2023中考數(shù)學(xué)：幾何與函數(shù)問題復(fù)習(xí)

2023中考數(shù)學(xué)專題講座幾何與函數(shù)問題

【知識(shí)縱橫】

客觀世界中事物總是相互關(guān)聯(lián)、相互制約的。幾何與函數(shù)問題就是從量和形的側(cè)面去

描述客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系和相互制約性。函數(shù)與幾何的綜合題，對(duì)考查學(xué)生的雙

基和探索能力有一定的代表性，通過幾何圖形的兩個(gè)變量之間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一

步研究幾何的性質(zhì)，溝通函數(shù)與幾何的有機(jī)聯(lián)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法。

【典型例題】

【例1】AB=2,AZ)=4,ZDAB=90,AD//BC(如圖).E是射線BC上的

動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)￡與點(diǎn)B不重合)，M是線段DE的中點(diǎn).

(1)設(shè)BE=x,△ABM的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義

域；

(2)如果以線段A3為直徑的圓與以線段OE為直徑的圓外切，求線段BE的長(zhǎng)；

(3)聯(lián)結(jié)5。，交線段A”于點(diǎn)N,如果以AN,。為頂點(diǎn)的三角形與△8WE相似，

求線段BE的長(zhǎng).

A「f糊般您h9取AB中點(diǎn)”，聯(lián)結(jié)筋耳;〔2〕先點(diǎn)出DE；〔3〕分二種情況討

論。

:如iTYWEd,NC=90,9C=4cm,BC=3cm，

點(diǎn)“8出發(fā)沿B4方向向點(diǎn)A勻強(qiáng)運(yùn)勵(lì),速度方lcm/s；點(diǎn)Q審扁H發(fā)沿4C方向Q點(diǎn)C

勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接尸。.假設(shè)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s)(0<Z<2),解答以下問

題：

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，PQ//BC2

(2)設(shè)△AQP的面積為y(cm2),求y與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻心使線段尸。恰好把Rt^ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？假設(shè)存在，

求出此時(shí)/的值；假設(shè)不存在，說明理由；

(4)如圖(2),連接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC,那么是否存在

某一時(shí)刻/,使四邊形PQP'C為菱形？假設(shè)存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)：假設(shè)不存在，說

明理由.

圖(1)夕4B圖⑵

【思路點(diǎn)撥】〔少乎筋為t,那么AQ=2t,證△仍？s*啰人引始N代PHLAC

〔3〕我鹿力嚷模型，/長(zhǎng)七〔件)過點(diǎn)P作PMLAC干闊,能比BC于必*設(shè)四i婢POP'C

是菱陽,一琳么構(gòu)建星程模型后,,能找到對(duì)應(yīng)t的值。\/

【例3】(山東德州)如圖(1),在△腑中，4=90°,48=4,AC^j,,"是4?上的

動(dòng)點(diǎn)(不與46重合)，過M點(diǎn)作助V〃重交力C于點(diǎn)N.以腑為直徑作。0,并在。。內(nèi)作

內(nèi)接矩形令A(yù)d=x.

(1)用含x的代數(shù)式表示伊的面積S；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，。。與直線正相切？

(3)在動(dòng)點(diǎn)"的運(yùn)動(dòng)過程中，記△“/口與梯形80渺重合的面積為y,試求y關(guān)于x的

函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

~O~X&^AMNsXABG,。。相力

先求足「〔用*的代數(shù)式/〕,再受/Q松Q出yN正△序伙2s△減找到c

圖形孌化的分界點(diǎn)，x=2。然會(huì)分何種情況討論的最大殖：①當(dāng)0V4W2時(shí)，②

當(dāng)2cxV4時(shí)。

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、(山東威海)如圖，在梯形力比。中，AB〃CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.點(diǎn)、

M,N分別在邊/〃，比'上運(yùn)動(dòng)，井快特MN〃AB,MELAB,NFLAB,垂足分別為￡,F.

(1)求梯形力靦的面積；,一(1

(2)求四邊形儂”面積的最大值.V弋

(3)試判斷四邊形ME7W能否為正方形，假設(shè)能，/\

求出正方形的W的面積；假設(shè)不能，請(qǐng)說明理由.N-------------------A

2、(浙江溫州市)如圖，在RtZVLBC中，NA=90,AB=6,AC=8.D,￡分

別是邊AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)沿。E方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQJ_8C于Q,過

點(diǎn)。作QR〃區(qū)4交AC于R,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng).設(shè)BQ=x,QR=y.

(1)求點(diǎn)。到BC的距離OH的長(zhǎng)；冊(cè)

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；n/p^\E

(3)是否存在點(diǎn)P,使△PQR為等腰三角形？假設(shè)存在，/\/

請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.8/,X----

3、(湖南郴州)如圖，平行四邊形四⑶中，48=5,加=10,比1邊上的高%44,￡為BC

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與8、。重合).過后作直線18的垂線，垂足為凡電1與加的延長(zhǎng)線

相交于點(diǎn)6,連結(jié)比DF..

(1)求證：XBEFsxCEG.A

(2)當(dāng)點(diǎn)￡在線段比上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△麻和F/______一一"

△儂的周長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？并說明你的理由./

(3)設(shè)班'=*,△麻的面積為y,請(qǐng)你求/乂[/

出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何BUE\~~/C

值時(shí),y有最大值，最大值是多少？

4、(浙江臺(tái)州)如圖，在矩形ABC。中，AB=9,AD=36,點(diǎn)P是邊8C上

的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)6,點(diǎn)C重合)，過點(diǎn)P作直線PQ〃B。，交CD邊于。點(diǎn)，再把

△PQC沿著動(dòng)直線尸。對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)，設(shè)CP的長(zhǎng)度為x,△PQR與矩形

ABCD重疊局部的面積為y.

(1)求NCQP的度數(shù)；

(2)當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形A3CD的A8邊上？

(3)①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

7

②當(dāng)x取何值時(shí)，重疊局部的面積等于矩形面積的一？

27

(備用圖1)(備用圖2)

幾何與函數(shù)問題的參考答案

【典型例題】

【例1】(上海市)(1)取A3中點(diǎn)”，聯(lián)結(jié)

?.?M為。E的中點(diǎn)，..MH//BE,MH=-(BE+AD).

2

又ABrBE,

,得y=；x+2(x>0)；

(2)由得￡>E=J(X—4)2+22.

以線段AB為直徑的圓與以線段OE為直徑的圓外切，

:.MH^-AB+-DE,即L(X+4)=-「2+J(4—xy+22

2222L

44

解得x=—,即線段BE的長(zhǎng)為一；

33

(3)由，以AN,。為頂點(diǎn)的三角形與△BME相似,

又易證得ZDAM=ZEBM.

由此可知，另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等有兩種情況：①ZADN=ZBEM；②NADB=4BME.

①當(dāng)ZADN=ZB￡M時(shí)，AD〃BE,：.NADN=/DBE./DBE=4BEM.

:.DB=DE,易得BE=2AD.得8￡=8；

②當(dāng)=時(shí)，AD//BE,：.ZADBZDBE.

：.ZDBE^ZBME.又/BED=ZMEB,：ABEDs/\MEB.

DEBE即BE2=EM.DE,得/=g隹+=一小百+―4)2.

~BE~~EM

解得％=2,x2=-10(舍去).即線段BE的長(zhǎng)為2.

綜上所述，所求線段3E的長(zhǎng)為8或2.

【例2】(山東青島)(1)在'中，AB=^BC2+AC2B

ri

由題意知：AP=5-t,AQ=2t,

假設(shè)闋〃成；那么△加鋁

.AQAP.2r5-t

"'~AC~~AB''*

(2)過點(diǎn)。作加_￡”1于〃.

V/XAPHsAABC,

.PHAP.PH5-t

.?---=---..?---=----

BCAB35

2

y=lx/iex1PH=^x2/x(3-1/)=-1/+3/.

(3)假設(shè)圖把周長(zhǎng)平分，都么AP+AQ=BP+BC+CQ.

二(5T)+2f=f+3+(4-2f),解得：t=\.

假設(shè)"0把△力式1面積平分，那么另”0=!5.8<7,即一62+3片3.

?：夕1代入上面方程不成立,

...不存在這一時(shí)刻t,使線段國(guó)把電△力"的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分.

(4)過點(diǎn)尸作掰14。于"，PN1BC于N,

假設(shè)四邊形尸C是菱形，那么產(chǎn)。=AC

于材，QM=CM.

,：PNLBC于N,易處叢PBNs/\ABC.

.PNBP.PN_t

??—，??—~~，

ACAB45

4f4z

:.PN=—,：.QM=CM=—,

55

4410

/--t-\—t+2t=4解得：t=—.

5599

J當(dāng)，="時(shí)、四邊形叱'。是菱形.

9

3748

此時(shí)PM=3—二，=」,CM=-t=-

5359

在RSW中'PC=—熾I呼,

菱形凰火'C邊長(zhǎng)為早.

【例3】(山東德州)⑴"：MN〃BC,:./AMUB,NANM=ZC.

XAMNs/\ABC.

XAN

.AMANpn-

ABAC43

3

/.AN=—x.

4

133

S=SAMNP=SA4MN=彳?-71.工=7廠?V4)

Z4o

(2)如圖(2),設(shè)直線6c與。。相切于點(diǎn)。，連結(jié)10,0D,那么43勿=4版M

2

在Rt/\ABC中，回=-JAB2+AC2=5.

由(1)知AA^Vs/\ABC.

.AM__MN_,即2=MN

訪―正，45

MN=-x,

4

OD=-x.過材點(diǎn)作偌_L5C于0,那么MQ=0￡)=*x?A

88

在Rt△身內(nèi)與RtZ\%4中，N8是公共角，

BC

?圖⑴

??BM-QM

BCAC

U5

5x-x2525

BM=—^—=—x,AB^BM+MA^—x+x=4.

32424

?v—96

??X----

49

.??當(dāng)x=空96時(shí)，。。與直線區(qū)相切.

49

(3)隨點(diǎn)材的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)戶點(diǎn)落在直線加上時(shí)，連結(jié)力P,那么。點(diǎn)為4一的中點(diǎn).

*：MN〃BC,:./A淤/B,ZA0-lf=AAPC.

：./\AM0sXABP.

...遒=絲=[AM=MB=2.

ABAP2

故以下分兩種情況討論：

①當(dāng)0VxW2時(shí)，y=S^=-x1.

PMN8

33

當(dāng)x=2時(shí)，=gx22=2,

②當(dāng)2<xV4時(shí)，設(shè)掰PN分典交BC千E,

圖(4)

?/四邊形4"￥是矩形，

：.PN//AM,PN=AM=x.

又?：MN〃BC,

???四邊形,?W是平行四邊形.

:.FN=BM=4—x.

:.PF=x—(4—x)=2x—4.

又叢PEFsXACB.

篇)=fc-s-=l(x-2)2-

y=_S〉PEF=d(x-2)~--X2+6X-6.

oZ

9

當(dāng)2Vx<4時(shí)，y=——X2?+6X-6

8

8

二當(dāng)x=§時(shí)，滿足2cx<4,y最大=2.

o

綜上所述，當(dāng)x=2時(shí)，y值最大，最大值是2.

【例3】(山東德州)(1),:MN//BC,：.NAMN=NB,NANM=NC.

：.△AMNs&BC.

.AMANrm尤_AN

ABAC43

3

：.AN=-x.

4

133

=，X，X=J；2

?*,S=SMNP=SMMNZT7,<4)

Z4o

(2)如圖(2),設(shè)直線BC與。。相切于點(diǎn)￡>,連結(jié)AO,OD,那么AO=O￡>=」MM

2

在RtA^BC中，BC=>/AB2+AC2=5.

由(1)知△AMNS/\ABC.

.AMMN_即X廣MN

‘?海一正’45

：.MN=-x,

4

AOD=-x.過M點(diǎn)作MQJ_BC于Q,那么MQ=OO=3x.

88

在Rt/XBMQ與RtZ^BCA中，N3是公共角,

A

:.△BMQSXBCA.圖⑴

...BM__QM

,^BC~~AC'

u5

5x-x2525Qz

:.BM=―AB=BM+MA=—x+x=4.—.

3242449

96

.?.當(dāng)X=*時(shí)，。。與直線8c相切.

49

(3)隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí),連結(jié)AP,那么。點(diǎn)為AP的中點(diǎn).

.MN//BC,：.ZAMN=ZB,ZAOM^ZAPC.

：.△AMOS/XABP.

.,.則=絲」.AM=MB=2.

ABAP2

故以下分兩種情況討論：

①當(dāng)0VXW2時(shí)，y=S^=-x2.

MN8

33

當(dāng)x=2時(shí)'y最大.X22=3.

oZ

②當(dāng)2Vx<4時(shí)，設(shè)PW,PN分別交BC于E,

?.,四邊形4WPN是矩形，

.'.PN//AM,PN=AM=x.

又,：MN//BC,

：.四邊形MBFN是平行四邊形.

:.FN=BM=4-x.

??_323/c\292,,

=StMNP-SAPEF^-X一彳(x-2)=--x+6x-6.

oZo

98丫

當(dāng)2Vx<4時(shí)，y=—%?+6x—6=—x—+2.

88l3

Q

???當(dāng)x時(shí)，滿足2<%<4,y最大=2.

Q

綜上所述，當(dāng)x=；時(shí)，y值最大，最大值是2.

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、（山東威海）（1）分別過￡>,C兩點(diǎn)作QGLAB于點(diǎn)G,CHLAB于點(diǎn)4.

'：AB//CD,

：.DG=CH,DG//CH.

...四邊形。GHC為矩形，GH=CD=\.

?：DG=CH,AD=BC,ZAGD=ZBHC=90°,

：.^AGD^/XBHC(HL).

AG=8H=A8二=2zl=3.

22

?.?在Rt^AG。中，AG=3,A￡>=5,

：.DG=4.

.c_(1+7)X4_IZ.

,?S梯形A58=2=16,

(2),:MN"NB,MELAB,NF上AB,

:,ME=NF,ME"NF.

???四邊形MEFN為矩形.

■:AB//CD,AD=BC,

NA=NB.

?：ME=NF,NMEA=NNFB=9a。,

：./\MEA^ANFB(AAS).

：.AE=BF.

設(shè)4￡=x,那么EF=7—2x.

VZA=ZA,NME4=NOGA=90。,

:.XMEksXDGA.

AGDG3

?cs4、8f7丫49

??S^UEFN=ME.EF=-X(1-2X)=--\X--\+~.

當(dāng)X=N時(shí)，ME=1<4,...四邊形MEFN面積的最大值為絲.

436

⑶能.

由（2）可知，設(shè)AE=x,那么EF=7-2r,ME=^x.

3

假設(shè)四邊形ME/W為正方形，那么

即”=7-2-解，Wx=—

310

rc「C2114k

EF=7-2x=7-2x—=—<4zi.

105

196

???四邊形版57W能為正方形，其面積為S正方形ME小

~25

2、(浙江溫州市)(1)ZA=RtN,AB=6,AC=8,:.BC=IO.

?點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，.?.8D=LAB=3.

2

NDHB=ZA=9。,ZB=ZB,

：.4BHDS￡\BAC,

DHBD

：.DH

BC105

(2)QR//AB,：.^QRC=ZA=9Q.

ZC=ZC,.-.△/?2C^AABC,

RQQCy10-x

"~AB~~BC'-6-10

3

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=—1x+6.

(3)存在，分三種情況：

①當(dāng)PQ=PR時(shí)，過點(diǎn)P作PM_LQR于M,那么QM=.

Nl+N2=90,ZC+Z2=90,

.-.Z1=ZC.

QM_4

cosZ1=cosC=—=—,

105~QP~1>

3I?

②當(dāng)PQ=RQ時(shí)，—《X+6=M

:.x=6.

③當(dāng)PR=Q/?時(shí)，那么R為PQ中垂線上的點(diǎn),

于是點(diǎn)R為EC的中點(diǎn)，

:.CR=-CE=-AC=2.

24

綜上所述，當(dāng)x為彳或6或旨時(shí)，△PQR為等腰三角形.

3、（湖南郴州）（1）因?yàn)樗倪呅瘟t是平行四邊形，所以A5DG

所以NB=NGCE,ZG=NBFE

所以ABEFSMEG

（2）△8EF與△CEG的周長(zhǎng)之和為定值.理由一：

過點(diǎn)。作尸G的平行線交直線四于〃，

因?yàn)樗运倪呅纹?。為矩形.所以FH=CG,FG=CH

因此，ABEF與MEG的周長(zhǎng)之和等于BC+CH+BH

由BC=10,AB=5,4除=4,可得G￥=8,BH=6,

所以8C+0/+H/=24

理由二:

由4?=5,4仁4,可知

在Rt△戚與RtZXGQ?中，有：

4343

EF=-BE,BF=-BE,GE=-EC,GC=-CE,

5555

1212

所以，△廢尸的周長(zhǎng)是上BE,的周長(zhǎng)是上CE

55

又BE+CE=10,因此一BEF與二CEG的周長(zhǎng)之和是24.

43

(3)設(shè),BE=x,那么破=-x,GC=-(10-x)

所以y=-EF.DG=---^(lO-x)+5]=--x2--x配方得

255

6,55、2121

y=---(x---)H---.

2566

所以，當(dāng)*=衛(wèi)時(shí)，y有最大值.最大值為也.

66

4、(浙江臺(tái)州)(1)如圖，四邊