微積分教學(xué)大綱

PAGEPAGE11微積分教學(xué)大綱微積分課程教學(xué)大綱適用對象：財(cái)經(jīng)類各專業(yè)選用教材：微積分(趙樹嫄主編中國人民大學(xué)出版社)總學(xué)時(shí)：120學(xué)時(shí)前言制定本教學(xué)大綱是為了規(guī)范和加強(qiáng)微積分課程的教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量．教學(xué)大綱是教學(xué)的指導(dǎo)性文件．本大綱制定了學(xué)生必須掌握的基本概念、基本理論和基本方法的要求，這也是基本的教學(xué)要求．微積分是財(cái)經(jīng)院校各專業(yè)的一門必修的主干基礎(chǔ)理論課程．它的任務(wù)是：使學(xué)生獲得微積分、級數(shù)、常微分方程等的基本知識和基本方法，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．在傳授知識的同時(shí)，要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生初步具有抽象思維能力和自學(xué)能力，還要注意培養(yǎng)學(xué)生具有熟練的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識去分析問題和解決問題的能力．本大綱的用語，將基本要求分為由低到高的三個(gè)等級，即對概念和理論性的知識，由低到高分別用“知道”、“了解”、“理解”三級區(qū)分；對運(yùn)算方法和技巧方面的知識，由低到高分別用“會(huì)或能”、“掌握”、“熟練掌握”三級區(qū)分．大綱中打*號部分內(nèi)容可根據(jù)教學(xué)具體情況選用．本教學(xué)大綱力圖做到在總結(jié)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上體現(xiàn)財(cái)經(jīng)專業(yè)教學(xué)改革的需要，使“大綱”既有學(xué)科上的系統(tǒng)性與科學(xué)性，又有教學(xué)上的靈活性與適用性；既注意內(nèi)容的選取要適合財(cái)經(jīng)專業(yè)的需要，又避免引入過多的經(jīng)濟(jì)概念使教與學(xué)都感到困難．我們雖然盡了很大的努力，希望制定出的教學(xué)大綱符合我院財(cái)經(jīng)類各專業(yè)的共同要求，但由于時(shí)間倉促又缺乏經(jīng)驗(yàn)，大綱中一定會(huì)存在這樣或那樣的問題，歡迎在使用大綱過程中，隨時(shí)提出寶貴意見，以便今后修訂提高．第一章函數(shù)一、內(nèi)容提要1．預(yù)備知識：實(shí)數(shù)及其幾何表示，實(shí)數(shù)的絕對值，絕對值的基本性質(zhì)，絕對值不等式，區(qū)間與鄰域的概念．2．函數(shù)概念：常量與變量，函數(shù)的定義域與表示法．3．函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)：單調(diào)性，有界性，奇偶性，周期性．4．反函數(shù)：反函數(shù)的定義及其圖形，反三角函數(shù)及其主值．5．復(fù)合函數(shù)的概念6．初等函數(shù)：基本初等函數(shù)的定義，定義域及其圖形，初等函數(shù)的定義．7．分段函數(shù)：分段函數(shù)的概念及其圖形特征．8．建立函數(shù)關(guān)系舉例：總成本函數(shù)，總收入函數(shù)，總利潤函數(shù)，需求函數(shù)，供給函數(shù)等．二、要求與說明1．理解實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)絕對值及鄰域的概念．掌握簡單絕對值不等式的解法．2．理解函數(shù)、函數(shù)的定義域和值域等概念，知道函數(shù)的表示法．3．知道函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性并掌握其圖形的特征．4．了解反函數(shù)的概念，知道函數(shù)與反函數(shù)的幾何關(guān)系，給定函數(shù)會(huì)求其反函數(shù)．5．理解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握將一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解為較簡單函數(shù)的方法．6．熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形．7．理解初等函數(shù)的概念，了解分段函數(shù)的概念．8．會(huì)建立簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系．第二章極限與連續(xù)一、內(nèi)容提要1．?dāng)?shù)列極限的定義與幾何意義，數(shù)列極限的唯一性及收斂數(shù)列的有界性．2．時(shí)函數(shù)的極限，時(shí)函數(shù)的極限，函數(shù)極限的幾何解釋，左、右極限．3．無窮小量的定義與基本性質(zhì)，無窮小量的比較，無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關(guān)系．4．極限的四則運(yùn)算．5．極限的基本性質(zhì)：唯一性、有界性、保號性、極限不等式等．6．極限存在的準(zhǔn)則：準(zhǔn)則Ⅰ(夾逼準(zhǔn)則)，準(zhǔn)則Ⅱ(單調(diào)有界數(shù)列必有極限)．7．兩個(gè)重要極限：，．8．函數(shù)的連續(xù)性，左連續(xù)與右連續(xù)，函數(shù)連續(xù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性，分段函數(shù)的連續(xù)性．9．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本定理：有界性定理，最值定理，介值定理，介值定理的推論(零點(diǎn)定理)．二、要求與說明1．理解數(shù)列與函數(shù)極限的概念．（關(guān)于數(shù)列與函數(shù)極限的分析定義不作過高的要求．）2．理解無窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無窮小量比較的方法，了解無窮大量的概念，知道無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系．3．了解兩個(gè)極限存在的準(zhǔn)則，并能用于求一些簡單極限的值．4．熟練掌握兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用．5．理解函數(shù)連續(xù)性與間斷的概念，掌握函數(shù)間斷點(diǎn)的分類，掌握討論分段函數(shù)連續(xù)性的方法．6．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)必連續(xù)的結(jié)論．7．了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本定理（定理不證明，只作幾何說明）．會(huì)用零點(diǎn)定理證明方程實(shí)根的存在性．8．熟練掌握求極限的基本方法：利用極限運(yùn)算法則、無窮小量性質(zhì)、兩個(gè)重要極限以及函數(shù)的連續(xù)性等求極限的值．導(dǎo)數(shù)與微分一、內(nèi)容提要1．變速直線運(yùn)動(dòng)的速度，平面曲線的切線的斜率，導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系．2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．3．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算．4．反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對數(shù)求導(dǎo)法．5．高階導(dǎo)數(shù)的概念與求法．6．微分的定義與幾何意義，可導(dǎo)與可微的關(guān)系，微分法則與微分基本公式，一階微分形式的不變性．7．導(dǎo)數(shù)與微分的簡單應(yīng)用：近似計(jì)算，*誤差估計(jì)．二、要求與說明1．理解導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系．2．熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．3．熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式．4．了解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（公式證明不作要求）．5．熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式．6．熟練掌握取對數(shù)求導(dǎo)法和隱函數(shù)求導(dǎo)法．7．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求二階、三階導(dǎo)數(shù)及某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的方法．8．理解微分的概念，了解可導(dǎo)與可微的關(guān)系，以及一階微分形式的不變性，熟練掌握求可微函數(shù)微分的方法，掌握微分在近似計(jì)算中的簡單應(yīng)用．第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、內(nèi)容提要1．羅爾定理，拉格朗日定理，柯西定理．2．羅彼塔法則與各種未定式的定值法．3．函數(shù)單調(diào)性的判別法．4．函數(shù)極值的定義，函數(shù)取極值的必要條件與充分條件，函數(shù)最值的概念，求函數(shù)最值的方法，求函數(shù)最值的基本步驟．5．曲線凹凸性與拐點(diǎn)的定義、判別法與求法，曲線的漸近線的定義與求法．6．函數(shù)作圖的基本步驟與方法．7．變化率及相對變化率在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用─邊際分析及彈性分析．二、要求與說明1．能敘述羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理，知道這些定理之間的關(guān)系，會(huì)利用這些定理證明一些簡單的證明題．2．熟練掌握羅彼塔法則與各種未定式的定值方法．只證型未定式的羅彼塔法則，注意羅彼塔法則適用的條件．3．熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法及單調(diào)性的簡單應(yīng)用．4．熟練掌握求函數(shù)極值與最值的方法，知道函數(shù)的極值與最值的關(guān)系與區(qū)別，會(huì)求解某些簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題．5．熟練掌握曲線凹凸性判別方法，熟練掌握求曲線凹向、拐點(diǎn)及漸近線的方法．6．掌握函數(shù)作圖的方法與步驟，會(huì)作某些簡單函數(shù)的圖形．7．理解邊際、彈性的概念及其經(jīng)濟(jì)意義，會(huì)用需求彈性分析總收益的變化．第五章不定積分一、內(nèi)容提要1．原函數(shù)概念，不定積分的幾何意義，不定積分的性質(zhì)．2．基本積分表．3．換元積分法（包括簡單無理函數(shù)的積分）．4．分部積分法．5．簡單有理函數(shù)積分舉例．二、要求與說明1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質(zhì)．2．熟練掌握基本積分表．3．熟練掌握計(jì)算不定積分的兩種換元積分法和分部積分法．4．會(huì)計(jì)算簡單的有理函數(shù)和簡單無理函數(shù)的不定積分．第六章定積分一、內(nèi)容提要1．曲邊梯形的面積．定積分的定義與意義．定積分的基本性質(zhì)．積分中值定理．2．變上限積分及其求導(dǎo)方法，原函數(shù)存在定理，牛頓-萊布尼茲公式．3．定積分的換元法與分部積分法．4．定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積，兩種幾何體的體積，簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用．5．廣義積分初步：無窮積分的概念，無窮積分收斂與發(fā)散的定義，無窮積分的計(jì)算，瑕積分的概念，瑕積分收斂與發(fā)散的定義，瑕積分的計(jì)算，函數(shù)的定義、性質(zhì)與遞推公式．二、要求與說明1．理解定積分的概念與基本性質(zhì)，掌握積分中值定理．2．熟練掌握牛頓-萊布尼茲公式，熟練掌握變限積分的導(dǎo)數(shù)的求法．3．熟練掌握計(jì)算定積分的換元法與分部積分法．4．掌握用定積分計(jì)算平面圖形的面積和兩種幾何體體積的方法，會(huì)用定積分求解一些簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題．5．了解廣義積分收斂與發(fā)散的概念，掌握計(jì)算收斂廣義積分的方法，知道廣義積分，的斂散條件，知道函數(shù)的概念、基本性質(zhì)與遞推公式．第七章無窮級數(shù)一、內(nèi)容提要1．無窮級數(shù)及其一般項(xiàng)與部分和的概念，無窮級數(shù)收斂與發(fā)散的定義，收斂級數(shù)和的概念，幾何級數(shù)與調(diào)和級數(shù)的斂散性，無窮級數(shù)收斂的必要條件，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)．2．正項(xiàng)級數(shù)的概念，正項(xiàng)級數(shù)收斂的必要條件，正項(xiàng)級數(shù)斂散性的比較判別法、比值判別法，P級數(shù)的斂散性．3．交錯(cuò)級數(shù)的概念，交錯(cuò)級數(shù)斂散性的萊布尼茲判別法，任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念，絕對收斂與條件收斂的判別法．4．冪級數(shù)的概念，冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間以及和函數(shù)的概念，冪級數(shù)斂散性判別法，冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法，冪級數(shù)的基本性質(zhì)．5．泰勒公式及其余項(xiàng)，泰勒級數(shù)與馬克勞林級數(shù)，冪級數(shù)展開定理，將函數(shù)展成冪級數(shù)的方法（直接展開法和間接展開法），簡單初等函數(shù)的冪級數(shù)展開．二、要求與說明1．理解無窮級數(shù)、部分和、收斂、發(fā)散以及和的概念．2．掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)（包括調(diào)和級數(shù)）斂散性判別條件．3．掌握級數(shù)收斂的必要條件，以及收斂級數(shù)的基本性質(zhì)．4．掌握正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法，掌握正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法．5．掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法．6．了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，掌握絕對收斂與條件收斂的判別方法．7．了解冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)的概念，會(huì)求冪級數(shù)的收斂半徑．8．知道冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)．9．了解泰勒級數(shù)的概念，會(huì)用的麥克勞林展開式將一些簡單函數(shù)展開成冪級數(shù)．第八章多元函數(shù)微積分學(xué)一、內(nèi)容提要1．空間直角坐標(biāo)系，空間兩點(diǎn)間的距離，空間曲面與曲面方程，平面上的區(qū)域，點(diǎn)的鄰域，開區(qū)域、閉區(qū)域、有界區(qū)域與無界區(qū)域等概念．2．多元函數(shù)的定義，二元函數(shù)的定義域與幾何意義，二元函數(shù)的極限與連續(xù)性．3．偏導(dǎo)數(shù)與全微分的定義與計(jì)算方法．4．多元復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法．5．高階偏導(dǎo)數(shù)的定義與求法．6．二元函數(shù)極值的定義，極值的必要條件與充分條件，條件極值的概念與拉格朗日乘數(shù)法，多元函數(shù)最值的概念與求法．7．曲頂柱體的體積，二重積分的定義與基本性質(zhì)，在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分．二、要求與說明1．了解空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，會(huì)求空間兩點(diǎn)間的距離，了解平面區(qū)域，區(qū)域的邊界，點(diǎn)的鄰域，開區(qū)域、閉區(qū)域、有界區(qū)域與無界區(qū)域等概念．2．了解多元函數(shù)的概念，掌握二元函數(shù)的定義與表示法．3．知道二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念．4．理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，熟練掌握求偏導(dǎo)數(shù)與全微分的方法，熟練掌握求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法．5．熟練掌握由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法．6．了解二元函數(shù)的極值與條件極值的概念，掌握用二元函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件求二元函數(shù)極值的方法，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求簡單二元函數(shù)條件極值問題的方法．7．理解二重積分的概念、幾何意義與基本性質(zhì)，熟練掌握在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的方法并計(jì)算一些簡單的二重積分．第九章微分方程一、內(nèi)容提要1．微分方程的定義，微分方程的階、解、通解、特解、初始條件等基本概念．2．可分離變量的方程、齊次方程、一階線性微分方程．3．二階常系數(shù)線性齊次微分方程的概念及解法．*幾類特殊的高階微分方程的解法．4．微分方程在經(jīng)濟(jì)中的簡單應(yīng)用．二、要求與說明1．了解微分方程的階、通解與特解等概念．2．掌握可分離變量的方程、齊次方程、一階線性微分方程的解法．3．會(huì)解二階常系數(shù)線性齊次微分方程，*會(huì)解幾類特殊的高階微分方程．4．會(huì)求解一些簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題．*第十章差分方程一、內(nèi)容提要1．差分與方程的概念，差分方程的階與解（通解與特解）．2．一階齊次差分方程的通解，一階非齊次差分方程的特解與通解．3．二階齊次差分方程的通解，二階非齊次差分方程的特解與通解．4．差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡單應(yīng)用．二、要求與說明1．了解差分、差分方程，差分方程的階與解（通解與特解）等概念．2．會(huì)求一階與二階常系數(shù)線性齊次差分方程的解．3．會(huì)求某些特殊的一階與二階常系數(shù)線性非齊次差分方程的特解與通解．會(huì)求二階齊次差分方程的通解、二階非齊次差分方程的特解與通解．4．會(huì)求解一些簡單經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題．附件1：教學(xué)進(jìn)度表(上學(xué)期)課程總學(xué)時(shí)數(shù)：120上學(xué)期總學(xué)時(shí)數(shù)：52周學(xué)時(shí)數(shù)：4周次日期章教學(xué)內(nèi)容實(shí)踐教學(xué)備注7一緒論§1.1集合§1.2實(shí)數(shù)集§1.3函數(shù)關(guān)系§1.4函數(shù)表示法1.原則上應(yīng)按進(jìn)度表的安排授課，若實(shí)際進(jìn)度超過了規(guī)定的進(jìn)度可安排習(xí)題課或課堂練習(xí)。2.（A）組的習(xí)題應(yīng)要求學(xué)生全做，由教師自己指定部分習(xí)題交給老師批改。3.緒論課主要的目的是對新生進(jìn)行一次大學(xué)數(shù)學(xué)的課程教育，其講授的內(nèi)容及詳略可由各位教師自定。4.第一章中§1.1、§1.8略講，§1.3(一)§1.9不講，可讓學(xué)生自學(xué)。5.用“ε-N”、“ε-δ”語言定義極限不能省略，不要求學(xué)生會(huì)做有關(guān)的習(xí)題，但要領(lǐng)會(huì)，以便理解有關(guān)的定理的證明。8§1.5建立函數(shù)關(guān)系的例題§1.6函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)§1.7反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)§1.8初等函數(shù)29二§2.1數(shù)列的極限§2.2函數(shù)的極限10§2.3變量的極限§2.4無窮大量與無窮小量§2.5極限的運(yùn)算法則11§2.6兩個(gè)重要的極限§2.7函數(shù)的連續(xù)性12三第二章復(fù)習(xí)小結(jié)、習(xí)題課§3.1§3.2導(dǎo)數(shù)概念213§3.3導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則14§3.4高階導(dǎo)數(shù)§3.5微分215四§4.1中值定理§4.2羅彼塔法則16§4.3函數(shù)的增減性§4.4函數(shù)的極值§4.5最大值與最小值，極值的應(yīng)用問題17§4.6曲線的凹向與拐點(diǎn)§4.7函數(shù)圖形的作法218§4.8導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用19期末復(fù)習(xí)總結(jié)42021期末考試教學(xué)進(jìn)度表(下學(xué)期)課程總學(xué)時(shí)數(shù)：120下學(xué)期總學(xué)時(shí)數(shù)：68周學(xué)時(shí)數(shù)：4周次日期章教學(xué)內(nèi)容實(shí)踐教學(xué)備注1五§5.1不定積分的概念§5.2不定積分的性質(zhì)§5.3基本積分公式§5.4第一類換元法1.第一學(xué)期進(jìn)度中的說明也適用于本學(xué)期。2.§8.8(三)最小二乘法可讓學(xué)生自學(xué)。§9.3根據(jù)實(shí)際的教學(xué)情況略講或不講。2§5.4第二類換元法§5.5分部積分法習(xí)題課23六§6.1引例§6.2定積分的定義§6.3定積分的基本性質(zhì)§6.4定積分與不定積分的關(guān)系4§6.5定積分的換元積分法§6.6定積分的分部積分法§6.7定積分的應(yīng)用(一)平面圖形的面積5§6.7定積分的應(yīng)用(二)旋轉(zhuǎn)體和已知平行截面面積的立體的體積(三)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題舉例§6.9廣義積分與Г函數(shù)26七§7.1無窮級數(shù)的概念§7.2無窮級數(shù)的基本性質(zhì)§7.3正項(xiàng)級數(shù)7§7.4任意項(xiàng)級數(shù)、絕對收斂§7.5冪級數(shù)8§7.6泰勒公式與泰勒級數(shù)§7.7某些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式§7.8冪級數(shù)的應(yīng)用舉例29八§8.1空間解析幾何簡介§8.2多元函數(shù)的概念§8.3二元函數(shù)的極限與連續(xù)210§8.4偏導(dǎo)數(shù)§8.5全微分§8.6復(fù)合函數(shù)的微分法周次日期章教學(xué)內(nèi)容實(shí)踐教學(xué)備注11“五一”假期12§8.7隱函數(shù)的微分法§8.8二元函數(shù)的極限13§8.9二重積分(一)二重積分的基本概念(二)二重積分的計(jì)算(1)在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算14§8.9二重積分(二)(2)在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算習(xí)題課215九§9.1微分方程的一般概念§9.2一階微分方程(一)可分離變量的一階微分方程(二)齊次微分方程16§9.2一階微分方程(三)一階線性微分方程§9.