新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案5-5-2簡單的三角恒等變換

5．5.2簡單的三角恒等變換【素養(yǎng)目標(biāo)】1．能通過二倍角的變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦、正切公式．(邏輯推理)2．了解半角公式的結(jié)構(gòu)形式，并能利用半角公式解決簡單的求值問題．(數(shù)學(xué)運算)3．進(jìn)一步掌握兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式，半角公式，并能靈活利用公式解決求值、化簡、證明問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【學(xué)法解讀】在本節(jié)學(xué)習(xí)中學(xué)生應(yīng)先復(fù)習(xí)二倍角公式，利用二倍角公式推導(dǎo)半角公式，并掌握半角適用條件．培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)中的邏輯推理．必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點半角公式coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))(Ceq\s\do7(\f(α,2)))，sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))(Seq\s\do7(\f(α,2)))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))(Teq\s\do7(\f(α,2)))．思考：(1)半角公式是由以前學(xué)習(xí)過的哪些公式推導(dǎo)來的？如何推導(dǎo)的？(2)半角公式中的正負(fù)號能否去掉？該如何選擇？(3)半角公式對α∈R都成立嗎？提示：(1)二倍角的余弦公式．推導(dǎo)如下：在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以eq\f(α,2)代替α，即得：cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)＝2cos2eq\f(α,2)－1.所以sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)，tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα).開方可得半角公式．(2)不能．①若沒有給出決定符號的條件，則在根號前保留正負(fù)兩個符號；②若給出α的具體范圍(即某一區(qū)間)時，則先求eq\f(α,2)所在范圍，然后根據(jù)eq\f(α,2)所在范圍選用符號．(3)公式Ceq\s\do7(\f(α,2))，Seq\s\do7(\f(α,2))對α∈R都成立，但公式Teq\s\do7(\f(α,2))要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)．基礎(chǔ)自測1．下列說法中正確的個數(shù)是(＋＋＋＋A－－－－)①sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).②cos20°＝±eq\r(\f(1＋cos40°,2)).③taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα).④sin4α＋eq\r(3)cos4α＝2sin(4α＋eq\f(π,3))．A．1 B．2C．3 D．4[解析]①②③錯誤，④正確，故選A.2．已知180°<α<360°，由coseq\f(α,2)的值等于(＋＋＋＋C－－－－)A．－eq\r(\f(1－cosα,2)) B．eq\r(\f(1－cosα,2))C．－eq\r(\f(1＋cosα,2)) D．eq\r(\f(1＋cosα,2))3．已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，則sineq\f(α,2)等于(＋＋＋＋B－－－－)A．－eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(10),10)C．eq\f(3,10)eq\r(3) D．－eq\f(3,5)[解析]∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\f(\r(10),10).4．sinx－cosx等于(＋＋＋＋C－－－－)A．sin2x B．eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))C．eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))[解析]原式＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)cosx))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一應(yīng)用半角公式求值例1已知sinθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(5π,2)<θ<3π，求sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2).[分析]已知條件中的角θ與所求角中的eq\f(θ,2)成二倍關(guān)系，從而選擇半角公式求值．[解析]∵sinθ＝eq\f(4,5)，eq\f(5π,2)<θ<3π，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(3,5).∵eq\f(5π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(3π,2)，∴sineq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－cosθ,2))＝－eq\f(2\r(5),5)，coseq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝－eq\f(\r(5),5)，taneq\f(θ,2)＝eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝2.[歸納提升]已知θ的某個三角函數(shù)值，求eq\f(θ,2)的三角函數(shù)值的步驟是：(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得θ的其他三角函數(shù)值；(2)代入半角公式計算即可．【對點練習(xí)】?設(shè)π<θ<2π，coseq\f(θ,2)＝－eq\f(3,5)，求：(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2eq\f(θ,4)的值．[解析](1)∵π<θ<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(θ,2)<π，又coseq\f(θ,2)＝－eq\f(3,5)，∴sineq\f(θ,2)＝eq\r(1－cos2\f(θ,2))＝eq\r(1－－\f(3,5)2)＝eq\f(4,5)，∴sinθ＝2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝2×(－eq\f(3,5))×eq\f(4,5)＝－eq\f(24,25).(2)cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－1＝2×(－eq\f(3,5))2－1＝－eq\f(7,25).(3)sin2eq\f(θ,4)＝eq\f(1－cos\f(θ,2),2)＝eq\f(1－－\f(3,5),2)＝eq\f(4,5).題型二三角恒等式的化簡與證明例2化簡：eq\f(1－sinα－cosαsin\f(α,2)＋cos\f(α,2),\r(2－2cosα))(－π<α<0)．[證明]原式＝eq\f(2sin2\f(α,2)－2sin\f(α,2)cos\f(α,2)sin\f(α,2)＋cos\f(α,2),\r(2×2sin2\f(α,2)))＝eq\f(2sin\f(α,2)sin\f(α,2)－cos\f(α,2)sin\f(α,2)＋cos\f(α,2),2|sin\f(α,2)|)＝eq\f(sin\f(α,2)sin2\f(α,2)－cos2\f(α,2),|sin\f(α,2)|)＝eq\f(－sin\f(α,2)cosα,|sin\f(α,2)|).因為－π<α<0，所以－eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<0，所以sineq\f(α,2)<0，所以原式＝eq\f(－sin\f(α,2)cosα,－sin\f(α,2))＝cosα.[歸納提升]化簡問題中的“三變”(1)變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．(3)變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?，如升冪、降冪、配方、開方等．【對點練習(xí)】?求證：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α.[證明]證法一左邊＝eq\f(cos2α,\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2α,\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cosα)＝sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)cosα＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右邊．∴原式成立．證法二左邊＝eq\f(cos2α,\f(1＋cosα,sinα)－\f(1－cosα,sinα))＝eq\f(cos2αsinα,2cosα)＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右邊．∴原式成立．證法三：左邊＝eq\f(cos2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(1,2)cos2α·eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(1,2)cos2α·tanα＝eq\f(1,2)cosαsinα＝eq\f(1,4)sin2α＝右邊．∴原式成立．題型三利用輔助角公式研究函數(shù)性質(zhì)例3已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(π,6))＋2sin2(x－eq\f(π,12))(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合．[解析](1)∵f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(π,6))＋2sin2(x－eq\f(π,12))＝eq\r(3)sin[2(x－eq\f(π,12))]＋1－cos[2(x－eq\f(π,12))]＝2{eq\f(\r(3),2)sin[2(x－eq\f(π,12))]－eq\f(1,2)cos[2(x－eq\f(π,12))]}＋1＝2sin[2(x－eq\f(π,12))－eq\f(π,6)]＋1＝2sin(2x－eq\f(π,3))＋1，∴f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)當(dāng)f(x)取得最大值時，sin(2x－eq\f(π,3))＝1，有2x－eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，∴所求x的集合為{x|x＝kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z}．[歸納提升](1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ))將形如asinα＋bcosα(a，b不同時為零)的三角函數(shù)式收縮為同一個角的一種三角函數(shù)式．(2)形式選擇：化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角α的系數(shù)為正，這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì)．【對點練習(xí)】?(1)eq\r(2)coseq\f(π,12)＋eq\r(6)sineq\f(π,12)的值是(＋＋＋＋B－－－－)A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．eq\f(\r(2),2)(2)y＝cosx＋cos(x＋eq\f(π,3))的最大值是?。?！eq\r(3)###.[解析](1)原式＝2eq\r(2)(eq\f(1,2)coseq\f(π,12)＋eq\f(\r(3),2)sineq\f(π,12))＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,12)＋eq\f(π,6))＝2eq\r(2)sineq\f(π,4)＝2，故選B.(2)y＝cosx＋cosx·eq\f(1,2)－sinx·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)cosx－eq\f(1,2)sinx)＝－eq\r(3)(eq\f(1,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx)＝－eq\r(3)sin(x－eq\f(π,3))，當(dāng)x＝2kπ－eq\f(π,6)時，(k∈Z)，ymax＝eq\r(3).誤區(qū)警示忽略對角的終邊所在象限的討論例4已知sinα＝eq\f(3,5)，求sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)與taneq\f(α,2)的值．[錯解]∵sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝±eq\f(4,5).(1)當(dāng)cosα＝eq\f(4,5)時，sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))＝±eq\f(\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))＝±eq\f(3\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±eq\f(1,3).(2)當(dāng)cosα＝－eq\f(4,5)時，sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))＝±eq\f(3\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))＝±eq\f(\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±3.[錯因分析]由sinα＝eq\f(3,5)>0，知角α是第一或第二象限角，從而eq\f(α,2)必為第一或第三象限角，所以taneq\f(α,2)的值必然為正．上述解法中忽視了sinα>0，從而eq\f(α,2)為第一或第三象限角這一隱含條件，導(dǎo)致解中的taneq\f(α,2)有正負(fù)兩個值．另外，錯解中還有一點不妥，就是解法過于籠統(tǒng)與簡單，沒有細(xì)分sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)與taneq\f(α,2)的值的對應(yīng)情況，依上述解法，sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)與taneq\f(α,2)的值對應(yīng)著2×2×2＋2×2×2＝16(組)情況，但實際情況卻只有4組(見下面正確解法)，這就造成了解的結(jié)果混亂，不能體現(xiàn)三個數(shù)值的對應(yīng)情況．[正解]由sinα＝eq\f(3,5)>0，知角α是第一或第二象限角．(1)當(dāng)α是第一象限角時，cosα＝eq\f(4,5)，且eq\f(α,2)為第一或第三象限角，于是①當(dāng)eq\f(α,2)為第一象限角時，sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\f(\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝eq\f(3\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(1,3)；②當(dāng)eq\f(α,2)為第三象限角時，sineq\f(α,2)＝－eq\f(\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(3\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(1,3).(2)當(dāng)α是第二象限角時，cosα＝－eq\f(4,5)，且eq\f(α,2)為第一或第三象限角，于是①當(dāng)eq\f(α,2)為第一象限角時，sineq\f(α,2)＝eq\f(3\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝3；②當(dāng)eq\f(α,2)為第三象限時，sineq\f(α,2)＝－eq\f(3\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝3.[方法點撥](1)應(yīng)用公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))以及taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))時，一定要注意根號前的符號是由eq\f(α,2)的終邊所在的象限來確定這一原則，充分挖掘題設(shè)中的隱含條件，利用隱含條件，判斷解的符號，縮小解的范圍，減少解答中的失誤．另外，在解答過程中也要充分注意解題格式的規(guī)范性，規(guī)范表述，不要給出模糊不清的過程與結(jié)果．(2)注意等號兩邊表達(dá)式的定義域是否一致．學(xué)科素養(yǎng)三角恒等變換的綜合應(yīng)用三角恒等變換就是熟練運用所學(xué)公式將三角函數(shù)式進(jìn)行化簡，在綜合討論三角函數(shù)性質(zhì)時，通常先要將三角函數(shù)式化簡成某一個角的三角函數(shù)式，再去研究其圖象與性質(zhì)是考試的重點．例5已知f(x)＝(1＋eq\f(1,tanx))sin2x－2sin(x＋eq\f(π,4))·sin(x－eq\f(π,4))．(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]，求f(x)的取值范圍．[分析](1)將函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為只含有sin2x與cos2x的式子，由tanα＝2，求出sin2α與cos2α的值，代入f(x)求f(α)．(2)將f(x)化為Asin(ωx＋φ)＋B的形式，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．[解析](1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin(x＋eq\f(π,4))·cos(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＋sin(2x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(sin2x－cos2x)＋cos2x＝eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＋eq\f(1,2).由tanα＝2，得sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(4,5).cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(3,5).所以，f(α)＝eq\f(1,2)(sin2α＋cos2α)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,5).(2)由(1)得f(x)＝eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋eq\f(1,2).由x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]，得eq\f(5π,12)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).所以－eq\f(\r(2),2)≤sin(2x＋eq\f(π,4))≤1,0≤f(x)≤eq\f(\r(2)＋1,2).所以f(x)的取值范圍是[0，eq\f(\r(2)＋1,2)]．[歸納提升]利用三角恒等變換的解題技巧(1)將f(x)化簡是解題的關(guān)鍵，本題中巧妙運用“1”的代換技巧，將sin2α，cos2α化為正切tanα，為第(1)問鋪平道路(2)把形如y＝asinx＋bcosx化為y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對稱性．課堂檢測·固雙基1．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，則eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝(＋＋＋＋A－－－－)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．2 D．－2[解析]∵α是第三象限角，cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5).∴eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq\f(1＋\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)),1－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))·eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(1,2).故選A.2．若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，且sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，則sinθ＝(＋＋＋＋D－－－－)A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(\r(7),4)