重慶市黔江中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題

重慶市黔江中學(xué)校20232024年度高一11月月考數(shù)學(xué)（滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用元素與集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】，，，.故選：B.2.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）A.必要條件 B.充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)逆否命題的等價(jià)性，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題意“不破樓蘭終不還”只可知，“返回家鄉(xiāng)”則可推出“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”必要條件，故選：A.3.已知命題：，是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得是真命題，即，，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，有，且，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:D.4.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.定義域?yàn)?B.值域?yàn)镃.奇函數(shù) D.減函數(shù)【答案】C【解析】【分析】首先求出冪函數(shù)解析式，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以.對(duì)A、B：因?yàn)?，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，故A錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，即為奇函數(shù)，故C正確；對(duì)D：在區(qū)間，上單調(diào)遞減，由可知在定義域上不是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：D.5.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個(gè)商標(biāo)中抽象出一個(gè)圖象如圖，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項(xiàng)選項(xiàng)A、D，再根據(jù)不成立排除選項(xiàng)C，即可得正確選項(xiàng).【詳解】由圖知的定義域?yàn)椋懦x項(xiàng)A、D，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，不符合圖象，所以排除選項(xiàng)C，故選：B.6.的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)函數(shù)整理變形，即可由指數(shù)函數(shù)的值域，求得目標(biāo)函數(shù)值域.【詳解】，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域的求解，涉及指數(shù)函數(shù)的值域，屬基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對(duì)任意，都有，則值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知存在唯一的，使得，由已知可得，即，解方程，求出的值，可得出函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則存在唯一的，使得，對(duì)于方程，則，可得，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，由，可得，，因此，.故選：C.8.已知函數(shù)，若a?b?c?d?e（a<b<c<d<e）滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，可得，利用對(duì)稱性可得，由可求得，進(jìn)而可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有五個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，可得，同理可得，由，可求得，所以，.因此，的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分，每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列四組函數(shù)中是相同函數(shù)的有（）A.；B.；C.；D.；【答案】BC【解析】【分析】依次判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同，即得解【詳解】選項(xiàng)A，兩個(gè)函數(shù)的定義域分別是與，不表示相同的函數(shù)；選項(xiàng)B，兩個(gè)函數(shù)定義域都為R，且，對(duì)應(yīng)法則相同，故表示相同的函數(shù)；選項(xiàng)C，函數(shù)定義域?yàn)椋瘮?shù)定義域?yàn)?，且，，故?duì)應(yīng)法則相同，故表示相同的函數(shù)；選項(xiàng)D，函數(shù)定義域?yàn)?，即，函?shù)定義域?yàn)?，即或，定義域不同，不表示相同的函數(shù)故選：BC10.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將c改寫(xiě)成，利用和的單調(diào)性，分別與a，b比較大小.【詳解】因?yàn)椋?，又，是減函數(shù)，所以，即，故A正確；因?yàn)?，又，增函?shù)，所以，即，故B不正確；由于，所以，故C正確；由前面的分析知，所以，而，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用指對(duì)數(shù)關(guān)系、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)單調(diào)性判斷A、B，根據(jù)基本不等式,，注意判斷C、D.【詳解】由題設(shè)，，，A正確；在定義域上遞增，所以，B錯(cuò)誤；由，根據(jù)基本不等式得，C正確；由，根據(jù)基本不等式得，D錯(cuò)誤.故選：AC12.設(shè)函數(shù)，（），則下列說(shuō)法正確的有（）A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B.若函數(shù)為偶函數(shù)，則C.若函數(shù)定義域?yàn)?，則D.，，使得，則【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A求得定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”判斷即可；對(duì)B，的多項(xiàng)式為偶函數(shù)，奇此項(xiàng)為0；對(duì)C，在上恒成立，計(jì)算；對(duì)D，計(jì)算，然后使用分離參數(shù)計(jì)算即可.【詳解】對(duì)A，令或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，且在單調(diào)遞減所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故A錯(cuò)；對(duì)B，，由該函數(shù)為偶函數(shù)，故，故B正確；對(duì)C，等價(jià)于在上恒成立，所以，所以，故C正確；對(duì)D，，，依題意等價(jià)于，即，，即所以，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則__________.【答案】【解析】【分析】先利用求出，利用奇函數(shù)的定義，求出，再求.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故答案為：.14.秋冬季是流感高發(fā)季節(jié)，為了預(yù)防流感，某學(xué)校決定用藥熏消毒法對(duì)所有教室進(jìn)行消毒.如圖所示，已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)空氣中的含藥量（）與時(shí)間（）（）成正比；藥物釋放完畢后，與t的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)，），據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到（）以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，則學(xué)校應(yīng)安排工作人員至少提前__________小時(shí)進(jìn)行消毒工作.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意求出參數(shù)a，當(dāng)時(shí),令，解不等式即可.【詳解】由圖中一次函數(shù)圖象可得，圖象中線段所在直線的方程為，又點(diǎn)在曲線上，所以，解得，因此含藥量與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，令，即，即，解得故答案為：1.15.若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】6【解析】【分析】首先變形，再利用“1”的妙用，結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，聯(lián)立，得，，所以的最小值為.故答案為：616.已知函數(shù)y＝f(x)及y＝g(x)的圖象分別如圖所示，方程f(g(x))＝0和g(f(x))＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為a和b，則a＋b＝________.【答案】10【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合求得的根，再根據(jù)函數(shù)嵌套進(jìn)行分析，即可求得結(jié)果.【詳解】由圖象知f(x)＝0有3個(gè)根，分別為0，±m(xù)(m＞0)，其中1＜m＜2，g(x)＝0有2個(gè)根，設(shè)為n，p，則－2＜n＜－1，0＜p＜1，由f(g(x))＝0得g(x)＝0或±m(xù)，由圖象可知當(dāng)g(x)所對(duì)應(yīng)的值為0，±m(xù)時(shí)，其都有2個(gè)根，因而a＝6；由g(f(x))＝0知f(x)＝n或p，由圖象可以看出當(dāng)f(x)＝n時(shí)，有1個(gè)根，而當(dāng)f(x)＝p時(shí)，有3個(gè)根，即b＝1＋3＝4.所以a＋b＝6＋4＝10.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，涉及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，注意細(xì)節(jié)即可，屬基礎(chǔ)題.四、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.回答下面兩題：（1）計(jì)算：（2）計(jì)算：已知，則=【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分式指數(shù)冪的運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)求值；（2）首先求，即可化簡(jiǎn)求值.【小問(wèn)1詳解】原式；【小問(wèn)2詳解】，所以.18.已知全集為R，集合，集合或.（1）若是成立的充分不必要條件，求a的取值范圍；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可知，集合是集合的真子集，結(jié)合數(shù)軸即可求解；(2)根據(jù)題意，先求出，再求出滿足時(shí)范圍，再求補(bǔ)集即可.【小問(wèn)1詳解】由是成立的充分不必要條件，可知集合是集合的真子集，因，或，所以或，解得.【小問(wèn)2詳解】由或，得，若，則或，即，因，所以.19.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）用定義證明：在上為減函數(shù).【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義，利用且，列出關(guān)于a、b的方程組并解之得；

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，任取實(shí)數(shù)x1、x2，通過(guò)作差因式分解可證出,當(dāng)時(shí)，,即得函數(shù)在上為減函數(shù)；【詳解】為R上的奇函數(shù)，，解得：．又，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．證明：任取，，且，則．，，又，在上為減函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．20.習(xí)總書(shū)記指出：“綠水青山就是金山銀山．”某市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)號(hào)召，因地制宜地將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．調(diào)研過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹(shù)的單株產(chǎn)量W（單位：kg）與肥料費(fèi)用（單位：元）滿足如下關(guān)系：，其他成本投入（如培育管理等人工費(fèi)）為（單位：元）．已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為10元/kg，且供不應(yīng)求．記該單株水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）（2）當(dāng)肥料費(fèi)用為30元時(shí)，該單株水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大，利潤(rùn)最大值為270元.【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件，表示出即可；(2)利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所?【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，由一元二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且從而，即在上的最大值為240；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，不等式取等號(hào)，從而，即當(dāng)時(shí)，有最大值270，此時(shí)肥料費(fèi)用.綜上所述，當(dāng)肥料費(fèi)用為30元時(shí)，該單株水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大，利潤(rùn)最大值為270元.21.已知函數(shù)在上有意義，且對(duì)任意滿足.（1）求的值；（2）判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；（3）若在上單調(diào)遞減，且，請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，若存在，給出實(shí)數(shù)的一個(gè)取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）取，代入計(jì)算得到答案.（2）取，得到，得到在證明.（3）題目轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性得到，確定，得到，與定義域矛盾，得到答案.【小問(wèn)1詳解】取得到，故.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：取，，即，即，函數(shù)定義域，故函數(shù)為奇函數(shù).【小問(wèn)3詳解】，即，即，函數(shù)單調(diào)遞減，故，整理得到：，，則，，，故，這與矛盾，故不存在22.已知函數(shù)（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，的值；（2）已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）定義：閉區(qū)間的長(zhǎng)度為，若對(duì)于任意長(zhǎng)度為1的閉區(qū)間D，存在，求正數(shù)a的最小值.【答案】（1）（2）（3）4【解析】【分析】（1）根