第05講函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的模型原卷版

第05講：:函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的模型【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)存在定理 考點(diǎn)二：用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值考點(diǎn)三：函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)問(wèn)題 考點(diǎn)四：零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或根個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍考點(diǎn)五：零點(diǎn)的分布問(wèn)題 考點(diǎn)六：函數(shù)模型的應(yīng)用考點(diǎn)七：函數(shù)和方程的綜合問(wèn)題【知識(shí)梳理】1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210【題型歸納】題型一：函數(shù)零點(diǎn)存在定理1．（2024上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知，則的零點(diǎn)所處的區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（2023上·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（

）A． B． C． D．題型二：用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值4．（2023上·江蘇蘇州·高一張家港市沙洲中學(xué)校考期末）若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個(gè)近似根精確度為可以是（）A． B． C． D．5．（2023上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875110.3750.17180.13080.25950.012450.061130.02483要使零點(diǎn)的近似值精確到0.1，則對(duì)區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.66．（2023上·上海浦東新·高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┰谟枚址ㄇ蠛瘮?shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，若某一步將零點(diǎn)所在區(qū)間確定為，則下一步應(yīng)當(dāng)確定零點(diǎn)位于區(qū)間（

）A． B．C． D．題型三：函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)問(wèn)題7．（2023下·河南信陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)校考期末）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2021上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型四：零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或根個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍10．（2024上·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2023上·全國(guó)·高一期末）已知函數(shù)，若方程僅有兩個(gè)不同的根，則的取值范圍為

()A． B． C． D．12．（2024上·湖南郴州·高一安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：零點(diǎn)的分布問(wèn)題13．（2023上·北京石景山·高一?？计谥校┤絷P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)實(shí)根小于1，另一個(gè)實(shí)根大于2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．14．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若關(guān)于的方有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．15．（2023上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型六：函數(shù)模型的應(yīng)用16．（2024上·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）放射性核素鍶89會(huì)按某個(gè)衰減率衰減，設(shè)初始質(zhì)量為，質(zhì)量與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），若鍶89的半衰期（質(zhì)量衰減一半所用時(shí)間）約為50天，那么質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過(guò)30天衰減后質(zhì)量約變?yōu)椋?/p>

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B．C． D．17．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障安全，根據(jù)國(guó)家規(guī)定，駕駛?cè)藛T每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克為飲酒后駕車(chē)；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克為醉酒駕車(chē).某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止飲酒后，他的血液中的酒精會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他想要駕車(chē)至少要經(jīng)過(guò)（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B． C． D．18．（2024上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）2023年2月27日，學(xué)堂梁子遺址入圍2022年度全國(guó)十大考古新發(fā)現(xiàn)終評(píng)項(xiàng)目.該遺址先后發(fā)現(xiàn)石制品300多件，已知石制品化石樣本中碳14質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿(mǎn)足（表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過(guò)測(cè)定，學(xué)堂梁子遺址中某件石制品化石樣本中的碳14質(zhì)量約是原來(lái)的倍，據(jù)此推測(cè)該石制品生產(chǎn)的時(shí)間距今約（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．8370年 B．8330年 C．3850年 D．3820年題型七：函數(shù)和方程的綜合問(wèn)題19．（2024上·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）綠水青山就是金山銀山，“兩山”的轉(zhuǎn)換不僅發(fā)生在青山綠水之間，在生產(chǎn)生活中更應(yīng)該注重對(duì)環(huán)境的保護(hù)．為了減少工廠廢氣排放的影響，工廠可以采用一些技術(shù)來(lái)減少?gòu)U氣排放，也可以改變生產(chǎn)工藝來(lái)減少?gòu)U氣排放，某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾，后排放、過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位．h）間的關(guān)系為，其中，k是正的常數(shù)．如果在前5h消除了的污染物，那么(1)10h后還剩百分之幾的污染物？(2)污染物減少需要花多少時(shí)間（精確到）？(3)畫(huà)出P關(guān)于t變化的函數(shù)圖象．20．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）已知（），函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1.(1)求的值；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（2024上·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中校考期末）已知．(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【強(qiáng)化精練】一、單選題22．（2024上·遼寧朝陽(yáng)·高一建平縣第二高級(jí)中學(xué)校考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．23．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的交點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B．C． D．24．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．25．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)?？计谀┲袊?guó)5G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（

）．A．20% B．23% C．28% D．50%26．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．27．（2024上·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．1或2 C．3 D．1或328．（2024上·上海嘉定·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的的方程有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．29．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題30．（2024上·遼寧鐵嶺·高一?？计谀┠惩瑢W(xué)求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí),用計(jì)算器算得部分函數(shù)值如表所示:則方程的近似解(精確度)可取為（

）A． B． C． D．31．（2023上·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)一中?？计谥校┮阎嵌x在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，32．（2023上·廣東廣州·高一廣州市南武中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則（

）A．的取值范圍是 B．C． D．故選：BCD33．（2023上·四川綿陽(yáng)·高一綿陽(yáng)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則有3個(gè)零點(diǎn) D．若，則有5個(gè)零點(diǎn)三、填空題34．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，如果用二分法求這個(gè)零點(diǎn)（精確度為）的近似值，那么將區(qū)間等分的次數(shù)至少是.35．（2024上·上?！じ咭恍？计谀┮阎瘮?shù)兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于2另一個(gè)小于2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．36．（2023上·福建泉州·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)在上的解析式為；若與有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.37．（2023上·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，若在上是增函數(shù)且在R上至少有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是．四、解答題38．（2024上·上海·高一上海中學(xué)?？计谀┠车刂袑W(xué)生社會(huì)實(shí)踐小組為研究學(xué)校附近某路段交通擁堵情況，經(jīng)實(shí)地調(diào)查、數(shù)學(xué)建模，得該路段上平均行車(chē)速度v（單位：）與該路段上的行車(chē)數(shù)量n（單位：輛）的關(guān)系為：，其中常數(shù)．該路段上每日t時(shí)的行車(chē)數(shù)量．已知某日17時(shí)測(cè)得的平均行車(chē)速度為．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)定義，求一天內(nèi)q的最大值（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．39．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.40．（2023上·四川內(nèi)江·高一四川省隆昌市第一中學(xué)?？计谀﹪?guó)內(nèi)某大型機(jī)械加工企業(yè)在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（共計(jì)30天，包括第30天），其主營(yíng)產(chǎn)品在第天的指導(dǎo)價(jià)為每件（元），且滿(mǎn)足（），第天的日交易量（萬(wàn)件）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：第天12510（萬(wàn)件）141210.810.38(1)給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，其中，為常數(shù).請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從①②中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來(lái)擬合該產(chǎn)品日交易量（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系；并且從四組數(shù)據(jù)中選擇你認(rèn)為最簡(jiǎn)潔合理的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的推理和運(yùn)算，求出的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該企業(yè)在未來(lái)一個(gè)月（共計(jì)30天，包括第30天）的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)水平維持上個(gè)月的水平基本不變，由（1）預(yù)測(cè)并求出該企業(yè)在未來(lái)一個(gè)月內(nèi)第天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并確定取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的.41．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｄ蠀R中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的表達(dá)式為．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)解不等式：；(3)若關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的