率均等于常數(shù)或1.

表明信號通過全通濾波器后，幅度譜保持不變，僅相位譜隨φ(ω)改變，起純相位濾波作用全通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的一般形式：

頻率響應函數(shù)251全通系統(tǒng)（全通網(wǎng)絡，全通濾波器）

或寫成二階濾波器級聯(lián)形式：全通濾波器零點與極點互為共軛倒易關系用零極點表示如下：

全通濾波器一組零極點示意

可以證明上式表示的濾波器具有全通幅頻特性26例：二階全通系統(tǒng)

例：

設二階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)，并畫出相應曲線。

解：2梳狀濾波器系統(tǒng)函數(shù)，其頻率響應函數(shù)以2π為周期，將

的變量

用代替，得到的，其頻率響應是以為周期的，所以在區(qū)間【0，2π】上就有

N個相同的頻率特性周期，從而可以構成各種梳狀濾波器。27梳狀濾波器可以濾除輸入信號中的的頻率分量?？捎糜谙盘栔械碾娋W(wǎng)諧波干擾和其它頻譜的等間隔分布的干擾。28例：梳狀濾波器

例：

已知一個系統(tǒng)函數(shù)，試定性畫出系統(tǒng)的幅度響應曲線

。

解：

一個N階極點z=0，不影響幅度響應

N個一階零點等間隔分布在單位圓上，由分子多項式的根決定。

當ω從0變化到2π時，每遇到一個零點幅度為零；兩個零點之間幅度由零逐漸增大，在零點中間幅度最大，形成峰值，再逐漸減少至零。幅度谷點頻率為ωk=2πk/N

29最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)Hmin(z)：如果因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)的所有零點都在單位圓內最大相位系統(tǒng)Hmax(z)：如果所有零點都在單位圓外混合相位系統(tǒng)：若單位圓內、外都有零點30（1）任何一個非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)均可由一個最小相位系統(tǒng)Hmin(z)和一個全通系統(tǒng)Hap(z)級聯(lián)而成，即H(z)=Hmin(z)Hap(z)（2）在幅頻響應特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)集中，最小相位系統(tǒng)的相位延遲（負的相位值）最小。（3）最小相位系統(tǒng)保證其逆系統(tǒng)存在。給定一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)=B(z)/A(z)，定義其逆系統(tǒng)為當且僅當H(z)為最小相位系統(tǒng)時，HINV(z)才是因果穩(wěn)定的（物理可實現(xiàn)的）。

最小相位系統(tǒng)312.7Matlab實現(xiàn)序列逆Z變換的Matlab實現(xiàn)周期序列傅里葉級數(shù)的Matlab實現(xiàn)322.7.1序列逆Z變換的Matlab實現(xiàn)函數(shù)residuez:適合計算離散系統(tǒng)有理函數(shù)的留數(shù)和極點，可以用于求解逆Z變換。函數(shù)residuez基本調用方式:>>[r,p,c]=residuez(b,a);

輸入?yún)?shù):b=[b0，b1，…，bM]為分子多項式的系數(shù),a=[a0，a1，…，aN]為分母多項式的系數(shù)，這些多項式都按z的降冪排列

輸出參數(shù):r是極點的留數(shù)，p是極點，c是無窮項多項式的系數(shù)項，僅當M≥N時存在。33例：計算逆Z變換

例2.19計算的逆Z變換。

解:有理分式X(z)分子和分母多項式都按z的降冪排列。>>b=[0,1];a=[2,-3,1];%多項式的系數(shù)[r,p,c]=residuez(b,a);%求留數(shù)、極點和系數(shù)項disp('留數(shù):');disp(r');%顯示輸出參數(shù)disp('極點:');disp(p');disp('系數(shù)項:');disp(c');程序運行結果為留數(shù):1-1極點:1.00000.5000系數(shù)項: