第16講第六章平面向量及其應(yīng)用章末重點(diǎn)題型大總結(jié)

第16講第六章平面向量及其應(yīng)用章末題型大總結(jié)題型01平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算【典例1】（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）在中，點(diǎn)滿(mǎn)足為重心，設(shè)，則可表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】..故選：C【典例2】（2023上·安徽·高三固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知兩個(gè)單位向量和向量與的夾角為，且與的夾角為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，又，結(jié)合三角函數(shù)的定義易得，而，，所以，故，即.故選：D【典例3】（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)及平面向量，，．(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)4(2)【詳解】（1）,因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上，所以，解得.（2），，又因?yàn)?，所以，解?【變式1】（2023上·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，，則的值為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)镃，P，D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，即，所以，又，所以.故選：C【變式2】（2023上·新疆克孜勒蘇·高三統(tǒng)考期中）已知向量，，，若，則等于【答案】【詳解】，，，，即，即，解得.故答案為：.【變式3】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，．則的取值范圍為．【答案】【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，正方形的邊長(zhǎng)為1，則，∵．當(dāng)時(shí)，有且，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有且，∴，當(dāng)時(shí)，有且，∴，當(dāng)時(shí)，有且，∴，綜上，，故答案為：題型02平面向量的共線(xiàn)及其推論【典例1】（2023上·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線(xiàn)分別與兩邊交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【詳解】若是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)G是的重心，則必過(guò)，且，由題設(shè)，又共線(xiàn)，所以，即，注意，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故目標(biāo)式最小值為1.故選：A【典例2】（2023上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）的三內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，設(shè)向量，若向量與向量共線(xiàn)，則角.【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄抗簿€(xiàn)，所以，即，在中，由余弦定理得，，又，所以.故答案為：.【典例3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，方向相反，則．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，且，方向相反，所以可設(shè)，則，解得或（舍去），所以，．故答案為：.【變式1】（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，若，則（

）A．6 B．0 C． D．【答案】C【詳解】由向量，因?yàn)椋运裕蔬x:C.【變式2】（2023下·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若，則的值為.【答案】【詳解】由，，，可得，解之得故答案為：【變式3】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與兩邊分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值為.【答案】/【詳解】因?yàn)?，所以，?又是的中點(diǎn)，，，所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：題型03平面向量的數(shù)量積（定值，最值，范圍）方法一：定義法【典例1】（2023下·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)都在單位圓上，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)?，所?故選：A【典例2】（2023下·四川巴中·高一統(tǒng)考期末）折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或者綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子.某折扇如圖1所示，其平面圖為如圖2所示的扇形AOB，其半徑為3，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍?故選：D【變式1】（2023下·湖北武漢·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的菱形中，為的中點(diǎn)，，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意設(shè)（），因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以，令，則對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上遞增，所以，即，所以的取值范圍是，故選：B方法二：坐標(biāo)法【典例1】（2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量，，則.【答案】5【詳解】向量，，則，.故答案為：5【典例2】（2023上·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知平面向量，，均為單位向量，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意不妨令，，設(shè)，可得，則.故選：B.【變式1】（2023上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，則【答案】0【詳解】∵，，∴，∴.故答案為：0.【變式2】（2023上·北京·高三中關(guān)村中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】A【詳解】以的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，所以，所以.故選：A.方法三：極化恒等式法【典例1】（2023下·江蘇徐州·高一徐州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，為正方形內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分別取線(xiàn)段、的中點(diǎn)、，連接、，則，所以，，所以，點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的半圓弧上，如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段與半圓弧的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，結(jié)合圖形可知，，故，同理可得，故選：B.【典例2】（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，且，．若點(diǎn)N在線(xiàn)段CD（端點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】連接，如圖，點(diǎn)N在線(xiàn)段CD（端點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?，即是正三角形，于是，而M為AB的中點(diǎn)，且，所以.故選：A【變式1】（2023下·河南商丘·高一商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C，易得，即可求得的最小值為.【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，如下圖所示：設(shè)為的中點(diǎn)，則；所以當(dāng)取最小值時(shí)，取得最小值；，所以.故選：C方法四：幾何意義法【典例1】（2023上·北京海淀·高二校考階段練習(xí)）如圖，在圓中，已知弦，弦，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知得．如圖：作于，則就是在上的射影，且．根據(jù)數(shù)量積的幾何性質(zhì)可知．同理可得，故．故選：A．【典例2】（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，點(diǎn)為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【詳解】正六邊形中，過(guò)點(diǎn)作于，則，，，，由圖可知，在方向上的投影的取值范圍是，所以，，即，故的取值范圍為.故答案為：.【變式1】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)做交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn).因?yàn)?，?所以.由圖可知當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最大值1，當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最小值，又因?yàn)椋缘娜≈捣秶?故選：D方法五：自主建系法【典例1】（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學(xué)校?？计谥校┮阎沁呴L(zhǎng)為1的正的邊上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：取AC的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，直線(xiàn)AC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，，，且，時(shí)，取最小值；時(shí)，取最大值，∴的取值范圍是，故選：A.【典例2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，設(shè)在上的投影向量為，且滿(mǎn)足，則等于；延長(zhǎng)線(xiàn)段至點(diǎn)，使得，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，則的最小值為．【答案】1【詳解】過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)?，故，故為的中點(diǎn)，故，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，故，，設(shè)，，故，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：1，【變式1】（2023下·江蘇南通·高二海門(mén)中學(xué)校考階段練習(xí)）點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH內(nèi)一點(diǎn)(包括邊界)，且＝1，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】連接AF，因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，故，以所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則在方向上的投影的取值范圍為，結(jié)合向量數(shù)量積的定義可知，等于的模與在方向上的投影的乘積，又，∴的最大值為，故選：C．題型04平面向量的夾角（銳角，鈍角，直角）【典例1】（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，，則“”是“向量與的夾角為銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】因?yàn)?，，向量與夾角為銳角，即需且與不共線(xiàn)，得，解得：，所以“”是“向量與的夾角為銳角”的充要條件.故C項(xiàng)正確.故選：C.【典例2】（2020下·甘肅張掖·高一山丹縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚?，2），（1，1），若與的夾角為直角，則實(shí)數(shù)λ＝，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.【答案】【詳解】（1）因?yàn)椋士傻?，又因?yàn)榕c的夾角為直角，故可得，即，解得；（2）令，即可得，解得；當(dāng)與的夾角為時(shí)，不妨設(shè)，故可得，即，，解得，；故要滿(mǎn)足與的夾角為銳角，只需.故答案為：；.【典例3】（2023下·高一單元測(cè)試）已知，分別確定實(shí)數(shù)的值或取值范圍，使得：(1)與的夾角為直角；(2)與的夾角為鈍角；(3)與的夾角為銳角.【答案】(1)(2)(3)且【詳解】（1）已知與的夾角為直角，所以，解得.（2）已知與的夾角為鈍角，則，且與不反向，即，解得.當(dāng)與共線(xiàn)時(shí)，，即，此時(shí).所以.（3）當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，則，且與不同向，即，解得.當(dāng)與共線(xiàn)時(shí)，，，所以且.【典例4】（2023上·山東·高二濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且與不同向共線(xiàn)，所以且，解得且，所以的取值范圍為，故答案為：.【變式1】（2023上·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由已知可得，由可得，解得，所以由與的夾角為鈍角可得解得，且.因此，當(dāng)時(shí)，與的夾角不一定為鈍角，則充分性不成立；當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，，且，即成立，則必要性成立.綜上所述，“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B．【變式2】（2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）因?yàn)?，，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是．【答案】【詳解】因?yàn)椋遗c的夾角為鈍角，所以，解得，又當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)與的夾角為，所以，綜上可得且，即的取值范圍是.故答案為：【變式3】（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一內(nèi)蒙古師大附中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，則與的夾角為鈍角時(shí)，的取值范圍為.【答案】【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，即，所以，解得，同時(shí)向量，也不能成的角，所以，所以的取值范圍為.故答案為：.【變式4】（2023下·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知向量，.(1)若，求的值；(2)若，與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)橄蛄?，，且，則，，則，可得，所以，，解得.（2）解：當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)榕c的夾角為銳角，則，解得，且與不共線(xiàn)，則，可得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型05求向量的夾角（定值，最值，范圍）【典例1】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，又，所以，得到，所以，得到，所以，故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中點(diǎn)，N在BC上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解法一

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，∴，∴，則，∴，故選：A．解法二

設(shè)，，則，，，，，∴，，，∴，故選：A．【典例3】（2023下·重慶酉陽(yáng)·高一重慶市酉陽(yáng)第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知單位向量，的夾角為60°，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（

）.A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄浚膴A角為，則，所以，又，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，必有，則，又，，則，所以，所以，故的最大值為.故選：D．【典例4】（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）設(shè)，為單位向量，滿(mǎn)足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為．【答案】【詳解】，為單位向量，則，即，，得，令，，，，，有，由，則，即，得，，即.故答案為：【變式1】（2023下·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）已知單位向量，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)?，所以，則，即恒成立.所以，解得，因?yàn)?，所以，故，的夾角的取值范圍是.故選：A.【變式2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)均是非零向量，且，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)根，所以，所以，因?yàn)榫欠橇阆蛄?，且，所以，因?yàn)?，所以，故選：B.【變式3】（2023下·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？计谀┤?，是兩個(gè)單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角的余弦值為．【答案】【詳解】由題意可知：，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，可得，，，所以，故答案為?【變式4】（2023下·河北保定·高一統(tǒng)考期末）已知為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，又為的外心，所以為直角三角形，且，為斜邊的中點(diǎn)，，，過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，如圖：則向量在向量上的投影向量為，且，，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最小值為.故選：B題型06向量的模與距離（定值，最值，范圍）【典例1】（2023上·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，為單位向量，且與的夾角為，則＝（

）A．49 B．19 C．7 D．【答案】C【詳解】由題意得，故，故選：C【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三個(gè)平面向量?jī)蓛傻膴A角相等，且，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】BD【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄績(jī)蓛蓨A角相等，即兩兩夾角為或．當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，；當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，，則．綜上，或，故選：BD．【典例3】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，，與的夾角為，則的值最小時(shí)，實(shí)數(shù)x的值為．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，與的夾角為，所以.所以,當(dāng)時(shí)，的值最小.故答案為：.【典例4】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個(gè)向量滿(mǎn)足，．若對(duì)任意的，都有成立，則的最小值等于．【答案】【詳解】依題意，設(shè)與的夾角為，，因?yàn)?，，所以，即，則，所以，因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，所以，即，即對(duì)于恒成立，故，又，解得，綜上，，則的最小值為.故答案為：.【變式1】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，滿(mǎn)足，，，則的最大值是.【答案】/【詳解】

設(shè)，，，點(diǎn)是的重心，，．∴是直角三角形，又∵，即，以A為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則且，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.【變式2】（2020上·浙江紹興·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）已知向量滿(mǎn)足，則的取值范圍是．【答案】【詳解】由向量滿(mǎn)足，設(shè)，則，設(shè)向量，其中，聯(lián)立方程組，解得，可得，因?yàn)?，可得，所以，可得所以的取值范圍?故答案為：.【變式3】（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎蛄?，，，，與的夾角為，則的值最小時(shí)，實(shí)數(shù)的值為.【答案】/0.2【詳解】，由于，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最小值，故答案為：【變式4】（2023上·上海松江·高三?？计谥校┮阎獑挝幌蛄康膴A角為.若，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由已知，，，.故答案為：題型07平面向量與其它知識(shí)的交匯題【典例1】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等腰中，的外接圓圓心為，點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】D【詳解】由已知，所以圓的外接圓直徑為，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以時(shí)，取到最小值．故選：D．【典例2】（2023上·上海閔行·高三?？计谥校┢矫嫔嫌幸唤M互不相等的單位向量，，…，，若存在單位向量滿(mǎn)足，則稱(chēng)是向量組，，…，的平衡向量．已知，向量是向量組，，的平衡向量，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，如圖所示，，設(shè)，，則，所以，即，解得，故，或，，或，故答案為：【典例3】（2022上·山西忻州·高三?？计谀┮阎J角中，三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，兩向量，．若與是共線(xiàn)向量．(1)求的大?。?2)若恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)2【詳解】（1）解：因?yàn)榕c是共線(xiàn)向量，故，整理得，，即，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，故；（2）令，因?yàn)椋?，故，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，故，解得，所以，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，，故的最小值?.【變式1】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校?？计谥校┮阎?，是空間單位向量，，若空間向量滿(mǎn)足，，且對(duì)于任意x，，（，），則（

）A． B． C． D．3【答案】A【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值1，兩邊平方即在時(shí)，取到最小值1，，∴，可得..故選：A.【變式2】（2023上·上海虹口·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，，，，，是平面上兩兩不相等的向量，若，且對(duì)任意的i，，均有，則．【答案】3【詳解】由，得向量、、分別看作是以為起點(diǎn)，以為終點(diǎn)的向量，且是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為正的中心，由對(duì)任意的，均有，得向量、、是以為起點(diǎn)，各邊中點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，則，所以.故答案為：3【變式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）已知向量，函數(shù)．(1)求的解析式與單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【詳解】（1），，所以，即．令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）當(dāng)時(shí)，，所以，又當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．題型08利用正（余）弦定理解三角形【典例1】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，若，則的形狀為（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，整理得到，又由正弦定理，得到，所以，得到，又，所以，得到，又，所以，故選：B.【典例2】（多選）（2023下·遼寧鐵嶺·高一西豐縣高級(jí)中學(xué)校考期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，且，則為等邊三角形C．若，則是等腰三角形D．在中，，則使有兩解的的范圍是【答案】ABD【詳解】對(duì)A，即，即，因?yàn)?，故原式成立，故A正確；對(duì)B，則，即，故，由可得.又可得，即，故，由可得.故，則為等邊三角形，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，則或，所以或，故不一定為等腰三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，要使有兩解，則需，故，即，故D正確.故選：ABD【典例3】（2023·河北衡水·河北棗強(qiáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)D在BC邊上，BD的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A，且滿(mǎn)足，，則的大小為．【答案】【詳解】因?yàn)锽D的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A，所以，則，所以．又因?yàn)樵谥校?，，所以．在中，由正弦定理，得，所?因?yàn)?，所以為銳角，所以，則，又，所以．故答案為：.【典例4】（多選）（2021下·湖北·高一校聯(lián)考期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【詳解】選項(xiàng)A，點(diǎn)A到邊BC的距離是1，∵，∴三角形有兩解；選項(xiàng)B，點(diǎn)A到邊BC的距離是2與b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；選項(xiàng)C，點(diǎn)A到邊BC的距離是，三角形無(wú)解；選項(xiàng)D，根據(jù)已知可解出，，∴三角形有唯一解.故選：BD.【變式1】（多選）（2019下·福建廈門(mén)·高一廈門(mén)市湖濱中學(xué)?？计谥校?duì)于，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若，則符合條件的有兩個(gè)D．若，則是鈍角三角形【答案】BD【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，則，滿(mǎn)足，即不一定是等腰三角形，可能為直角三角形，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由大角對(duì)大邊可得，，由正弦定理，得，則，即，故B項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，由正弦定理得，即，又，則，故為銳角，由此唯一確定，邊也唯一確定，故有唯一解，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，已知，由正弦定理得，則，所以，則角為鈍角，故是鈍角三角形，D項(xiàng)正確.故選：BD.【變式2】（多選）（2023下·山西大同·高一校考階段練習(xí)）中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則如下命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，則是等腰三角形C．若為銳角三角形，則D．若是直角三角形，則【答案】ACD【詳解】對(duì)于A：若，則，結(jié)合正弦定理得，故A正確；對(duì)于B：若，由正弦定理可得，所以，故或，即或，故三角形是等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若三角形為銳角三角形，則，故，同理可得，，三式相加得，故C正確；對(duì)于D：若是直角三角形，不妨設(shè)為直角，則，由正弦定理可得，所以，所以，又，所以，則，同理可證或?yàn)橹苯菚r(shí)也成立，故D正確．故選：ACD．【變式3】（2022下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，則AC=.【答案】【詳解】在中，由正弦定理可得：，所以①，在中，由正弦定理可得：，所以②，又因?yàn)?，所以由①②可得：，解得：，所以在中，由余弦定理得：，解得?故答案為:.題型09三角形中周長(zhǎng)（邊）的定值，最值，范圍問(wèn)題【典例1】（2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰阡J角三角形中，、、的對(duì)邊分別為、、，且滿(mǎn)足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得，因?yàn)?、，則，因?yàn)檎液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，則，因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，則，所以，，令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，故，故選：D.【典例2】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫矗捎嘞叶ɡ淼茫郑裕?）因?yàn)椋裕?，所以，即．在中，由余弦定理得，所以．解得或（舍）．所以的周長(zhǎng)．【典例3】（2023上·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足：______．(1)求角C的大?。?2)若，的內(nèi)心為I，求周長(zhǎng)的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【詳解】（1）選擇條件①，，在中，由正弦定理得，整理得，則由余弦定理，，又，所以．選擇條件②，，于是，在中，由正弦定理得，，因?yàn)?，則，即，因?yàn)椋虼?，即，又，所以．?）

如圖，由（1）知，，有，因?yàn)榈膬?nèi)心為，所以，于是．設(shè)，則，且，在中，由正弦定理得，，所以，所以的周長(zhǎng)為，由，得，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍為．【典例4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知銳角內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若.(1)求；(2)若，求的范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，，則，又,所以（2）因?yàn)椋?則，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以,解得，令，所以，所以.【典例5】（2023上·廣東廣州·高二廣東廣雅中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面四邊形中，點(diǎn)與點(diǎn)分別在的兩側(cè)，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，.(1)若中三個(gè)內(nèi)角、、分別對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)為、、，的面積，，求和；(2)若，且，設(shè)，求對(duì)角線(xiàn)的最大值和此時(shí)的值.【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的最大值為【詳解】（1）解：因?yàn)榈拿娣e，即，整理可得，所以，，又因?yàn)椋瑒t，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)椋瑒t，所以，，解得，即.（2）解：因?yàn)?，則，其中，則，由余弦定理可得，則，在中，，，由余弦定理可得，所以，，故，故為等腰直角三角形，則，所以，，易知，則，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為.【變式1】（2023上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且，的面積為，則的值為.【答案】【詳解】由，可得，由正弦定理可得，，而sinB>0，整理得，即，，，所以上式變?yōu)?，又，，因?yàn)椋?，解得，又由余弦定理可得，，解得，?故答案為：.【變式2】（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)證明：.(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證法一：因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，由正弦定理得，即；證法二：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，由正弦定理可得，?（2）由上可知，則，解得，又因?yàn)椋?，所以的取值范圍?【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并作答．問(wèn)題：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）若選①：，則，∴∴∵，，∴，∵，∴.若選②：，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴．若選③：，則，由正弦定理得，∴∴，∴，∵，∴．（2）由正弦定理得，故，則，，由于，，，∴.【變式4】（2023上·湖北·高二湖北省羅田縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求外接圓半徑.(2)求周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)外接圓半徑為，因?yàn)椋?，所以，則，即，整理得，所以由余弦定理可得，，因?yàn)?，所以，故外接圓半徑.（2）因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.又因?yàn)?，，故的周長(zhǎng)的最大值為．題型10三角形(四邊形）中面積的定值，最值，范圍問(wèn)題【典例1】（2023上·江蘇·高三海安高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，．(1)求；(2)若D是邊上一點(diǎn)，，且，求的面積，【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，將代入得，，化簡(jiǎn)得，即，則；（2）由（1）知，則，則在中，由，解得，所以，解得，則，故的面積.【典例2】（2023上·全國(guó)·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，在線(xiàn)段上，．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)樵诰€(xiàn)段上，，所以，又，，在中，，即，則，又，所以，則，在中，，所以．（2）在中，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以，即的最大值為．因?yàn)椋?，故的最大值為．【典?】（2023·河北邢臺(tái)·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求B；(2)如圖，在AC的兩側(cè)，且，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題設(shè)及余弦定理，由，且，則.（2）由（1）及已知：，即，所以為等邊三角形，令且，而，等腰的頂角為，且，所以，則，所以四邊形面積，故，而，故僅當(dāng)時(shí).【典例4】（2023下·江蘇南京·高一南京市江寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即；?）法一：由及（1）知的面積.由正弦定理得.由于為銳角三角形，故，.由（1）知，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，故，故，從而.因此面積的取值范圍是；法二：因?yàn)?，，由余弦定理得，即，故，為銳角三角形，則，即，由①得，解得，由②得，解得或（舍去），綜上，所以.【變式1】（2023上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，設(shè)，(1)求角；(2)若，且，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ?，可得，整理得，可得，即，因?yàn)?，則，所以，可得，即，又因?yàn)?，可得，所以，所?（2）解法一：在中，由余弦定理得，即，①因?yàn)椋郧?，即，在和中，由余弦定理可得，即，即，②?lián)立①②消去，可得，因?yàn)椋?dāng)且僅時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，所以的面積.故面積最大值為.解法二：延長(zhǎng)至，使，連，則且，可得，在中，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以的面積.故面積最大值為.【變式2】（2023上·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，且的外接圓的半徑為.(1)求角的大??；(2)求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，又，所以，因?yàn)椋?，則，所以.（2）由正弦定理得，即，所以，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，因?yàn)椋值淖畲笾禐?，所以面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值.【變式3】（2023下·內(nèi)蒙古·高二校聯(lián)考期末）如圖，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，，，的面積為．(1)求的周長(zhǎng)；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以．在中，由余弦定理可得，解得．故的周長(zhǎng)為．（2）由，，，四點(diǎn)共圓可得：，在中，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以，所以．故面積的最大值為.【變式4】（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中學(xué)?？计谀┰阡J角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足.(1)求角A；(2)若，求△ABC的面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由條件及正弦定理得，，，，.（2），由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，所以的面積的最大值為.題型11三角形中的中線(xiàn)問(wèn)題方法一：中線(xiàn)向量化【典例1】（2023·河南·統(tǒng)考三模）在中，角的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若邊上的中線(xiàn)，求三角形面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題意，中，滿(mǎn)足，根據(jù)正弦定理，可得，因?yàn)?，可得，所以，又由，解得，，又因?yàn)?，所以．?）因?yàn)槿暨吷系闹芯€(xiàn)，可得，即，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．故面積的最大值為.【典例2】（2023上·江蘇南京·高三期末）銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若，為的中點(diǎn)，求中線(xiàn)長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)3【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則.因?yàn)椋?，又，所以，由題意知，所以.（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，又由余弦定理得，，即，所以.由得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即，所以，即中線(xiàn)長(zhǎng)的最大值為.【變式1】（2023上·湖南岳陽(yáng)·高二湖南省平江縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的角所對(duì)的邊分別是，且.(1)求b；(2)若是的中線(xiàn)，且，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)槭堑闹芯€(xiàn)，所以，又，，設(shè)，則，即，解得，即，所以的面積為.【變式2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大?。?2)若，AC邊上的中線(xiàn)，求的面積S．【答案】(1)(2)【詳解】（1），因?yàn)?，所以?）方法二：角互補(bǔ)【