2024年新高考數(shù)學一輪復習題型歸納與達標檢測第36講數(shù)列求和（講）（原卷版）

第36講數(shù)列求和（講）思維導圖知識梳理1．公式法(1)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2).推導方法：倒序相加法．(2)等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))推導方法：乘公比，錯位相減法．(3)一些常見的數(shù)列的前n項和：①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.2．幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組轉化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．(3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解．(4)倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解．[常用結論]常見的裂項技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).題型歸納題型1分組轉化求和【例11】（2020春?昆明期末）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．【跟蹤訓練11】（2020春?保定期末）已知數(shù)列、滿足：，為等比數(shù)列，且，，．（1）試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；（2）求數(shù)列的前項和．【跟蹤訓練12】（2020春?永州期末）已知等差數(shù)列，等比數(shù)列滿足：，．（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【名師指導】1．分組轉化求和數(shù)列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．2．分組轉化法求和的常見類型題型2裂項相消法求和【例21】（2020春?黔南州期末）已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．【跟蹤訓練21】（2020?安寧區(qū)校級模擬）已知是一個等差數(shù)列的前項和，對于函數(shù)，若數(shù)列的前項和為，則的值為A． B． C． D．【跟蹤訓練22】（2020春?成都期末）數(shù)列的前項和為，若，則A．1 B． C． D．【名師指導】1.基本步驟2.裂項原則一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.3.消項規(guī)律消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.題型3錯位相減法求和【例31】（2020春?柳林縣期末）已知數(shù)列的前項和為，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．【跟蹤訓練31】（2020春?黃岡期末）已知數(shù)列滿足，，已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．【跟蹤訓練32】（2020春?成都期末）已知等差數(shù)列的前項和為，，；各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【名師指導】錯位相減法求數(shù)列{an}的前n項和(1)適用條件若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q