2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之銳角三角函數(shù)

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之銳角三角函數(shù)（2021年11月）

一.選擇題（共8小題）

1.（2021秋?長春期中）如圖，在aABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,下列三角函數(shù)

表示正確的是（）

5354

2.（2021秋?金山區(qū)校級期中）以下與tan30°大小相等的是（）

A.cos60°B.cot60°C.cot30°D.tan60°

3.（2021秋?萊蕪區(qū)期中）在RtZ\AC8中，NC=90°,tanA=2）后，則sinB的值為（）

A.AB.AC.5/2D.5/3

52

4.（2021秋?徐匯區(qū)期中）如圖，一塊矩形木板ABC。斜靠在墻邊（OCJ_OB,點A,B,C,

D,O在同一平面內(nèi)），已知AB=a,AD=b,ZBCO=a,則點A到OC的距離等于（）

A.〃.sina+b.sinaB.〃?cosa+b?cosa

C.?#sina+/?ecosaD.a.cosa+"ina.

5.（2021秋?浦東新區(qū)期中）在RtZ\A3C中，ZC=90°,AB=m,那么邊AC的長為（）

A.msinBB.mcosBC.mtanBD.mcotB

6.（2021秋?長春期中）如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：V3.壩高BC為4m則

AB的長度為（）

_____5

SssSsssss

Ssssssss

Stssssss

Qstsssss

yystsssss

sssss

yssss

yg.s.s

A4Ba

8/16/

7.（2021秋?錦江區(qū)校級期中）如圖，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則cos/ACB

的值為（)

且______￡

A.AB.豆C.D.

25510

8.（2021秋?鹽湖區(qū)校級月考）如圖1、是我們經(jīng)常看到的一種折疊桌子，它是由下面的支

架A。、BC與桌面構(gòu)成如圖2,已知O4=OB=OC=OQ=20吐加，NCOD=60：則

點A到地面（C￡＞所在的平面）的距離是（）

A.3O\[^cmB.60y/3cmC.40^f^cmD.60cm

填空題（共7小題）

9.（2021秋?閔行區(qū)期中）如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水平地

面所成角為a時，梯子頂端靠在墻面上的點8處，底端落在水平地面的點A處，如果將

梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為B，且sina=cos0=旦，則梯子頂端上升了

5

米.

10.（2021?鹿城區(qū)校級二模）如圖1是兩扇推拉門，AB是門檻，AD,BC是可轉(zhuǎn)動門寬，

現(xiàn)將兩扇門推到如圖2的位置（平面示意圖），其中tan/D4B=巨，tanNC8A=§,測

124

得C,。間的距離為4百§&例，則門檻A3的長為dm.

c

圖1圖2

11.（2021秋?婺城區(qū)校級月考）如圖1是一款“雷達式”懶人椅.當(dāng)懶人椅完全展開時，

其側(cè)面示意圖如圖2所示，金屬桿AB、CD在點。處連接，且分別與金屬桿EF在點B,

D處連接.金屬桿CD的OD部分可以伸縮（即OD的長度可變）.已知OA=50cm,OB

=20c/n,OC=30cm.DE=BF=5cm.當(dāng)把懶人椅完全疊合時，金屬桿AB,CD,E尸重

合在一條直線上（如圖3所示），此時點E和點A重合.

（1）如圖2,已知NBO￡）=120°,NOB尸=140°,則點A,C之間的距離為cm.

（2）如圖3,當(dāng)懶人椅完全疊合時，則CF與C￡＞的比為.

12.（2021?寧夏）在數(shù)學(xué)實踐活動課上，某興趣小組測量操場上籃球筐距地面的高度如圖所

示，已知籃球筐的直徑AB約為0.45〃?，某同學(xué)站在C處，先仰望籃球筐直徑的一端A

處，測得仰角為42°,再調(diào)整視線，測得籃球筐直徑的另一端B處的仰角為35°.若該

同學(xué)的目高OC為1.7"，則籃球筐距地面的高度AD大約是，".（結(jié)果精確到1根）.

（參考數(shù)據(jù):tan42°=0.9,tan35°=0.7,tan48°—LI,tan55°=1.4）

13.（2021秋?棲霞市期中）如圖，△ABC的頂點都在邊長相等的小正方形的頂點上，則cos

/BAC等于____________________

14.（2021秋?海曙區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，AB=3旄，連接A8并延長

15.（2021秋?平陽縣期中）小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點。處后進球.已知小

明與籃框內(nèi)的距離3c=5米，眼鏡與底面的距離43=1.7米，視線AZ）與水平線的夾角

三.解答題（共5小題）

16.（2021?攀枝花）釣魚島及其附屬島嶼是中國的固有領(lǐng)土，神圣不可侵犯！自2021年2

月1日起，旨在維護國家主權(quán)、更好履行海警機構(gòu)職責(zé)的《中華人民共和國海警法》正

式實施.中國海警在釣魚島海域開展巡航執(zhí)法活動，是中方依法維護主權(quán)的正當(dāng)舉措.如

圖是釣魚島其中一個島礁，若某測量船在海面上的點D處測得與斜坡AC坡腳點C的距

離為140米，測得島礁頂端A的仰角為30.96°,以及該斜坡AC的坡度i=S,求該島

6

礁的高（即點A到海平面的鉛垂高度）.（結(jié)果保留整數(shù)）

（參考數(shù)據(jù)：sin30.96°-0.51,cos30.96°-0.85,tan30.96°?=0.60）

17.（2021秋?浦東新區(qū)期中）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,延長斜邊8c到點￡）,

使CZ）=工BC,聯(lián)結(jié)AO,如果tanB=2,求tanNCA。的值.

23

18.（2021?新野縣三模）許昌市旅游服務(wù)中心由廣場和1“一門四闕''主題建筑組成，如圖1.廣

場為迎賓廣場一門”為“許昌之門”，“四蹦”為廣場四角的漢闕，是許昌的標志性建筑.某

數(shù)學(xué)興趣小組在迎賓廣場測量旅游服務(wù)中心的高度，圖2為測量示意圖，MN為服務(wù)中心

的對稱軸，在地面的處架設(shè)測角儀，測得旅游服務(wù)中心的最高點。的仰角45°,利

用無人機在點B的正上方57.8米處的點C處測得點D的俯角為32°,測角儀的高度AB

=1.6米，尸”=17.2米，￡>E=19.8米.

（1）求旅游服務(wù)中心的高度為多少米？（結(jié)果精確到（）』，".參考數(shù)據(jù)：sin32°g0.530,

cos32°心0.848,tan32°g0.625,我七1.414）

（2）興趣小組測量后到旅游服務(wù)中心參觀，發(fā)現(xiàn)講解員講解的高度為368”，請用物理

知識解釋測量值與實際值出現(xiàn)差距的原因，如何避免或者減小差距？

19.（2021秋?龍馬潭區(qū)校級期中）2021年9月16號，瀘縣發(fā)生地震，救援隊及時達到現(xiàn)場

參與救援，在救援中用熱氣球進行探測.如圖，探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓的頂

部8的仰角（NBA。）為45°,看這棟高樓底部C的俯角（NC4。）為60°,熱氣球與

高樓的水平距離AZ）為50〃?，求這棟高樓的高度（結(jié)果保留根號）.

B

20.（2021?巴音郭楞州模擬）如圖，一輛轎車在一個十字路口遇到紅燈剎車停下，轎車里的

駕駛員看地面的斑馬線前后兩端的視角分別是/。。=30°和/OCB=53°,如果斑馬

線的寬度A8=4米，駕駛員與車頭的距離是1.8米，這時轎車車頭與斑馬線的距離x約

是多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin53°弋生cos53°七巨，tan53°七魚?=1.73,結(jié)果精確

553

至U0.1米）

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之銳角三角函數(shù)（2021年11月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2021秋?長春期中）如圖，在aABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,下列三角函數(shù)

表示正確的是（）

5354

【考點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；模型思想.

【分析】先利用勾股定理求出BC的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對各選項分別進

行計算，再利用排除法求解即可.

【解答】解：VZACB=90°,AB=5,AC=4,

BC=VAB2-AC2=V52-42=3'

，sinA=3,故選項A錯誤；

5

tanA=3,故選項8錯誤；

4

cosA=4,故選項C正確；

5

tanfi=A,故選項。錯誤.

3

故選：C.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理的應(yīng)用，熟記在直角三角形中，銳

角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊是解題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?金山區(qū)校級期中）以下與tan30°大小相等的是（）

A.cos60°B.cot60°C.cot30°D.tan600

【考點】特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別求出各個選項中特殊角的三角函數(shù)值，比較大小

即可得到答案.

【解答】解：tan30°=返，cot60°=返，

33

則與tan300大小相等的是cot60°,

故選：B.

【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記60°的正切值、余切值是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?萊蕪區(qū)期中）在RtZ\AC8中，/C=90°,tanA=2\后，則sinB的值為（）

A.AB.AC.>/2D.V3

52

【考點】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系.

【專題】平面直角坐標系；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識.

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可.

【解答】解：設(shè)中，ZC=90°,/A、NB、/C的對邊分別為a、b、c,

由于tanA———2\f^,

b

可設(shè)q=2J頷，b=kt由勾股定理得，

c=22=5

Va+b^

sinB=A=_L,

c5

故選：A.

【點評】本題考查互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的定義是正確解答

的關(guān)鍵.

4.（2021秋?徐匯區(qū)期中）如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊（OC_LO8,點A,B,C,

D,。在同一平面內(nèi)），已知AB=a,AD=b,/BCO=a,則點A到OC的距離等于（）

A.a*sina+/?,sinaB.a,cosa+/>,cosa

C.a?sina+6?cosaD.a?cosa+〃?sina.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】作AEL08交。8的延長線于點E,在直角三角形ABE和直角三角形BOC中解

直角三角形可求出點A到0C的距離.

【解答】解：如圖，作AE_L08交。8的延長線于點E,

OCLOB,

：.ZAEB=ZBOC=90°,

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.BC=AD=b,NABC=90°,

...NABE=90°-ZOBC=ZBCO=a,

,里＞=cos/ABE=cosa,

AB

BE=AB,cosa=a,cosa,

,.■?^=sin/3C0=sina,

BC

0B=BC*sina=b,sina,

0E=BE+OB—a*cosa+b?sina,

'：AE//OC,

...點A、點￡到。C的距離相等，

/.點A到0C的距離等于a?cosa+%?sina,

【點評】此題考查直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識與方法，解

題的關(guān)鍵是作輔助線將點A到0C的距離轉(zhuǎn)化為一條線段的長.

5.（2021秋?浦東新區(qū)期中）在RtA4BC中，ZC=90°,AB^m,那么邊AC的長為（）

A.znsinBB.mcosBC.mtanBD.mcotH

【考點】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；模型思想.

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得出答案.

【解答】解：在RtZ\ABC中，NC=90°,AB=m,

VsinB=-^-,即sinB=^^,

ABm

.*.AC=/wsinB,

故選：A.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?長春期中）如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：V3.壩高BC為4〃?，則

AB的長度為（）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】根據(jù)坡度的概念求出AC,再根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

【解答】解：?.?迎水坡AB的坡比為1：V3-

-BC=1

..而-7T

；BC=4，〃，

，AC=4百〃，

由勾股定理得：4B=+AC2={422=8（m）,

故選:B.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，掌握坡度的概念是解題的

關(guān)鍵.

7.（2021秋?錦江區(qū)校級期中）如圖，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則cosNACB

A.AB.在c.2辰D.

25510

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】根據(jù)圖形得出A。的長，進而利用三角函數(shù)解答即可.

【解答】解：過A作4O_LBC于。，

：.DC=\,AD=3,

AAC=VAD2+DC2=VIO,

：.cosZACB=^-^-^=^-,

ACV1010

故選：D.

【點評】此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是利用三角函數(shù)解答.

8.（2021秋?鹽湖區(qū)校級月考）如圖1、是我們經(jīng)?？吹降囊环N折疊桌子，它是由下面的支

架AO、BC與桌面構(gòu)成如圖2,已知OA=OB=OC=O￡>=20j7，〃，ZCOD=60Q,則

點A到地面（CC所在的平面）的距離是（）

A.30"\/^(:機B.60-\/3c/nC.40y[^ctnD.60cm

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】連接CD過。作OFLCQ于點尸，延長FO,交AB于點E,根據(jù)直角三角函

數(shù)求出OF的長，進而得出EF的長.

【解答】解：如圖，連接CC,過。作OFJ_C。于點F,延長尸O,交4B于點E,

EB

?：OA=OB=OC=OD=20Mcm,ZCOD=60°,

：.ZCOF=30°,

ACF=OC*cosZCOF—20,^2X唱=30(cm),

：.EF=2OF=60(cm),

即點A到地面（CO所在的平面）的距離是60c〃?.

故選：D.

【點評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的

作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共7小題）

9.（2021秋?閔行區(qū)期中）如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水平地

面所成角為a時，梯子頂端靠在墻面上的點8處，底端落在水平地面的點4處，如果將

梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為0，且sina=cos0=W,則梯子頂端上升了

5

2_米，

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】在原圖中標上必要的字母，由旦i=sina=E±=cos0=±,設(shè)BC—3m,則AB

ABED5

=5m,求出川的值和AB、8c的長，同樣方法求出EC的長，再根據(jù)勾股定理求出QC

的長，即可求出梯子頂端上升幾米.

【解答】解：如圖，由題意可知，ZACB=90°,AB=ED=\O,

由^^=sina=^^=cos|3=3,

ABED5

設(shè)BC=3m,則48=5加，

則5m=10,

解得m=2,

：.BC=3X2=6,

設(shè)EC=3〃，則EZ）=5〃,

***5〃=10,

解得幾=2,

，EC=3X2=6,

'DC=VED2-EC2=V102-62=8,

；.BD=DC-BC=8-6=2（米），

...梯子頂端上升了2米，

故答案為：2.

【點評】此題考查銳角三角函數(shù)、解直角三角形、勾股定理等知識與方法，解題的關(guān)鍵

是根據(jù)題中所給的三角函數(shù)值設(shè)未知數(shù)，使每一個直角三角形由兩個未知邊變?yōu)閮蓚€已

知邊.

10.（2021?鹿城區(qū)校級二模）如圖1是兩扇推拉門，AB是門檻，AD,BC是可轉(zhuǎn)動門寬，

現(xiàn)將兩扇門推到如圖2的位置（平面示意圖），其中l(wèi)an/D48=互，tanNC8A=3,測

124

得C,。間的距離為4百亞加，則門檻48的長為260dm.

c

2、門檻B(tài)AOB

圖1圖2

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【分析】過。作CFLA8于F,過C點作CGLA8于G,過點。作OELCG于E,則四

邊形。『GE為矩形，進而可得￡>E=FG,EG=。凡設(shè)AD=BC=x,則AB=2x,通過解

直角三角形可求得CE=a魚X，。￡=絲乂，利用勾股定理列式計算可求解x值，進而求

6565

解AB的值.

【解答】解：過。作。FLAB于凡過C點作CGLA2于G,過點。作QELCG于E,

則四邊形OFGE為矩形，

:.DE=FG,EG=DF,NDEC=90°,

設(shè)AQ=BC=x,則AB=2x,

；tan/D4B=三tan/CBA=3,

124

.,.sin/A=-sinZB=—,

135

.?.OF=_LY，CG=3y,BG=AY

131355

；.CE=CG-EG=CG-。/=j-且Y=」1Y，

51365

DE=FG=AB-AF-BG=2a-^-Y-A乜=迫

13565

在RtacnE中，0c=4V運a加，

DEP+CEP^DC2,

即（"jl'x）。（差乂）2=（47130）2,

解得x=130,

??A8=2x=260d，〃.

【點評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角△CQE是解題的關(guān)鍵.

II.(2021秋?婺城區(qū)校級月考)如圖1是一款“雷達式”懶人椅.當(dāng)懶人椅完全展開時，

其側(cè)面示意圖如圖2所示，金屬桿A8、CO在點。處連接，且分別與金屬桿EF在點B,

。處連接.金屬桿CQ的。。部分可以伸縮(即。。的長度可變).已知OA=50a”，OB

=20"〃，OC=30aw.DE=BF=5cm.當(dāng)把懶人椅完全疊合時，金屬桿AB,CD,EF重

合在一條直線上(如圖3所示)，此時點E和點A重合.

(1)如圖2,已知/8。。=120°,NOBF=140°,則點A,C之間的距離為70cm.

(2)如圖3,當(dāng)懶人椅完全疊合時，則CF與CQ的比為1：15.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】(1)連接AC,過點4作AG1.CE于G,由直角三角形的性質(zhì)得出OG=2OA

2

=25cm,由勾股定理得AG=25、笈得出AC=70c〃?即可；

(2)由題意得出CF=OC-OB-BF=5cm,CD=OC+OA-DE=75cm.

【解答】解：(1)連接AC,過點A作AGLCE于G,如圖2所示：

VZAOC=120°,

；./AOG=180°-120°=60°,

,：AGA.CE,

NOGA=90°,

AZOAG=90°-60°=30°,

.?.OG=』OA=LX50=25(cm),

22

由勾股定理得：AG—-QQ2=yl-252=25,\/3cm},

VCG=OC+OG=30+25=55(cm),

???AC=也G?+AG2=4552+(25e)2=7°(5)，

.,.點A,C之間的距離為70cm；

故答案為：70.

(2)CF=OC-OB-BF=30-20-5=5(cm),CC=OC+OA-DE=30+50-5=75(CTT?).

，C1與CD的比5：75=1：15.

故答案為：1：15.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識；熟

練掌握直角三角形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?寧夏）在數(shù)學(xué)實踐活動課上，某興趣小組測量操場上籃球筐距地面的高度如圖所

示，己知籃球筐的直徑AB約為0.45/M,某同學(xué)站在C處，先仰望籃球筐直徑的一端A

處，測得仰角為42°,再調(diào)整視線，測得籃球筐直徑的另一端B處的仰角為35°.若該

同學(xué)的目高OC為1.7m,則籃球筐距地面的高度大約是3m.（結(jié)果精確到1/?）.

（參考數(shù)據(jù)：tan42°-0.9,tan35°=0.7,tan48°一1.1,tan55°一1.4）

測量示意圖

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【分析】設(shè)OE=x,AE=BF^y,然后結(jié)合角的正切值列方程組求解，從而求得AO的高

度.

【解答】解：如圖:

B

由題意可得四邊形AEFB是矩形，四邊形OCDE是矩形,

：.AB=EF=0.45,OC=ED=1.1,

設(shè)OE=x,AE=BF^y,

在Rtz^AOE中，tan42°=處,

OE

.y

-----=0.9'

x

在RtZsBO尸中，tan35°=度,

OF

y

——-——=07,

x+0.45

y

—=0.9

x

聯(lián)立方程組，可得，

V

——-——=07

x+0.45

63

Y=---------

40

解得：，

_567‘

y400

：.AD=AE+ED=^L+n7七3,

400

故答案為：3.

【點評】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，理解銳角三角函數(shù)的定義，利用角的正切

值列方程組是解題關(guān)鍵.

13.（2021秋?棲霞市期中）如圖，△ABC的頂點都在邊長相等的小正方形的頂點上，則cos

ABAC等于色叵.

—10―

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【分析】設(shè)小正方形的邊長為1，過C作COLA8于。，求出aABC的面積，根據(jù)勾股

定理求出A3和AC,根據(jù)三角形的面積求出高CD長，根據(jù)勾股定理求出A。，再求出答

案即可.

【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1,

過C作CD_LA8于。，

SMfiC=—X2X2=2,

由勾股定理得：48=海7=2\后，AC=^22+22=2^

:?*X2/CD,

解得：

5__________________

由勾股定理得：一=廬于=』2近產(chǎn)-（等產(chǎn)等,

W5

.?.cosNB4C=~^=*^=曬及

AC2V210

故答案為：之國.

10

【點評】本題考查了解直角三角形和勾股定理，能求出△ABC的面積是解此題的關(guān)鍵.

14.（2021秋?海曙區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，AB=3&,連接AB并延長

至C,連接OC,若滿足OC2=BC?AC,tana=2,則點C的坐標為（-2,4）.

【考點】坐標與圖形性質(zhì)；解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出/A=/C02,進而得出NA80=a,利用tana

=2,得出OA=2OB,利用勾股定理解得0B,從而可知0A的長，進而可知tan/A的值，

由tana=2,設(shè)C（-機，1m）,機＞0,tanN4的值列出關(guān)于，〃的方程，解得機的值，則

可得點C的坐標.

【解答】解：VZC=ZC,

OC2=BC?AC,

即毀

BC0C

：.l\OBCsXOAC,

：.ZA=ZCOB,

\"a+ZCOB=90°,/A+/A8O=90°,

ZABO=a,

Vtana=2,

/.tanNA8O=-2A.

OB

???04=208,

,:AB=30

由勾股定理可得：OA2+OB2-=AB2,

即40B24OB2=（W^）2,

解得：0B=3,

???設(shè)C（-加，2m）,n?>0,

?'.AD=6+mf

*.*UnZA=A,

2

?CD1

AD2

?

?--2--m---=—1，

6+m2

解得：/n=2,

經(jīng)檢驗，加=2是原方程的解.

點C坐標為：（-2,4）.

故答案為：（-2,4）.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理在計算中的應(yīng)

用及解分式方程等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

15.（2021秋?平陽縣期中）小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點。處后進球.已知小

明與籃框內(nèi)的距離BC=5米，眼鏡與底面的距離AB=1.7米，視線AO與水平線的夾角

為a,已知tanNa=-,則點D到底面的距離CD是3.2米.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用：運算能力；推理能力；應(yīng)用意識.

【分析】過A作AELCO于E,則四邊形A8CE是矩形，得AE=BC=5米，CE=AB=

1.7米，解RtZSAOE得到。E的長度，再由C￡>=CE+OE即可求解.

【解答】解：如圖，過A作AE_LC￡>于E,

則四邊形ABCE是矩形，

；.AE=BC=5米，CE=AB=1.7米，

在RtZ\4￡）E中，ZDAE=a,tana=^?.=-A_,

AE10

.?.￡>E=&4E=3X5=1.5（米），

1010

.,.C￡)=CE+Z)E=3.2米.

故答案為：3.2.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2021?攀枝花）釣魚島及其附屬島嶼是中國的固有領(lǐng)土，神圣不可侵犯！自2021年2

月1日起，旨在維護國家主權(quán)、更好履行海警機構(gòu)職責(zé)的《中華人民共和國海警法》正

式實施.中國海警在釣魚島海域開展巡航執(zhí)法活動，是中方依法維護主權(quán)的正當(dāng)舉措.如

圖是釣魚島其中一個島礁，若某測量船在海面上的點。處測得與斜坡AC坡腳點C的距

離為140米，測得島礁頂端A的仰角為30.96°,以及該斜坡AC的坡度i=立，求該島

6

礁的高（即點A到海平面的鉛垂高度）.（結(jié)果保留整數(shù)）

（參考數(shù)據(jù):sin30.96°-0.51,cos30.96°七0.85,tan30.96°~0.60）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【分析】根據(jù)斜坡AC的坡度i=5,可設(shè)48=5x米，BC=6x米，繼而表示出8。的長

6

度，再由tan30.96°?0.60,可得關(guān)于x的方程，解出即可得出答案.

【解答】解：???斜坡AC的坡度i=5,

6

BC=5-6,

故可設(shè)AB=5x米，BC=6x米，

在RtZVIOB中，Z7）=30.96°,BD=（140+6x）米，

.".tan30.96°=-_=0.60,

140+6x

解得：x=60（米），

經(jīng)檢驗，x=60是方程的解，

.*.5x=300（米），

答：該島礁的高AB為300米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三

角函數(shù)的定義，表示相關(guān)線段的長度.

17.（2021秋?浦東新區(qū)期中）如圖，在RtZVIBC中，/B4C=90°,延長斜邊8c到點

使CD=LBC,聯(lián)結(jié)AD,如果tanB="l,求tanZCAD的值.

23

【考點】直角三角形斜邊上的中線；解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】過點C作CH_LAO,交AD于點、H,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三

角形的三角函數(shù)解答即可.

C.AB//CH,

：./\DCH^/\DBA,

???C-Hz:--C-D?

ABBD

.CH_CD=1

'*AB=2CD+CD

設(shè)CH=k,

；.AB=3Z,

：.AC=4k,

AC4k4

.?.tan/CAQ的值為工.

4

【點評】此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形

的三角函數(shù)解答.

18.(2021?新野縣三模)許昌市旅游服務(wù)中心由廣場和“一門四闕”主題建筑組成，如圖1.廣

場為迎賓廣場一門”為“許昌之門”，“四蹦”為廣場四角的漢闕，是許昌的標志性建筑.某

數(shù)學(xué)興趣小組在迎賓廣場測量旅游服務(wù)中心的高度，圖2為測量示意圖，MN為服務(wù)中心

的對稱軸，在地面的AB處架設(shè)測角儀，測得旅游服務(wù)中心的最高點。的仰角45°,利

用無人機在點B的正上方57.8米處的點C處測得點D的俯角為32°,測角儀的高度AB

=1.6米，F(xiàn)H=17.2米，OE=19.8米.

(1)求旅游服務(wù)中心的高度為多少米？(結(jié)果精確到0.1%參考數(shù)據(jù)：sin32°g0.530,

cos32°弋0.848,tan32°t0.625,我七1.414)

(2)興趣小組測量后到旅游服務(wù)中心參觀，發(fā)現(xiàn)講解員講解的高度為368”,請用物理

知識解釋測量值與實際值出現(xiàn)差距的原因，如何避免或者減小差距？

【考點】軸對稱的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識.

【分析】（1）根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得BG的值，

也就是MN的值；

（2）根據(jù)物理知識中誤差產(chǎn)生的原因和減少誤差的方法可以解答本題.

【解答】解：（1）作￡>G_LAC于點G,

由題意可得，Zl=32°,N2=45°,

.?./C￡>G=32°,ZADG=45°,

：.ZADG=ZDAG=45°,

：.GD=GA,

設(shè)CG=x米，則AG=BC-BA-CG=57.8-1.6-x=（56.2-x）米，

則GD=（56.2-x）米,

；tan/CGD=空，

GD

.*.tan320=-------,

56.2~x

解得產(chǎn)力1.6,

：.BG=BC-GC^57.S-21.6=36.2（米），

:.MN=BG=362米，

答：旅游服務(wù)中心的高度約為36.2米；

（2）造成誤差的主要原因有系統(tǒng)誤差和隨機誤差，比如誤讀、誤算、視差、刻度誤差等,

避免或者減小差距可以通過多次測量，求平均值.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題、軸對稱的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合

的思想解答是解答本題的關(guān)鍵.

19.（2021秋?龍馬潭區(qū)校級期中）2021年9月16號，瀘縣發(fā)生地震，救援隊及時達到現(xiàn)場

參與救援，在救援中用熱氣球進行探測.如圖，探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓的頂

部8的仰角為45°,看這棟高樓底部C的俯角（NC4。）為60°,熱氣球與

高樓的水平距離AZ）為50〃?，求這棟高樓的高度（結(jié)果保留根號）.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識.

【分析】在Rt/\ABD和Rt/XADC中分別求出BD和CD的長度，即可求解.

【解答】解：在RtZ\4B￡>中，tan/R4r>=ED,

AD

：.BD=ADtan450=50X1=50（〃i）,

在RtzXADC中，tanNC4D=里，

AD

ACD=A￡）tan60°=50X?=506Cm）,

:.BC=BD+CD=（50+50V3）m,

答：這棟高樓的高度為（50+50t）m.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，由銳角三角函數(shù)定義求出BD,

CO的長是解題的關(guān)鍵.

20.（2021?巴音郭楞州模擬）如圖，一輛轎車在一個十字路口遇到紅燈剎車停下，轎車里的

駕駛員看地面的斑馬線前后兩端的視角分別是NCC4=30°和/OC8=53°,如果斑馬

線的寬度AB=4米，駕駛員與車頭的距離是1.8米，這時轎車車頭與斑馬線的距離x約

是多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin53°弋生cos53°生旦，tan53°g生?F.73,結(jié)果精確

553

到0.1米）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；視點、視角和盲區(qū).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】延長A8,過C作CELA8于點E,在直角與直角△BEC中，利用三角

函數(shù)，即可利用CE表示出AE于8E,根據(jù)A8=AE-8E,即可得到關(guān)于CE的方程，從

而求解.進而求得AE,則AE-A8-1.8即可求解.

【解答】解：延長AB,過C作CEJ_4B于點E,

：.ZCAB=ZDCA=30°,ZCBE=ZDCB=53°,

設(shè)CE=m.

則在直角^ACE中，tan/C4E=C^,

AE

：.AE=-----____.=----55__,

tan/CAEtan300

同理BE=___5,

tan530

*：AB=AE-BE.

：____IB___-___IB___=4,

tan300tan530

解得：,"=4xtan30°Xtan530(加)，

tan530-tan300

/.AE=y/2fn^7.06(〃?)，

.,.JC=7.06-4-1.8=1.3(w).

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形

解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程求解.

考點卡片

1.坐標與圖形性質(zhì)

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到X軸的距離與縱

坐標有關(guān)，到)，軸的距離與橫坐標有關(guān)；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離

求坐標時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，

是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去

解決問題.

2.直角三角形斜邊上的中線

(1)性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜

邊的中點)

(2)定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條

邊為斜邊的直角三角形.

該定理可以用來判定直角三角形.

3.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為C,那么“2+62=C2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式的變形有：a=iyc2_b2,b=第1及c=席忑.

(4)由于a1+b1=c1>a1,所以c>a,同理c>h,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形