2019-2021全國高考數(shù)學(xué)真題匯編：等比數(shù)列（教師版）

2019-2021全國高考數(shù)學(xué)真題匯編：等比數(shù)列

選擇題（共3小題）

1.（2021?甲卷）記S“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.若$2=4,54=6,則56=（）

A.7B.8C.9D.10

S

2.（2020?新課標(biāo)H）記S,為等比數(shù)列｛斯｝的前”項(xiàng)和.若的-的=12,恁-四=24,則一巴=（)

A.2"-1B.2-2'"C.2-2"D.2'

3.(2019?全國)3+33+35+...+32,,+|=()

A.旦(9"-1)B.3(9,,+|-1)C.3(9n-1)D.2(9,,+|-1)

2288

二.填空題（共2小題）

4.（2019?新課標(biāo)I）記與為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若0=」，/2=46,則$5=

3

5.（2019?新課標(biāo)I）設(shè)S”為等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.若m=l,$3=1，則S4=.

三.解答題（共2小題）

6.（2021?甲卷）記S,為數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和，已知%>0,“2=30,且數(shù)列｛付｝是等差數(shù)列，證明：｛Z｝是等差

數(shù)列.

7.（2021?新高考II）記S”是公差不為0的等差數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和，若G=S5,"2"4=S4.

（I）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式斯;

（II）求使成立的n的最小值.

2019-2021全國高考數(shù)學(xué)真題匯編：等比數(shù)列

參考答案與試題解析

一.選擇題（共3小題）

1.（2021?甲卷）記為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若$2=4,54=6,則$6=（）

A.7B.8C.9D.10

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得54-52,S6-S4成等比數(shù)列，從而得到關(guān)于S6的方程，再求出孔.

【解答】解：為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，52=4,S5=6,

由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知S2,S6-S2,S6-S6成等比數(shù)列，

*,*4,2,$5-6成等比數(shù)列，

4

A2=4（S6-6）,解得S6=7.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

s

2.（2020?新課標(biāo)II）記S〃為等比數(shù)列｛〃,?｝的前〃項(xiàng)和.若％-。3=12,々6-44=24,則」L=（）

an

A.2M-1B.2-2「〃C.2-2〃rD.2,w-1

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比，再根據(jù)求和公式即可求出.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為今，

,**675~。3=12,

CV]-O4=q（。5-。3），

:?q=2,

.*.a\q4-m婚=12,

.,.12?7=12,

??41=1,

???S=3_21=2"7,即=4〃L

1-6

n

--2-7_91-n

an2kl

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2019?全國)3+33+35+...+32e=()

A.—(9"-1)B.3(9,,+|-1)C.—(9"-1)D.g(9,,+1-1)

2288

【分析】可看出,數(shù)列3,33,3$,…,32二是首項(xiàng)為3,公比為32的等比數(shù)列,并且3/1是第七+1項(xiàng),從而根

據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求該等比數(shù)列的前”+1項(xiàng)的和即可.

【解答】解：數(shù)列3,32,35,…，32rt+1是首項(xiàng)為3,公比為32的等比數(shù)列;

且62H+I是第〃+4項(xiàng)；

+…+內(nèi)型言—能叫)?

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式.

二.填空題(共2小題)

4.(2019?新課標(biāo)I)記&為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若0=工，32=%,則$5=_粵_.

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程求出4的值，結(jié)合等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：在等比數(shù)列中，由加2=的，得統(tǒng)08=爐0>2,

即q>0,q=3,

y(3-35)

則55二3--------121

8-33

故答案為：121

8

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列前"項(xiàng)和的計(jì)算，結(jié)合條件建立方程組求出q是解決本題的關(guān)鍵.

5.(2019?新課標(biāo)I)設(shè)S”為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若“1=1,53=—.則S4=—

4—8―

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比數(shù)列的求和公式即可求解

【解答】解：..?等比數(shù)列｛“"｝的前"項(xiàng)和，0=1,54=3,

4

?-1-<13-3

?“，工一了

3

整理可得，q+q+l=2,

解可得，4=-*，

,1

則S3==T=2

6-q7V8

故答案為：-

5

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題

三.解答題(共2小題)

6.(2021?甲卷)記S為數(shù)列｛&｝的前”項(xiàng)和,已知斯>0,“2=30,且數(shù)列｛、瓦｝是等差數(shù)列，證明：｛"”｝是等差

數(shù)列.

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛后｝的公差為“,可用歷、向求出d,得到5“的通項(xiàng)公式，利用a”=S“-Si可求出

斯的通項(xiàng)，從而證明｛〃“｝是等差數(shù)列.

【解答】證明：設(shè)等差數(shù)列｛、瓦)的公差為d,

由題意得何=??圾=歷總=歷=2小’

所以S"="%4(D；

當(dāng)時(shí)，有S"-i=(n-4)241②.

由①②，得如=5"-S"-3=〃20-(n-5)2a\=(5〃-l)ai③，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)”=7時(shí)也滿足③.

所以m=(2n-1)a?,"WN+,

當(dāng)ri>2時(shí)，an-an-\—(2n-1)a\-(6〃-3)a\—?>a\,

所以數(shù)列｛&,｝是等差數(shù)列.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)，涉及邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

7.(2021?新高考II)記S”是公差不為。的等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和，若的=S5,a2at=S4.

(I)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式斯;

(II)求使S“>斯成立的n的最小值.

【分析】（I）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前〃項(xiàng)和的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（II）直接利用作差法的應(yīng)用和數(shù)列的分解因式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：（I）數(shù)列，是公差”不為。的等差數(shù)列｛斯｝的前八項(xiàng)和，若。3=57,a244=53.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，。3=$5=7俏，故的=2,

根據(jù)。2〃4=§6可得（〃3-d）（侑+d）=（。8-2d）+（。3一"）+的+（。3+〃），

整理得-才=-4%可得d=2（d