重慶市縉云教育聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次診斷性檢測試題（一模）數(shù)學(xué)2

2024CEE01數(shù)學(xué)重慶縉云教育聯(lián)盟2024年高考第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷考生須知：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘。一、選擇題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．，則的共軛復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（

）A． B． C． D．4．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，則下列說法正確的是（

）A．則 B．則C．則 D．則5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（

）A．0 B．3 C．6 D．127．已知，，，，，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的，少選擇1個正確選項得3分，少選擇2個正確選項得1分，否則得0分。8．已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．E．a(chǎn)9．已知為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為F，A，B是拋物線上兩個不同的點，為線段AB的中點，則（

）A．若，則到準(zhǔn)線距離的最小值為3B．若，且，則到準(zhǔn)線的距離為C．若，且，則到準(zhǔn)線的距離為72D．若AB過焦點，，為直線AB左側(cè)拋物線上一點，則△ABC面積的最大值為E．若，則到直線AB距離的最大值為410．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．對于任意的，都有D．在圖象上不存在不同的三個點，使得△ABC為等邊三角形E．在圖象存在不同的三個點，使得△ABC為等邊三角形三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。11．已知為圓：上一點，則的取值范圍是.12．已知二項式的展開式中第二、三項的二項式系數(shù)的和等于45，則展開式的常數(shù)項為．13．橢圓上的點P到直線的最大距離是；距離最大時點P坐標(biāo)為.14．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中研究過一種叫“鱉（biē）臑（nào）”的幾何體，它指的是由四個直角三角形圍成的四面體，那么在一個長方體的八個頂點中任取四個，所組成的四面體中“鱉臑”的個數(shù)是.四、解答題：本題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（10分）記△ABC的內(nèi)角的對邊分別為.已知．(1)求；(2)若為的中點，且，求．16．（10分）已知正項數(shù)列的前n項和為，且．(1)求證：(2)在與間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列?若存在，求出這樣的3項，若不存在，請說明理由．17．（15分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在兩個不相等的正數(shù)，滿足，求證：.(3)若有兩個零點，，證明：.18．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，點，的坐標(biāo)分別為和，設(shè)的面積為，內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)時，記頂點的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)已知點，，，在上，且直線與相交于點，記，的斜率分別為，．(i)設(shè)的中點為，的中點為，證明：存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時，；(ii)若，當(dāng)最大時，求四邊形的面積．19．（15分）某工廠引進新的生產(chǎn)設(shè)備，為對其進行評估，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm5859616263646566676869707173合計件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計值.(1)為評估設(shè)備對原材料的利用情況，需要研究零件中某材料含量和原料中的該材料含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對觀測值，求與的線性回歸方程.(2)為評判設(shè)備生產(chǎn)零件的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判（表示相應(yīng)事件的概率）；①；②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備的性能等級.(3)將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品．從樣本中隨意抽取2件零件，再從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望.附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.20．（15分）本題分為Ⅰ、Ⅱ兩部分，考生選其中一部分作答.若多選，則按照第Ⅰ部分積分.Ⅰ.把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中底面長軸，短軸長為下底面橢圓的左右焦點，為上底面橢圓的右焦點，為上的動點，為上的動點，為過點的下底面的一條動弦（不與重合）．(1)求證：當(dāng)為的中點時，平面(2)若點是下底面橢圓上的動點，是點在上底面的投影，且與下底面所成的角分別為，試求出的取值范圍．(3)求三棱錐的體積的最大值．Ⅱ.如圖1，已知，，，，，.(1)求將六邊形繞軸旋轉(zhuǎn)半周（等同于四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周）所圍成的幾何體的體積；(2)將平面繞旋轉(zhuǎn)到平面，使得平面平面，求異面直線與所成的角；(3)某“”可以近似看成，將圖1中的線段、改成同一圓周上的一段圓弧，如圖2，將其繞軸旋轉(zhuǎn)半周所得的幾何體，試求所得幾何體的體積.2024CEE01數(shù)學(xué)重慶縉云教育聯(lián)盟2024年高考第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1．A 2．D 3．C 4．C5．A 6．C 7．A二、多項選擇題8．BCD 9．ACDE 10．ACE三、填空題11． 12．13． 14．四、解答題15．解：（1）由余弦定理形式和，因此．又，即，由正弦定理得：，整理得：，．，，，．（2）由，得，得．在△ACD中，由余弦定理得，為的中點，，即，（其中），．由正弦定理得，，，即．，由，可得；，．16．解：（1）因為，，所以即，①當(dāng)時，②②①得：即，當(dāng)時，，所以，所以是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，又因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上所述：.（2）因為，，由題意知：，所以，假設(shè)在數(shù)列中是否存在3項，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即化簡得：，又因為m，k，p成等差數(shù)列，所以，所以即，又，所以即，所以，這與題設(shè)矛盾.所以在數(shù)列中不存在3項，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.17．解：（1）由，得函數(shù)的定義域為，又，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得；令，得；所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由，得，故欲證，只需證：，即證，又，，，不妨設(shè)，，等價于，令（），等價于（），，所以在單調(diào)遞增，而，所以，當(dāng)時，恒成立.所以，所以.（3）函數(shù)有兩個零點，，所以，，不妨設(shè)，，即，要證：，需證：只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，令，只需證：，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故.也可由對數(shù)均值不等式（），即，令（），則，即，所以.18．解：（1）由題意得，易知，

由橢圓定義可知，動點在以，為焦點，且長軸長為的橢圓上，又不能在直線上，∴的方程為：．（2）（2）(i)（法一）設(shè)，，，易知直線的方程為，聯(lián)立，得，∴，∴，，即，同理可得，，∴，欲使，則，即，∴，∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時，．（法二）設(shè)，，，易知的斜率不為零，否則與重合，欲使，則將在軸上，又為的中點，則軸，這與過矛盾，故，同理有，則，可得，易知，，且，，∴，即，同理可得，，欲使，則，∴，∴，∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時，．(ii)由(i)易知，且，∴，即，同理可得，，∵，∴，記，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)此時，，且直線和的夾角為，則，不難求得，此時，易知，且，∴四邊形的面積為．19．解：（1），，，，，，所以與的線性回歸方程為；（2），，，，，，，，，設(shè)備M的性能等級為丙級.（3）樣本中直徑小于等于的共有2件，直徑大于的零件共有4件，所以樣本中次品共6件，可估計設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06.由題意可知從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，其中次品數(shù)設(shè)為Y1，則，于是；從樣本中隨意抽取2件零件其次品數(shù)設(shè)為Y2，由題意可知Y2的分布列為：Y2012P故.則次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望.20.Ⅰ.解：（1）由題設(shè)，長軸長，短軸長，則，所以分別是中點，而柱體中為矩形，連接，由，故四邊形為平行四邊形，則，當(dāng)為的中點時，則，故，面，面，故平面.（2）由題設(shè)，令，則，又，所以，，則，所以，根據(jù)橢圓性質(zhì)知，故.（3）由，要使三棱錐的體積最大，只需面積和到面距離之和都最大，，令且，則，所以，顯然時，有最大；構(gòu)建如上圖直角坐標(biāo)系且，橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立橢圓得，且，所以，，而，所以，令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上遞增，故；綜上，.Ⅱ.解：（1）和繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體可以得到兩個底面半徑為1，高為2的圓錐，體積之和為；正方形繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為一個底面半徑為1，高為2的圓柱，體積為.所以，總的體積.（2）如圖3，取中點為，連接，則.因為，中點為，所以.又平面平面，平面平面，所以，平面，即平面.以點為坐標(biāo)原點，如圖3建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，所以，，，，，，所以，，，所以，，所以，異面直線與所成的角的余弦值為，所以，.（3）由已知可得，圓心為點，則半徑.六邊形繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體的體積，等于直角梯形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積的2倍.直角梯形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，為一個上、下底面半徑分別為1、3，高為1的圓臺，體積；剩下的兩部分為全等的弓形，先研究弓形繞軸旋轉(zhuǎn)半周，得到的幾何體為球缺.現(xiàn)在用祖暅原理來求解該球缺的體積，如圖5，半球的半徑和圓柱的底面半徑均為，且圓柱的高，且，在半球中，高度為，且平行于底面的截面圓的半徑，面積為.在圓柱中，