第2章 質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)

由多個(gè)有相互作用的質(zhì)點(diǎn)所構(gòu)成的力學(xué)體系。一、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的依據(jù)

依然是牛頓力學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn)——牛頓運(yùn)動(dòng)定律。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)遵從牛頓第三定律,牛頓第三定律顯示了它作為牛頓力學(xué)基本出發(fā)點(diǎn)的重要作用。

質(zhì)點(diǎn)系模型概括了宇宙中各種各樣的客體?！?.1質(zhì)點(diǎn)系第二章質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的研究方法

研究質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題有兩種方法。一種方法是對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)建立其運(yùn)動(dòng)微分方程：

共3n個(gè)標(biāo)量的二階微分方程，內(nèi)力使得各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相互關(guān)聯(lián),必須聯(lián)立求解(計(jì)算機(jī)數(shù)值解)。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系構(gòu)成后,就有內(nèi)、外之分；質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的力也就有了內(nèi)力和外力之分。二、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力

另一種方法是從整體上對(duì)質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行研究,討論質(zhì)點(diǎn)系存在哪些普遍規(guī)律。

一個(gè)內(nèi)力及其反作用力都是質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的力,所以內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)。

根據(jù)牛頓第三定律,一對(duì)內(nèi)力大小相等、方向相反、沿相互作用兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向。四、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)所受全部?jī)?nèi)力矢量和為零

顯然不可稱為合內(nèi)力五、對(duì)任意參考點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)所受全部?jī)?nèi)力矩的矢量和為零

不失一般性地設(shè)這一對(duì)內(nèi)力和為引力顯然六、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所受全部?jī)?nèi)力做功之和一般不為零

一對(duì)內(nèi)力做功之和為零的條件為:

由于剛體內(nèi)任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離均保持不變,所以剛體內(nèi)力做功之和為零。

例題1

可在水平面上滑動(dòng)的尖劈2上,有一可沿斜面以相對(duì)尖劈的速度滑動(dòng)的重物1.以重物和尖劈為質(zhì)點(diǎn)系,試分析兩者間內(nèi)力做功情況。

解：把重物和尖劈間的一對(duì)內(nèi)力沿斜面和垂直斜面方向分解。七、耗散力

在非保守力中,有一類力為耗散力,如滑動(dòng)摩擦力即為耗散力。但滑動(dòng)摩擦力不一定做負(fù)功!

耗散力的正確定義:

若一個(gè)力和它的反作用力做功之和永遠(yuǎn)為負(fù)值,則該力稱為耗散力。

一對(duì)作用力和反作用力做功之和與參考系無關(guān)!

在討論不同形式的能量相互轉(zhuǎn)化的問題時(shí),機(jī)械功必須用一對(duì)作用力與反作用力做功之和來度量。

從嚴(yán)格意義上講,動(dòng)能與勢(shì)能的轉(zhuǎn)化必須用一對(duì)保守力做功之和來度量,所以勢(shì)能實(shí)質(zhì)上為以保守力相互作用的體系共有。

一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量定義為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量之和

二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理表述為:在慣性系中,質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和,與內(nèi)力無關(guān),即：§2.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律

證明因：故：

三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律

作為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的推論，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律表述為：

若在某一過程中，質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和恒為零即：

則在該過程中質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量守恒

四、質(zhì)點(diǎn)系沿固定方向的動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律

設(shè)為表示固定方向的單位矢量,用點(diǎn)乘則得到：

若在某一過程中，質(zhì)點(diǎn)系所受的外力沿方向的分量和恒為零，即：則在該過程中質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量沿方向的分量守恒：

五、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的另一種等價(jià)表述。建立質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律的基本思想是把質(zhì)點(diǎn)系“假想質(zhì)點(diǎn)化”令質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量則令

定義位于矢端的幾何點(diǎn)為質(zhì)心,稱為質(zhì)心的位置矢量、為質(zhì)心速度、為質(zhì)心加速度,則

為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。1.

是質(zhì)點(diǎn)的位置矢量以其質(zhì)量為權(quán)重的平均值，直角坐標(biāo)分量為：

對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的物體,上式中的求和應(yīng)改為積分。2.

質(zhì)心相對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的位置與各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量及分布情況有關(guān),與參考系及參考點(diǎn)的選取無關(guān)。

(1)

兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心在兩質(zhì)點(diǎn)的連線上,到兩質(zhì)點(diǎn)的距離與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量成反比。

(2)

兩質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心即為分別位于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心、質(zhì)量分別為兩質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量的兩個(gè)假想質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心。(3)

質(zhì)量均勻分布的物體,其質(zhì)心與幾何中心重合(4)

若重力加速度為常矢量,則質(zhì)心與重心重合3.

質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的另一等價(jià)表述：4.

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律的另一種等價(jià)的表述形式:若在某一過程中,質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和恒等于零,即：則在該過程中點(diǎn)系心速度等于常矢量,即。5.

質(zhì)心和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在從整體上研究質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)中起著重要作用。

六、質(zhì)心系

我們定義原點(diǎn)位于質(zhì)心,隨質(zhì)心平動(dòng)的坐標(biāo)系Cx’y’z’為質(zhì)心系,一般情況下質(zhì)心系是非慣性系

顯然在質(zhì)心系中質(zhì)心速度恒為零,,所以在質(zhì)心系中，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量恒為零

例題2

質(zhì)量為m的滑塊1,放在質(zhì)量為m0傾角為α的直角尖劈2上,尖劈放在光滑水平面上,初始時(shí)滑塊與尖劈均靜止,在重力作用下,滑塊相對(duì)尖劈以勻加速度a沿斜面下滑,求尖劈的加速度和桌面對(duì)尖劈的支撐力。

解：

以由滑塊和尖劈構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象,建立與水平面固連的坐標(biāo)系Oxyz如圖。系統(tǒng)受外力和以及支撐力如圖.因沿Ox方向不受外力,故質(zhì)點(diǎn)沿x軸方向動(dòng)量守恒,即:對(duì)上式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得：由于則：

由y軸方向的動(dòng)量定理及y2=常量和即可求出

用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理解決問題可使未知內(nèi)力不在方程中出現(xiàn),因而使求解得以簡(jiǎn)化。

一、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量

1.

質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的定義

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的總角動(dòng)量定義為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)過O點(diǎn)的軸的角動(dòng)量Ll定義為：

§2.3動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒律

2.

一個(gè)重要關(guān)系式

證明:

由圖顯見注意到質(zhì)心系為平動(dòng)參考系,則故：

質(zhì)心的位置矢量定義式對(duì)任何坐標(biāo)系均成立由于：于是：

例題3

半徑為R，質(zhì)量為m的均勻細(xì)圓環(huán),在Oxy面內(nèi)沿x軸做無滑滾動(dòng),環(huán)心速度為,求圓環(huán)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量。

解：環(huán)心即為圓環(huán)質(zhì)心,建立質(zhì)心系如圖。則：

二、質(zhì)點(diǎn)系在慣性系中對(duì)固定點(diǎn)和固定軸的角動(dòng)量定理

1.

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理表述為:在慣性系中,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)O點(diǎn)的外力矩的矢量和,與內(nèi)力矩?zé)o關(guān),即：

式中為第個(gè)i點(diǎn)所受合外力。證明:由于則2.

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的角動(dòng)量定理

在固定軸上取固定點(diǎn)O,用點(diǎn)乘則

3.

質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律

（1）在某一過程中,質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)固定點(diǎn)O的外力矩的矢量和恒為零,即則在該過程中質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒，常矢量

(2)

在某過程中,質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)固定軸的外力矩之和恒為零,即則在該過程中點(diǎn)系對(duì)固定軸的角動(dòng)量守恒。常量

三、質(zhì)點(diǎn)系在質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理1.

質(zhì)點(diǎn)系在質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理為

式中為質(zhì)點(diǎn)系在質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量,為質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)質(zhì)心力矩的矢量和。與慣性系中對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理形式相同,均與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)。

證明:

由于各質(zhì)點(diǎn)所受慣性力對(duì)質(zhì)心力矩的矢量和因此慣性力不在方程中出現(xiàn),定理有與慣性系內(nèi)定理相同的形式。2.

質(zhì)點(diǎn)系在質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量守恒定律

在某一過程中則常矢量

質(zhì)點(diǎn)系在質(zhì)心系中對(duì)過質(zhì)心固定方向軸的角動(dòng)量定理（略）

例題4

質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的勻質(zhì)桿被拋出后在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。已知拋出時(shí)質(zhì)心速度為角速度為試大致分析桿的運(yùn)動(dòng)。忽略空氣阻力。

解:

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知,質(zhì)心C沿拋物線,做初速為的拋體運(yùn)動(dòng)。即。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系在質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量守恒定律可知常矢量,即,可見運(yùn)動(dòng)中角速度ω保持不變

桿所受外力只有重力

作用于質(zhì)心C,對(duì)質(zhì)心C力矩為零,

四、有關(guān)質(zhì)心與內(nèi)力的討論

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理易于確定質(zhì)心的運(yùn)動(dòng);在質(zhì)心系中以質(zhì)心為參考點(diǎn)可以使問題得以簡(jiǎn)化；因此把質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)分解為以質(zhì)心為代表的“平動(dòng)”和相對(duì)質(zhì)心系的運(yùn)動(dòng)給研究問題帶來方便。

2.

內(nèi)力的作用

質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量和總角動(dòng)量的時(shí)間變化率與內(nèi)力無關(guān)決非表明內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)沒有貢獻(xiàn),也不表明內(nèi)力對(duì)和的演化過程沒有影響。1.

利用質(zhì)心系分解質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)

質(zhì)點(diǎn)間有內(nèi)力相互作用是構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)系的條件。

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)是在外力與內(nèi)力的共同作用下運(yùn)動(dòng)的；對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來說,內(nèi)力與外力有等同的作用。

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)一對(duì)對(duì)的內(nèi)力造成了各質(zhì)點(diǎn)間動(dòng)量與角動(dòng)量的等量轉(zhuǎn)移,內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)至關(guān)重要

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和角動(dòng)量分別從線運(yùn)動(dòng)和角運(yùn)動(dòng)的角度描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理指出,力是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化率的度量,力矩是質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量變化率的度量。

進(jìn)一步考慮由和兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的,不受外力的質(zhì)點(diǎn)系,則：

上述二式指出動(dòng)量和角動(dòng)量都既不會(huì)憑空產(chǎn)生，亦不會(huì)憑空消失,它們只是在不同質(zhì)點(diǎn)間流動(dòng)。

力描述了動(dòng)量的流動(dòng),力矩描述了角動(dòng)量的流動(dòng)。于是我們可以認(rèn)為力就是動(dòng)量“流速率”(單位時(shí)間的流量),力矩就是角動(dòng)量“流速率”,由此內(nèi)力的作用得到了形象地述。xo選逆時(shí)針為正方向注：也可用對(duì)通過滑輪中心水平軸的動(dòng)量矩定理繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)組的力為內(nèi)力

一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

1.

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的定義

質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能T定義為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和,即：

2.

柯尼希定理式中Tc為位于質(zhì)心的假想質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能,T’為質(zhì)點(diǎn)系在質(zhì)心系中的動(dòng)能。§2.4動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律

證明:所以

由于則因?yàn)?/p>

例題5

質(zhì)量為m、半徑為R的勻質(zhì)圓盤,在Oxy平面沿x軸做無滑滾動(dòng),盤心速度為,如圖所示,求圓盤動(dòng)能。

解：盤心即為圓盤質(zhì)心,建立質(zhì)心系Cx’y’如圖。則：

二、質(zhì)點(diǎn)系在慣性系中的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律

1.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理表述為:在慣性系中,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分等于質(zhì)點(diǎn)系所受所有外力和內(nèi)力的元功之和,即：證明:質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理為：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分與內(nèi)力元功有關(guān)。對(duì)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)求和,則：

由于剛體內(nèi)力做功之和為零,即所以剛體動(dòng)能的微分與內(nèi)力元功無關(guān)。

2.內(nèi)勢(shì)能

從嚴(yán)格意義上講動(dòng)能與勢(shì)能的轉(zhuǎn)化,要用一對(duì)保守力做功之和來度量由于一對(duì)內(nèi)力所做元功之和,已歸結(jié)為其中一個(gè)力在其受力質(zhì)點(diǎn)相對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移中所做元功,即：

則這一對(duì)內(nèi)力為保守內(nèi)力

與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中討論的外勢(shì)能V(e)

區(qū)分,一對(duì)內(nèi)保守力的勢(shì)能記為V(i),稱為內(nèi)勢(shì)能。若：

外勢(shì)能是對(duì)勢(shì)能的一種理解方式,是簡(jiǎn)化功能關(guān)系的一種方法。外勢(shì)能的概念又必須存在,否則完整的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)就不能建立。3.質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能定理和機(jī)械能守恒定律.

對(duì)于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受保守外力,可引入外勢(shì)能則質(zhì)點(diǎn)系總外勢(shì)能：對(duì)于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)與第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的一對(duì)保守內(nèi)力,可引入內(nèi)勢(shì)能。則質(zhì)點(diǎn)系總內(nèi)勢(shì)能

把第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受非保守外力所做元功記為把第個(gè)i質(zhì)點(diǎn)與第個(gè)j質(zhì)點(diǎn)間的一對(duì)非保守內(nèi)力所做元功記為，則由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可導(dǎo)出：定義質(zhì)點(diǎn)系總勢(shì)能：上式稱為質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能定理?？倷C(jī)械能：

質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒定律表述為:若在某一過程中,質(zhì)點(diǎn)系所受非保守外力均恒不做功：每一對(duì)內(nèi)非保守力做功之和均恒為零：則在該過程中質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能守恒。

質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能守恒說明,在運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化,但沒有機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其他形式的運(yùn)動(dòng)之間的能量轉(zhuǎn)化。

三、質(zhì)點(diǎn)系在質(zhì)心系中的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系在質(zhì)心系中的動(dòng)能定理為：亦與慣性系中的動(dòng)能定理形式相同,與內(nèi)力元功有關(guān)。

證明:

在作為非慣性系的質(zhì)心系中討論質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí),需考慮慣性力,且視慣性力為外力。由于各質(zhì)點(diǎn)所受慣性力在質(zhì)心系內(nèi)做功之和為零,即：

所以慣性力不在方程中出現(xiàn),定理形式與慣性系內(nèi)定理形式相同。

解：質(zhì)點(diǎn)組沒有受外力作用，兩質(zhì)點(diǎn)相互作用的內(nèi)力為保守力，質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。（1）（2）例6

質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點(diǎn)以萬有引力吸引，開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)靜止且距離為。求兩質(zhì)點(diǎn)相距為時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的速度。聯(lián)立方程（1）、（2）解得方程（2）也可用質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理代替（3）

研究?jī)蓚€(gè)質(zhì)點(diǎn)僅在相互作用下發(fā)生的運(yùn)動(dòng),稱為二體問題。不作任何近似,二體問題通過適當(dāng)?shù)姆椒苫癁閱误w問題,利用前面取得的結(jié)果,使問題得到徹底的解決。

一、二體運(yùn)動(dòng)的分解

二體運(yùn)動(dòng)可以分解為二體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)加上它們相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。其質(zhì)心相對(duì)慣性系做勻速直線運(yùn)動(dòng)。因此,只需求兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)?！?.5兩體問題

m2相對(duì)m1的位矢根據(jù)質(zhì)心定義可得說明二體相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可以通過二體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)求得。

二體相對(duì)慣性系Oxyz的運(yùn)動(dòng)。

質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)由初始條件確定

是質(zhì)心的初位矢和初速度。剩下的問題是求二體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

二、二體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)、約化質(zhì)量

現(xiàn)在來建立兩體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方程?？紤]一般情況,設(shè)質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)受到m1的作用力為F,則二質(zhì)點(diǎn)相對(duì)慣性系的運(yùn)動(dòng)方程為:兩式相減,得若定義約化質(zhì)量μ為則得m2相對(duì)m1的運(yùn)動(dòng)方程:這是質(zhì)點(diǎn)m2相對(duì)于原點(diǎn)建立在m1上的平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方程。此坐標(biāo)系為非慣性系,相對(duì)它,牛頓第二定律應(yīng)作修正,這個(gè)修正表現(xiàn)在質(zhì)點(diǎn)所受的力中需補(bǔ)充慣性力,通過這種修正應(yīng)能得到上式。

上式說明修正的方法還可采取另一方式進(jìn)行,即只要以約化質(zhì)量代替原來的質(zhì)量m2,在質(zhì)點(diǎn)所受的力上就無需修正,這種方法帶來很大的方便。

二體問題化為單體問題!

如果m1>>m2,則,即質(zhì)量不需要修正,意味著此時(shí)與m1一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系可看做為慣性系。此時(shí)m2

不修正

三、對(duì)開普勒第三定律的修正

按二體問題考慮,太陽不是不動(dòng)的,行星對(duì)太陽的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)修正為：于是與認(rèn)為太陽靜止時(shí)行星的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行比較,如果把右端仍看做為“萬有引力”,這相當(dāng)于太陽質(zhì)量應(yīng)修正為。

將開普勒第三定律中的M=ms

用替換,便得到修正后的開普勒第三定律。

但是,對(duì)于質(zhì)量相近的雙星系統(tǒng),則必須考慮修正。修正后的開普勒第三定律給我們提供了計(jì)算某些雙星中一個(gè)星體的質(zhì)量的依據(jù)。

雙星系統(tǒng)中可能有一顆星為暗星,可以根據(jù)二體理論,由亮星的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致暗星的發(fā)現(xiàn)。

所以,嚴(yán)格說T2/a3

這一比值并不是對(duì)所有行星都相同,但實(shí)際上對(duì)太陽系九大行星來說,這比值的差別非常小,即使對(duì)質(zhì)量最大的木星,兩者質(zhì)量之比

ms/m=1/1047<<1,這種修正是非常小的。

研究粒子散射時(shí),假如靶核(或稱中心粒子)量不是非常大,則當(dāng)入射粒子與之相互作用后,不僅入射粒子的出射方向發(fā)生偏轉(zhuǎn),靶粒子也將獲得一個(gè)反沖運(yùn)動(dòng),入射粒子的運(yùn)動(dòng)與靶粒子的運(yùn)動(dòng)互相影響、互相耦合,這種情況稱為兩體散射。只研究彈性散射的情況,碰撞前后兩粒子的動(dòng)能之和相等。

質(zhì)心系——靶粒子系——實(shí)驗(yàn)室參考系

一、在質(zhì)心坐標(biāo)系中兩體碰撞的規(guī)律

取質(zhì)心系為參考系。以,表示二粒子在碰撞前的速度。§2.6實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系與質(zhì)心坐標(biāo)系

以,表示二粒子在碰撞后的速度。因質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心系的總動(dòng)量為零(質(zhì)心系又稱零動(dòng)量系),故有：得

在質(zhì)心系中兩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量總是等值反向的。

因彈性碰撞故碰撞前后動(dòng)能相等。

在上式中消去v’r2和vr2,得同理可得每個(gè)粒子在碰撞前后速度大小不改變。

因?yàn)橄鄬?duì)質(zhì)心系的散射角等于相對(duì)靶粒子參考系的散射角,所以求經(jīng)碰撞后粒子速度轉(zhuǎn)過的角度,即質(zhì)心系中觀察到的散射角,可由相對(duì)靶粒子參考系的散射角得出

因此,如果兩粒子間的相互作用力為(斥力),則可通過下式求得(由單體散射角公式）其中μ為約化質(zhì)量,v0

為入射粒子相對(duì)靶粒子的初速。

二、從質(zhì)心坐標(biāo)系到實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的變換

實(shí)驗(yàn)室參考系即通常進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察的慣性參考系。以,表示二粒子在碰撞前相對(duì)此參考系的速度,以

,表示它們碰撞后相對(duì)此系的速度。以表示質(zhì)心相對(duì)此系的速度,則：先求實(shí)驗(yàn)室參考系中的散射角θ1和θc

的關(guān)系。所以而質(zhì)心速度為C以及就可求得兩散射角的變換關(guān)系從上式看出:(1)當(dāng),則;(2)當(dāng),則。再?gòu)那蟪鰧⒑痛?得

最后再求靶粒子在碰撞后的反沖運(yùn)動(dòng)。由于靶粒子初始靜止,所以。而反沖速度與入射方向的夾角為所以

為等腰三角形,于是反沖速度的大小為

當(dāng)入射粒子與靶粒子質(zhì)量相等,靶粒子初始靜止,散射后,于是即二粒子的散射方向必互相垂直。這一結(jié)果為質(zhì)子—質(zhì)子碰撞實(shí)驗(yàn)所證實(shí),在照相乳劑中可清晰顯示二質(zhì)子碰撞后的徑跡相互垂直。1.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

設(shè)t時(shí)刻,中心質(zhì)點(diǎn)(即我們要研究的質(zhì)點(diǎn))量為m,速度為,有質(zhì)量為dm的小質(zhì)點(diǎn)以速度加入到中心質(zhì)點(diǎn)上來.該過程在dt時(shí)間內(nèi)完成,在t+dt時(shí)刻中心質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量變?yōu)閙+dm,速度為

以中心質(zhì)點(diǎn)和小質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成質(zhì)量不變的質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行研究.根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理,有：

略去高階小量

則：

§2.7變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)

著眼于中心質(zhì)點(diǎn),視m為時(shí)間t的函數(shù)m=m(t),dm/dt為中心質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量變化率,則得到：

即為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

注意:

(1)

導(dǎo)出過程簡(jiǎn)單巧妙。

(2)

為中心質(zhì)點(diǎn)與小質(zhì)點(diǎn)所受外力矢量和。(3)

小質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量dm已被理解為中心質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的增量,則dm可正可負(fù)。

令為小質(zhì)點(diǎn)相對(duì)中心質(zhì)點(diǎn)的速度,可以得到另一種表達(dá)形式：式中兩個(gè)特例:若：若：則：則：可視為由于質(zhì)量改變而受到的“附加力”——“推力”

例題7

一球型雨滴在均勻重力場(chǎng)中下落時(shí)，由于不斷吸收周圍的水分而逐漸變大。設(shè)雨滴吸收水分的速率與該時(shí)刻的表面面積成正比，開始下落時(shí)雨滴半徑近似為零。試求t時(shí)刻雨滴的加速度。忽略空氣阻力。

解:

因?yàn)橹車质庆o止的,即故雨滴的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

所受外力為重力以豎直向下為運(yùn)動(dòng)正方向,則運(yùn)動(dòng)微分方程可化為標(biāo)量形式。設(shè)雨滴半徑為r,比例系數(shù)為α,由題意可知:設(shè)ρ為雨滴密度,則于是得到:由于r是t的函數(shù),先求出r的變化規(guī)律r=r(t),為此把代入(1)式得到:

（1）（2）積分上式,并依初始條件t=0時(shí)r=0,得：把代入(2)式,則得到：此方程的解為：即由初始條件t=0時(shí)v=0,定出積分常數(shù)c=0,故：所以有：結(jié)果表明,雨滴將以g/4的加速度勻加速地下落。

解法一：用變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程求解

補(bǔ)充例題1長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)鏈條伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向與桌面邊緣垂直，開始時(shí)鏈條靜止，一半從桌上下垂，如下圖所示。求鏈條末端滑到桌子邊緣時(shí)鏈條的速度V？xo豎直方向分量形式：

即:因?yàn)椋悍匠套優(yōu)椋?1)

設(shè)線質(zhì)量密度為λ，對(duì)桌面上一段用變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程(2)

將（2）代入（1）,得

注意：化簡(jiǎn)得兩邊積分：得：即：

拉力做功之和為零，只有空中部分鏈條的重力做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒以桌面為零勢(shì)能位置解法二：用機(jī)械能守恒定律求解

(1)

受力分析：空中部分鏈的重力，桌面上鏈條的重力，桌面對(duì)其上鏈條的支撐力以及鏈條內(nèi)部的拉力(內(nèi)力)。初狀態(tài)：末狀態(tài)：代入方程(1),得化簡(jiǎn)，得即：解法二：用動(dòng)能定理求解

分析：

,只有空中部分鏈條的重力做功y

補(bǔ)充例題2

火箭在t時(shí)刻質(zhì)量為m0(1-αt)，從t=0時(shí)靜止鉛直上升，噴射氣體相對(duì)火箭的速率為4g/α。設(shè)大氣阻力為2m0αv(v為火箭速度)。試證火箭到達(dá)高度時(shí)g/(3α2)時(shí)，火箭只有原來質(zhì)量的一半。(設(shè)g恒定，α為常數(shù))。(2)參照系：地面；建立oy坐標(biāo)系。y

(3)受力分析解：

(1)研究對(duì)象：火箭(4)列出運(yùn)動(dòng)微分方程

即：即：得：積分：解：(1)

設(shè)人、船最初靜止，跳起瞬時(shí)，人的絕對(duì)速度為

,船的絕對(duì)速度為V。(2)

水平方向動(dòng)量守恒補(bǔ)充例題3

一人從船上向岸上跳，是大船上跳容易，還是小船上跳容易？（不計(jì)水的阻力）(3).由動(dòng)能定理

要保持一定的速度向岸上跳，M越大，W越小，M越