6.2.16.2.26.2.3向量的加法運算向量的減法運算向量的數(shù)乘運算（6大題型）

6.2.1&6.2.2&6.2.3空向量的加法運算、向量的減法運算、向量的數(shù)乘運算1、借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的加法運算及運算法則，并理解向量加法的幾何意義；理解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性；2、借助實例和平面向量的幾何表示，理解相反向量的含義、理解減法的幾何意義；掌握平面向量的減法運算及運算法則；3、了解向量數(shù)乘的概念；理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會運用向量數(shù)乘的運算律進行向量運算；理解并掌握向量共線定理及其判定方法；一、向量的加法運算1、定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。2、三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，向量AC叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC3、平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量a，b，在平面內(nèi)任取一點O，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，對角線OC就是a與b的和【規(guī)定】零向量與任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】（1）在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；（2）平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發(fā)的不共線向量．4、向量加法的運算律結(jié)合律：a＋b＝b＋a交換律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)二、向量的減法1、相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.（1）規(guī)定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；（2）－(－a)＝a；（3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；（4）若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【注意】相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面定義，相反向量必為平行向量．2、向量的減法（1）定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.（2）幾何意義：以O(shè)為起點，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，如圖所示，即a－b可表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量．【注意】在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接向量終點，箭頭指向被減向量”即可．三、向量的數(shù)乘運算1、定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．2、運算律：設(shè)λ，μ為任意實數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特別地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.3、線性運算:向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.四、向量共線1、向量共線的條件（1）當向量時，與任一向量共線．（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數(shù)，使，那么由實數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．2、向量共線的判定定理：是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理：若向量與非零向量共線，則存在一個實數(shù)，使．【注意】（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數(shù)，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.題型一向量的加法運算【例1】（2023·廣東佛山·高二南海執(zhí)信中學?？奸_學考試）如圖，已知，求作.（1）；（2）【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【解析】（1）在平面內(nèi)任取一點，如圖所示作則.（2）在平面內(nèi)任取一點，如圖所示作則.【變式11】（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由向量的運算法則，可得.故選：D.【變式12】（2023·黑龍江大慶·高一?？茧A段練習）向量（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故選:C【變式13】（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）設(shè)P為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，則①；②；③中成立的序號為．【答案】②【解析】如圖，因為四邊形為平行四邊形，所以連接對角線交于點，則為的中點，根據(jù)向量的加法運算法則可得，在中，,在中，,所以.題型二向量的減法運算【例2】（2023·全國·高一課時練習）如圖，已知向量，，求作．【答案】，圖見解析【解析】如圖所示，在平面內(nèi)任取一點O，從同一點O出發(fā)作，．作，則．【變式21】（2022·陜西西安·西安市第三十八中學校考一模）在平行四邊形中，O為對角線的交點，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在平行四邊形中，O為對角線的交點，易知，所以．故選：D【變式22】（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）在中，為的中點，記，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故選：A.【變式23】（2023·高一課時練習）下面四個式子不能化簡成的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對于A，，點D和A的位置不詳，不可繼續(xù)計算，錯誤；對于B，，正確；對于C，，正確；對于D，，正確；故選：A.題型三向量的數(shù)乘運算【例3】（2023·重慶綦江·高一?？计谥校┗啚椋ǎ〢．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)向量的四則運算可知，.故選：D【變式31】（2023·海南儋州·高一校考階段練習）化簡：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）.（2）.（3）.【變式32】（2023·全國·高一課時練習）求下列未知向量．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，.（2）因為，所以，.【變式33】（2023·浙江·高一校聯(lián)考階段練習）設(shè)是平行四邊形的對角線的交點，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，，故選：A．題型四已知向量表示其他向量【例4】（2023·江西贛州·高一校聯(lián)考期末）在中，點滿足，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，．故選：C．【變式41】（2023·山東聊城·高一統(tǒng)考期中）如圖所示，已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故選：D【變式42】（2023·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）如圖，在中，，若，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C.【變式43】（2023·河南周口·高一太康縣第一高級中學?？茧A段練習）如圖所示平行四邊形中，設(shè)向量，，又，，用，表示??.【答案】，，【解析】∵，∴；又，；∴.題型五向量運算在幾何中的應(yīng)用【例5】（2023·天津河西·高一統(tǒng)考期中）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（）A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形【答案】A【解析】由平面向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形為平行四邊形.故選：A【變式51】（2023·廣東汕頭·高一?？计谥校┰谒倪呅沃校?，，，則四邊形的形狀是（）A．梯形B．菱形C．平行四邊形D．矩形【答案】A【解析】因為，，，所以.所以.所以且，所以四邊形為梯形..故選：A【變式52】（2023·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）在中，，則是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因為，，，，所以，所以是等邊三角形．故選：A．【變式53】（2023·山東泰安·高一校考階段練習）若在△ABC中，，，且，，則△ABC的形狀是（）A．正三角形B．銳角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解析】由于，，，則，即，所以△ABC為等腰直角三角形．故選：D．題型六向量共線證明三點共線【例6】（2023·貴州遵義·高一?？茧A段練習）已知不共線的向量，且，，，則一定共線的三點是（）A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【答案】A【解析】對A，,所以，則三點共線，A正確；對B，,則不存在任何，使得，所以不共線,B錯誤；對C，,則不存在任何，使得，所以不共線，C錯誤；對D，,則不存在任何，使得，所以不共線，D錯誤；故選:A.【變式61】（2023·山東東營·高一東營市第一中學校考階段練習）若，則共線的三點是.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，所以與共線，因為與有公共端點，所以三點共線.【變式62】（2023·安徽合肥·高一統(tǒng)考期中）設(shè)是不共線的兩個向量，.若三點共線，則k的值為.【答案】【解析】因為三點共線，故,則，使得，又，故，則，解得.【變式63】（2023·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┮阎矫嫦蛄?，不共線，且，，，若，，三點共線，則.【答案】1【解析】依題意得，，由三點共線可知，存在，使得，即，由于，是兩個不共線的向量，則，解得.題型七根據(jù)向量共線求參數(shù)【例7】（2023·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學校考期末）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由向量與平行，得，而向量不平行，于是，所以.故選：A【變式71】（2023·安徽淮南·高一淮南第三中學?？计谀┮阎蛄坎还簿€，且向量與共線，則實數(shù)的值為（）A．或B．或1C．或2D．1或2【答案】C【解析】若向量與共線，則存在實數(shù)，使得，又因為向量，不共線，所以，解得或.故選：C.【變式72】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）已知向量，不共線，，，，則（）A．B．C．6D．【答案】A【解析】因為，所以，，則，解得.故選：A.【變式73】（2023·山西運城·高一統(tǒng)考期中）已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實數(shù)的值為（）A．1B．C．1或D．1或【答案】A【解析】因為向量與方向相同，所以存在唯一實數(shù)，使，因為向量，不共線，所以，解得或（舍去），故選：A題型八向量共線定理推論【例8】（2023·全國·高一隨堂練習）在中，D為CB上一點，E為AD的中點，若，則．【答案】【解析】因為E為AD的中點，所以，因為B，D，C三點共線，所以，所以，解得．【變式81】（2022·陜西渭南·高三校考期末）如圖所示，中為重心，過點，，，則．【答案】3【解析】設(shè)根據(jù)題意，；，，，三點共線，則存在，使得，即，即，，整理得，所以.【變式82】（2023·全國·高一課時練習）已知平行四邊形，若點是邊的三等分點（靠近點處），點是邊的中點，直線與相交于點，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，則，，設(shè)，，則，，因為，所以，解得，所以，即，故選：C.【變式83】（2023·廣西玉林·高一博白縣中學?？奸_學考試）如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點G，點G