2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：《四邊形》

1.如圖①，在矩形ABCD中,已知BC=8cm,點(diǎn)G為8c邊上一點(diǎn)，滿足BG=AB=6cm,

動(dòng)點(diǎn)E以1cm/5的速度沿線段8G從點(diǎn)8移動(dòng)到點(diǎn)G,連接AE,作EFVAE,交線段

8于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)F移動(dòng)的時(shí)間為/($),。尸的長(zhǎng)度為y{cm},y與/的函數(shù)關(guān)系如圖

②所示.

(1)圖①中，CG=2cm,圖②中，m=2;

(2)點(diǎn)尸能否為線段C。的中點(diǎn)？若可能，求出此時(shí)/的值，若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在圖①中，連接力尸，/4G,設(shè)4G與&交于點(diǎn)”若4G平分4的面積，求

CG=2cm,

■：EF]_AE,

:.乙AEB+/.FEC=90°,且/AEB+4BAE=9G°,

ZBAE=ZFEC,且N8=NC=90°,

:.XABESXECF,

,ABBE

"EC"CF"

/=6,

:.BE=6cm,CE-2cm,

.66

"2-CF

CF=2cm,

:.m=2,

故答案為：2,2;

(2)若點(diǎn)尸是8中點(diǎn)，

CF=DF-3cm,

---AABESXECF、

.ABBE

"EC"CF"

,6_8-EC

"EC"3

.1,^-8^018=0

1,△=64—72=—8<0,

，點(diǎn)廠不可能是8中點(diǎn)；

(3)如圖①，過(guò)點(diǎn)〃作“AS.6c于點(diǎn)例,

?1-ZC=90°,HMLBC,

：.HMIICD,

△EHMs^EFC,

,EHEM

一而一而

?.?/16平分4/1仍的面積，

EH=FH,

EM=MC,

?:BE=t,EC=8-t、

：.EM=CM=4-^f,

.1.MG—CM—CG—2——,

2

..ABBE

'EC'CF'

.6_t

一言K

9

:.CF=8t-t

6

■：EM-MC,EH=FH,

:.MH=LCF=8t-t'

212

AB=BG—6,

???N/G8=45°,且8c

:,/_HGM=ZGHM=A5。,

HM-GM,

2

.8t-t_9_±

"~^2~21

.)=2或/=12,且X6,

t—2.

2.問(wèn)題提出:

(1)如圖1,△<8C的邊8c在直線〃上，過(guò)頂點(diǎn)工作直線。//〃，在直線m上任取

一點(diǎn)。，連接&?、CD,則△"8C的面積=△O8C的面積.

問(wèn)題探究：

(2)如圖2,在菱形588和菱形8G/中，8G=6,/A=60°,求△OGE的面積;

問(wèn)題解決：

(3)如圖3,在矩形588中，48=12,8c=10,在矩形48。。內(nèi)(也可以在邊上)

存在一點(diǎn)尸，使得戶的面積等于矩形468的面積的差，求尸周長(zhǎng)的最小值.

D

解：?jiǎn)栴}提出：

(1).??兩條平行線間的距離一定，

.?.△45C與△O8C同底等高，即△45C的面積的面積，

故答案為：=；

問(wèn)題探究：

(2)如圖2,連接8D,

圖2

:四邊形力88,四邊形8G左是菱形，

:.ADUBC,BCIIEF,AD=AB,BG=BE,

.?.N/=NC作=60°,

是等邊三角形，△8GE是等邊三角形，

:./_ABD=ZGBE=60°,

:.BDIIGE,

：?S>DGE=S?BGE=返8療=9百；

4

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)Q作卷///8,交4。于點(diǎn)￡

9

???△/IS尸的面積等于矩形/8C。的面積的g

D

19

xl2x/F=—X12X10

25

/./5=8,

作點(diǎn)/關(guān)于性的對(duì)稱點(diǎn)4,連接48交在于點(diǎn)戶，此時(shí)周長(zhǎng)最小,

:.AE^AE=8,

16,

:/6=，A’A2+AB^=<256+144=20,

△/IS尸周長(zhǎng)的最小值=AP+AB+PB=AP+PB+AB=20+12=32.

3.(1)方法感悟：

如圖①，在正方形/I8C。中，點(diǎn)￡尸分別為。C、8c邊上的點(diǎn)，且滿足/口尸=45°,

連接EE將△/?；乩@點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△/I8G,易證從而得

到結(jié)論：D&BF=EF.根據(jù)這個(gè)結(jié)論，若8=6,DE=2,求斤的長(zhǎng).

(2)方法遷移：

如圖②，若在四邊形4?。。中，AB^AD,/8+/。=180°,E、尸分別是8C、8上

的點(diǎn)，且/口尸=a/加。，試猜想。后BF,&之間有何數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論.

(3)問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形488中，AB=AD,/8+//。。=180°,6F

分別是邊8C、C。延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且/￡4尸=方/必。，試探究線段樂(lè)BE、陽(yáng)之間

的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想(不必說(shuō)明理由).

圖①圖②圖③

解：（1）方法感悟：

?.?將上繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△/WG,

GB=DE=2,

,:XGA2XEAF

：.GF=EF,

■：CD=6,DE=2

：.CE=4,

■：EF2=CF2+CE2,

:.ER=（8-方）2+16,

:.EF=5-,

(2)方法遷移：

D3BF=EF,

理由如下：如圖②，將三繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△4?”

由旋轉(zhuǎn)可得，AH=AE,BH=DE,Z1=Z2,ZZ?=乙ABH,

NEAF=yZDAB,

，/協(xié)尸=/1+/3=/2+/3=4/必。，

.1.ZHAF=ZEAF,

.:乙ABH+￡ABF=￡A乙ABF='80°,

，點(diǎn)〃、B、尸三點(diǎn)共線，

在和尸中，

，AH=AE

<ZHAF=ZEAF

,AF=AF

:.△AE24AHF(SAS),

：.EF=HF,

■：HF=BH+BF,

：.EF=D3BF.

(3)問(wèn)題拓展：

EF=BF-FD,

理由如下：在8C上截取尸，

vZ5+Z/Z?C=180o,AADC+AADF=180°,

??.LB=/_ADF,且BH=DF、

:.XABgXADF(SAS)

:./_BAH=/_DAF,AH=AD,

■：zEAF=BAD,

.?.ZDAMBAH=yZBAD,

：.ZHAE=yZBAD=ZEAF,且AH=AD,

：./\HAE^l\FAE(必M

HE=EF,

EF=HE=BE-BH=BE-DF.

4.如圖1,在。中，AB=3cm,BC=5cm,ACLAB,△28沿ZC的方向勻速

平移得到△尸2偽，速度為lcm/s;同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿C8方向勻速移動(dòng)，速

度為1S7/S,當(dāng)△外加停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖2,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(5)(0

<<4),連結(jié)QQ,MQ,解答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)/為何值時(shí)，PQIIM/V?

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，ACPQ=450?

(3)當(dāng)/為何值時(shí)，PQLMGQ

解：(1)-：AB=3cm,BC=5cm,ACLAB,

''?/'C=VBC2-AB2=4CA77'

'.'MNIIAB,POIIMN,

.-.PQIIAB,

,CPCQ

"CA"CB'

,4-tt

一丁丁，

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作QELAC,則QEIIAB,

.CQCEQE

"CB"CA"AB'

.tCEQE

?虧X不

.■.CF=At)QE="

55

.「NCQQ=45°,

PE=QE=旦/,

5

：.t+—t+^f=4,

55

:.t=—s

3

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)戶作尸尸1SC于尸點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作用”18C,交6c延長(zhǎng)線于點(diǎn)”

，四邊形加〃尸是矩形，

PM=FH=5,

?:(A=/_PFC=9V,乙ACB=/_PCF,

:.XABCSAFPC,

,PFCFPC

"AB"AC"BO'

,PFCF_4-t

'VT=5

:.QH=5-FQ=5-(CF-CQ)

5

■：PQ1MQ,

:.APQF+ZMQH=90°,且乙PQR￡FPQ=9G,

；./_FPQ=且/次?=N〃=90°,

:APFQSXQHM、

,PFQH

一而而

12-3t9+9t

.5_5

■'16-4t-12-3t

-?--t—?—

5.問(wèn)題背景：如圖1,在正方形498的內(nèi)部，作尸=/8CG=/C。"，根

據(jù)三角形全等的條件，易得XDA2XAB2l\BC8l\CDH、從而得四邊形爐G〃是

正方形.

類比探究：如圖2,在正△/S。的內(nèi)部，作Nl=N2=/3,AD,BE,C廠兩兩相交于

D,E,廠三點(diǎn)(。，E,廠三點(diǎn)不重合).

(1)AABD,△8CE尸是否全等？如果是，請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明；

(2)?是否為正三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖3,進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△/8。的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè)8。=。，AD=

b,AB=c,請(qǐng)?zhí)剿鱝b,。滿足的等量關(guān)系.

(1)^ABD^△BCE^△CAF\理由如下：

???△/I8C是正三角形，

ZCAB=ZABC=ZBCA=60°,AB=BC=AC,

又,.?〃=N2=N3,

NABD=Z_BCE二/_CAF、

，ZABD=ZBCE=ZCAF

在△48。、△BQF和△C4尸中，<AB=BC=CA

Z1=Z2=Z3

：.XAB慳XBC恒XCAF(ASA);

(2)△陽(yáng)是正三角形；理由如下：

■：t\ABD^.f\BCE^[\CAF,

,■,ZADB=ZBEC=ZCFA,

：.ZFDE=ZDEF=ZEFD,

???△。&是正三角形；

(3)/=〃+<7"〃.作/4618。于6,如圖所示：

???△附是正三角形，

:.AADG=6Q°,

在RtzX/IOG中，DG=/b,AG=

在RtAXSG中，2=(cH-j-Z?)2+

.,.<?=d1+ab+b1.

6.如圖，在四邊形488中，/C是對(duì)角線，NZ8C=/CO/I=90°,BC=CD,延長(zhǎng)

80交力。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

(1)求證：AB=AD\

(2)若AE=B3DE,求N84C的值；

(3)過(guò)點(diǎn)三作"以//18,交4C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)從，過(guò)點(diǎn)"作從戶，。。，交。C的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)尺連接尸8.設(shè)尸8=。，點(diǎn)O是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)例O+尸。的值最小時(shí)，

點(diǎn)。與點(diǎn)E是否可能重合？若可能，請(qǐng)說(shuō)明理由并求此時(shí)從。?尸。的值(用含。的式

子表示)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

B

c

(1)證明：???//I8C=NC0/4=9O°,

BC=CD,AC=AC,

/.RtA/l5C^RtA/l￡?C(HL).

AB—AD.

(2)解：,：AE=B&DE,

又?：AE=AADE,

:.AD=BE.

'：AB=AD,

：.AB=BE.

/_BAD—/_BEA.

^ABC=90°,

??,N8/A45。.

?.?由(1)得&△/OC,

/_BAC=/_DAC.

???/8/40=22.5°.

(3)解：當(dāng)"dPO的值最小時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)￡可以重合，理由如下:

\'MEIIAB,

:'乙ABC=/_MEC=90°,/_MAB^/_EMA.

,:MPLDC、

:.^MPC=90°.

:'乙MPC=/_ADC=90°.

PMIIAD.

:?乙EAM=/_PMA.

由（1）得，RtA^5C^RtA/l￡?C,

/_EAC=/_MAB.

:./_EMA;（AMP.即用C平分/加￡

又,：MP1CP,MELCE,

??.PC=EC.

如圖，連接戶8,連接延長(zhǎng)例￡交也的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。

設(shè)N&W=Q,貝ijN/W/4p=。.

在中，Z5E4=90°-2a.

在RtZ\8E中，ZFC￡?=90°-ABEA=2a.

,PC=EC,

PEB=ZEPC=ZECD=a.

.ZPED=ZBEA^/_PEB^90°-a.

?MEIIAB,

1.NQED-ZBAD-2a.

當(dāng)/陽(yáng)?=NQ&?時(shí)，

-ZPDE=ZQDE,DE=DE,

△PD匹XQDE{ASA).

.PD=DQ.

即點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)Q關(guān)于直線/E成軸對(duì)稱，也即點(diǎn)用、點(diǎn)E、點(diǎn)尸關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)

<?,這三點(diǎn)共線，也即用?！鍪?。的值最小時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)E重合.

因?yàn)楫?dāng)/際=/函?時(shí)，90°-a=2a,也即a=30°.

所以，當(dāng)/48。=60°時(shí)，例四產(chǎn)。取最小值時(shí)的點(diǎn)O與點(diǎn)三重合.

此時(shí)從?！鍪?。的最小值即為MB-PE.

■：PC=EC,-￡P(guān)CB=^ECD,CB=CD,

:ZCB9/XECD(SAS).

ZCBP=ZCDE=90°.

:.ACBF^AABC=]^°.

：.A,B,尸三點(diǎn)共線.

當(dāng)/46。=60°時(shí)，在△陶中，

￡P(guān)AE=乙PEA=60°.

.,.Z￡E4=60°.

△陶為等邊三角形.

■：EB]_AP,

:.AP=248=2a.

:.EP^AE=2a.

■：AEMA=AEAM,

EM=AE=2a.

，例?！鰬?。的最小值為4(7.

7.已知：如圖，在正方形中，點(diǎn)石在工。邊上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)片出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，到

達(dá)。點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).作射線并將射線CT繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，旋轉(zhuǎn)后的射線

與邊交于點(diǎn)尸，連接

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)猜想線段?！闑F,8廠的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)過(guò)點(diǎn)C作CGJ.4，垂足為點(diǎn)G,若正方形49C。的邊長(zhǎng)是4,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G

運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng).

解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示:

(2)線段。EEF,8廠的數(shù)量關(guān)系為：EF=DE^BF.理由如下:

延長(zhǎng)工。到點(diǎn)H,使DH=BF,連接CH,如圖2所示：

???四邊形488是正方形，

ZBCD=ZADC=Z8=90°,BC=DC,

ZCDH=90°=/8,

'DH=BF

在△CO"和△C8尸中，，ZCDH=ZB.

DC=BC

:ACDgXCBF{SAS).

：.CH=CF,ZDCH=ZBCF.

■：/_ECF=45°,

.?./ECH=/￡CZ>ZDCH=ZEC8ZBCF=45°.

ZECH=ZECF=45°.

'CH=CF

在△氏7〃和△氏萬(wàn)中，，ZECH=ZECF,

,CE=CE

:AEC*04ECF(SAS).

EH=EF.

,:EH=D3DH,

：.EF=D曰BF;

(3)由(2)得：XECgRECF(SAS),

.-.ZCEH=ZCEF,

■：CDLAD,CGLEF,

CD=CG=4,

..?點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心4為半徑的弧。8,

，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)=典三二生=2TT.

IOO

居.

圖3

8.如圖，在正方形468中，尸是邊8C上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C重合)，點(diǎn)8關(guān)于

直線工尸的對(duì)稱點(diǎn)為E,連接AE.連接OE并延長(zhǎng)交射線工尸于點(diǎn)F,連接BF.

(1)若/34Q=ci,直接寫出N/OF的大小(用含。的式子表示)；

(2)求證：BFLDF;

(3)連接CE用等式表示線段4尸，BF,C廠之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(1)解：由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：2EAP=LBAP=Q,AE=AB,

???四邊形是正方形，

,"BAD=9N,AB=AD,

:./_DAE^90°-2a,AD=AE,

AADF=/_AED=—(180°-/_DAE)=—(90°+2a)=45°+a;

22

(2)證明：.??四邊形/488是正方形，

?,./必。=90°,AB=AD,

???點(diǎn)F與點(diǎn)8關(guān)于直線/IP對(duì)稱，

:.(AEF=/_ABF,AE=AB.

:.AE=AD.

Z_ADE=/_AED.

??2/9>//曰三180°,

???在四邊形/招。中，N/Om//48尸=180°,

:./_BFl>/_BAD=180°,

:.^BFD=90°

:.BF\DF;

(3)解：線段力廠，BF,。尸之間的數(shù)量關(guān)系為工廠尸，理由如下:

過(guò)點(diǎn)8作BM1BF交工尸于點(diǎn)M,如圖所示：

.?,四邊形"8C。是正方形，

：.AB=CB,LABC=90°,

ZABM=ZCBF,

?.?點(diǎn)F與點(diǎn)8關(guān)于直線力尸對(duì)稱，2BFD=9G。，

/_MFB=AMFE=45°,

.?.△8例尸是等腰直角三角形，

:.BM=BF,FM=?pF,

'AB=CB

在△4M8和△(：:用中，(NABM=NCBF,

BM=BF

:.XAMB9XCFB(勿⑼，

AM-CF,

'：AF=FM^AM,

:.AF=，^RCF.

9.如圖1,已知等腰Rk\/8C中，E為邊上一點(diǎn)，過(guò)巳點(diǎn)作爐1/6于尸點(diǎn)，以為邊

作正方形，且4C=3,EF=M.

(1)如圖】，連接。尸，求線段C廠的長(zhǎng)；

(2)將等腰Rt4/!8C繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，連接BE,例點(diǎn)為8萬(wàn)的中點(diǎn)，連接

MC,MF,求例C與例尸關(guān)系.

AB=3-1y2，

過(guò)點(diǎn)C作于M,連接CF,

】?四邊形/IG&是正方形，

-'-AF=EF=M，

：.MF=AM-AF=百，

在Rt△CMF中，CF=JCM+MF?=J與*"*^"+3-3加=712-3^6；

(2)CM=FM,CM1FM,

理由：如圖2,

過(guò)點(diǎn)8作5〃//斤交N的延長(zhǎng)線于”連接6,CH,

ZBHM=ZEFM、

「四邊形/G寧是正方形，

EF-AF

??.點(diǎn)例是火的中點(diǎn),

BM=EM,

在△84"/和尸中，

rZBHM=ZEFM

<ZBMH=ZEMF,

BM=EM

:△BMm&EMF{AAS),

:.MH=MF,BH=EF=AF

???四邊形4G&是正方形，

AFAG=90°,EFWAG,

■：BHIIEF,

：.BHIIAG,

：./_BA&/_ABH=180°,

ZCBH+/_ABC+/_BAC+Z.CAG=ySQ°.

?.?△/I8C是等腰直角三角形，

：.BC^AC,28c=/尻4。=45°,

：./_CBH+/_CAG=90°,

■：/_CAG^/_CAF=90°,

.1,ZCBH=ZCAF,

在和尸中,

<BH=AF

<ZCBH=ZCAF,

BC=AC

:.XBCgXACF(SAS),

CH=CF,/_BCH=/_ACF、

/.ZHCF=ZBCF=/_ACF^/_BCF=90°,

.??△尸C”是等腰直角三角形，

?：MH=MF,

CM=FM,CM\_FM\

10.如圖將正方形/SCO繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度。(0°<a<90°)得到正方形/夕C

D'.

(1)如圖1,8C'與4C交于點(diǎn)〃，CD)與力。所在直線交于點(diǎn)N,若MNIIB'

?！?，求。；

(2)如圖2,CB'與C。交于點(diǎn)Q,延長(zhǎng)UB1與8c交于點(diǎn)R當(dāng)。=30°時(shí).

①求NO4G的度數(shù)；

圖1圖2

解：(1)如圖1中，

\'MNIIB1D',

/.ZCMN=ZCB'D1=45°,/_CNM=ZCD'B'=45°,

/.ZCMN=ZCNM、

CM=CN,

vCB，=CD；

：.MB'二ND',

'：AB'=AD',LAB'/_AD1N=90°,

用/△S。'N(SAS)、

ZB'AM=/_D'AN、

?/ZB'AD'=90°,AMAN=45°,

/.ZB'AM=/_D'AN=225°,

VZ5/4C=45°,

/.ZBAB'=22.5°,

.*.0=22.5°.

'：/_AB'Q=AADQ=90°,AQ=AQ,AB'=AD,

.-.RtA/IQ^^RtZk/QO("),

/.ZQAB'=ZQAD,

ZBAB'=30°,Z5/4/9=90°,

ZB'AD=30°,

/.Z6?/4Z?=—ZB1AD=30°.

2

②如圖2中，連接工民在上取一點(diǎn)二使得z4E=",連接設(shè)PB=Q.

?：ZABP=ZAB'尸=90°,AP=AP,AB^AB',

...Rt△/尸8%RtZX/戶8,(HL),

/.ZBAP=ZPAB'=15°,

\'EA=EP,

:.AEAP=/_EPA=]5Q,

ZBEP=ZEAP+Z=30°,

PE-AE—2<7,BE—

'AB—6,

.,.2o+%&=6,

：.a=6(2-次).

：.PB=6(2-73),

PC=BC-PB=6-6(2-73)=6?-6,

???ZCPG^LBPB'=180°,￡BAB'+￡BPB'=180°,

ZCPQ=ZBAB'=30°,

6A/3-6

?PQ-_____=V3=12-4次.

"cos300

11.已知，如圖1,在邊長(zhǎng)為2的正方形488中，下是邊4?的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊/。上,

過(guò)點(diǎn)工作/G1優(yōu)分別交線段CD、樂(lè)于點(diǎn)G、H(點(diǎn)G不與線段8的端點(diǎn)重合).

(1)如圖2,當(dāng)G是邊。。中點(diǎn)時(shí)，求工尸的長(zhǎng)；

(2)設(shè)ZL=x,四邊形%G。的面積是匕求)/關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值

范圍；

解：⑴?.王是46的中點(diǎn)，48=2,

:.AE=—AB=1,

2

同理可得DG=1,

■：AG]_EF,

：.AAHF=/_HAF+AAFH=90°,

???四邊形"88是正方形，

:.^-ADG=90°=/.DAG^AAGD,

:.乙AFH=/_AGD,

,?"￡4尸=N4?G=90°,

XEAFsXADG、

,AE_AD1_2

"AF"DG'EHnAF'I'

:.AF=^-,

2

（2）如圖1,由（1）知:XEAFSXADG、

sA_尸D

szc

圖1

.AE.ADBn12

AFDGxDG

DG—2x,

,:/_HAF=/_DAG,

ZAHF=AADG=90°,

NAHF^XADG、

.AH=AF_FH

AD-AG

,AH=lx_擔(dān)[

2步+⑵）？2s一，

2xxO22

AH--\—-7------=pu_2x_______X

V4+4xV1+x2'''"4+4x2一G'

Y-S4ADG~~S&AFH、

=-z-*2x,2-1x2，

2g°而

=2x——

如圖2,當(dāng)G與C重合時(shí)，

D

J

BC(G)

圖2

:./_AHE=90°,

,?2EAH=45°,

:./_AEH=45°,

.\AF=AE=1,

.\0<x<1;

3

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2x-------

2(")

(3)如圖3,過(guò)。作。用1/G,交8c于例，連接￡徹，延長(zhǎng)￡4至M使4/V=CN,

連接。M

圖3

設(shè)CM=a,貝ijAN=a,

,:AD=CD,Z.NAD=ADCM=90°,

:.XNAD^XMCD(SAS),

:'(ADN=/_CDM、DN=DM、

'：EFlAG,DMLAG,

EFHDM,

:.乙EDM=/_FED=A5。,

:.(AD曰/_CDM=/_EDM=45。,

ZNDA+ZADE=ZNDE=ZEDM,

,：ED=ED、

:、XND匹XMDE(SAS),

EN=EM=o+1,

,:BM=2-Q,

在Rt△的W中，由勾股定理得：B^+BA/=EM1,

,?.12+(2-O')2=。1)2,

■：LAEF^LEAG=/.EA&/.DAG,

/AEF—ZDAG-NCDM,

:.\ar\/_AEF=\o,r\/_CDM,

,AFCM

"AE=CD)

2_

?.空巨,

石下

:.AF=^.

3

12.如圖1,對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形488中，AB=AD,CB=CD,問(wèn)四邊形ABCD

是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)性質(zhì)探究：如圖1,四邊形4?。的對(duì)角線4C、8。交于點(diǎn)O,AC1BD.試證

明：A^+CDI=ADL+BCL\

(3)解決問(wèn)題：如圖3,△SC8中，^ACB=90°,SC1/IG且/C=/G,ABVAE

S.AE=AB,連結(jié)BG、GE.已知4C=4,工8=5,求GE的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

解：（1）四邊形46。。是垂美四邊形,

理由如下：連接/C,BD,

圖2

■：AB=AD,

???點(diǎn)/在線段BD的垂直平分線上,

CB=CD,

...點(diǎn)C在線段8。的垂直平分線上,

是線段8。的垂直平分線，

四邊形力88是垂美四邊形；

(2)-：AC1BD,

/_AOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD^90°,

由勾股定理得，/爐+8C2=/02+O02+8O2+CO2,

%岸+"=44+B&+CC^+,

：.ADL+BC^=AB^+CDL-,

故答案為：A序+CU=AU+BO,

(3)■：/_CAG=Z.BAE=90°,

：./.CAG^Z.BAC=/.BAB-^BAC,即

在△G48和中，

'AG=AC

，ZGAB=ZCAE,

AB=AE

△GABMXCAE(SAS),

zABG=zAEC,5i/_AEC+/_AME=90°,

：./_ABG^/_AME=90°,即CF18G,

..?四邊形CG砥是垂美四邊形，

由(2)得，CG+B盧=C3+GE,

-：AC=4,AB=5,

:.BC=3,CG=4-72,BE=5近,

GE=CG+B序-C序=73,

:-GEi聃.

13.如圖1,四邊形力,，連接6C,Z.ACB=LBEC=90°,。在＞16上，連接“，

/_ACD=/.ABC,BE=CD.

(1)求證：四邊形88E為矩形；

(2)如圖2,連接?！闐E交BC于點(diǎn)、。,若tan/%=2,在不添加任何輔助線和字母

的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中所有長(zhǎng)度與瘍。的長(zhǎng)度相等的線段.

-

E

（圖1）（圖2）

（1）證明：???//C8=90°,

8c=90°,

/_ACD=/_ABC,

.?.N/+N/IC0=9O°,

.-.Zz4Z?C=90°,

:./_BDC=180°-90°=90°=ZBEC,

BC=CB

在"XBCD和RtACBE中,

CD=BE'

.1.RtA5CZ^RtAC^(HD,

；.BD=CE,

■：CD=BE,

，四邊形88萬(wàn)是平行四邊形,

又?.?/雨。=90°,

，四邊形C08〒為矩形;

(2)解：圖中所有長(zhǎng)度與而4。的長(zhǎng)度相等的線段為AC=OC=OB=OD=OE=

\[^AD.理由如下:

由(“)得：四邊形為,矩形，Z/IDC=90o,

BC=DE,OD=OE,OB=OC,

OC=OB=OD=OE=^BC,

■：AADC=/_ACB=9Q°,

?，S=2嚼嘿,

:.CD=2AD,BC=2AC,

"C=VAD2+AC2=VAD2+(2AD)2=后。,

DE=BC=2AC,

OC=OB=OD=OE=-^BC=AC=

.'.AC—^OC—OB=OD=OE=yj"^AD.

14.如圖在直角坐標(biāo)系中，四邊形"SCO為正方形，力點(diǎn)的坐標(biāo)為9,0),。點(diǎn)的坐標(biāo)

為。b),且。，6滿足(<7-3)2+|/?-731=0.

(1)求力點(diǎn)和。點(diǎn)的坐標(biāo);

⑵若請(qǐng)猜想和砥的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由.

⑶若204。=30°,以4。為三角形的一邊，坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得△外。

為等腰三角形，若存