不等式與復(fù)數(shù)（6大核心考點(diǎn)）（講義）（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

專題02不等式與復(fù)數(shù)【目錄】 1 2 3 4 11考點(diǎn)一：基本不等式二元式 11考點(diǎn)二：和式與積式 13考點(diǎn)三：柯西不等式二元式 16考點(diǎn)四：齊次化與不等式最值 18考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 22考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的幾何意義 23有關(guān)不等式的高考試題，是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，其應(yīng)用范圍涉及高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，且?？汲Ｐ拢疾閮?nèi)容卻無(wú)外乎大小判斷、求最值和求最值范圍等問題，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分．復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、代數(shù)表示及其幾何意義是高考的必考內(nèi)容，題型多為選擇題或填空題，分值5分，考題難度為低檔.考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析基本不等式2023年上海卷第6題，4分2022年上海卷第14題，5分2022年新高考II卷第12題，5分2021年上海卷第16題，5分2023年天津卷第13題，5分【命題預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)2024年高考，多以小題形式出現(xiàn)，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判斷，求取值范圍問題；預(yù)測(cè)2024年高考仍將以復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算為主要考點(diǎn)，其中復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義是最可能出現(xiàn)的命題角度！復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算2023年新高考I卷第2題，5分2023年新高考甲卷第2題，5分2023年新高考乙卷第1題，5分2022年新高考II卷第2題，5分復(fù)數(shù)的幾何意義2023年新高考II卷第1題，5分2023年上海卷第11題，5分2022年新高考乙卷第2題，5分1、幾個(gè)重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”）．特例：（同號(hào)）．（3）其他變形：①（溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式）②（溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式）③（溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式）④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．（2）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即積為定值，和有最小值”．3、常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．4、對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用（1）復(fù)數(shù)，復(fù)平面上的點(diǎn)及向量相互聯(lián)系，即；（2）由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．1．（2022?上海）若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．2．（2021?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是A． B． C． D．3．（2021?上海）已知兩兩不相等的，，，，，，同時(shí)滿足①，，；②；③，以下哪個(gè)選項(xiàng)恒成立A． B． C． D．4．（2023?新高考Ⅰ）已知，則A． B． C．0 D．15．（2023?新高考Ⅱ）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2023?甲卷）A． B．1 C． D．7．（2023?乙卷）A．1 B．2 C． D．58．（2022?新高考Ⅱ）A． B． C． D．9．（2022?甲卷）若，則A． B． C． D．10．（2022?乙卷）已知，且，其中，為實(shí)數(shù)，則A．， B．， C．， D．，11．（2022?新高考Ⅰ）若，則A． B． C．1 D．212．（2021?甲卷）已知，則A． B． C． D．13．（2021?新高考Ⅰ）已知，則A． B． C． D．14．（2021?新高考Ⅱ）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限為A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．（2021?乙卷）設(shè)，則A． B． C． D．16．（多選題）（2022?新高考Ⅱ）若，滿足，則A． B． C． D．17．（2023?上海）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為．18．（2021?天津）已知，，則的最小值為．19．（2023?上海）已知，且為虛數(shù)單位），滿足，則的取值范圍為．考點(diǎn)一：基本不等式二元式如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．不等式可變形為：或，其中．例1．（2023·福建廈門·高三廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎?，，且，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2例2．（2023·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知（，且），，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．例3．（2023·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校?shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例4．（2023·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，若對(duì)任意的正數(shù)、，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：和式與積式已知式目標(biāo)式方法選取和式積式基本不等式積式和式基本不等式和式和式柯西不等式積式積式柯西不等式例5．（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考期中）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為8 B．的最小值為8C．的最小值為 D．的最小值為例6．（多選題）（2023·江蘇南京·高三南京市江寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，，則（

）A．的最小值為4 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為例7．（多選題）（2023·湖北·高三校聯(lián)考期中）已知，，且，則（

）A． B． C． D．例8．（多選題）（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知，，且，則（

）A．的最小值是1 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是4例9．（多選題）（2023·新疆·高三校聯(lián)考期中）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三：柯西不等式二元式設(shè)，，，，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值是例11．（2023·浙江臺(tái)州·高三統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．例12．（2023·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為．例13．（2023·浙江寧波·高三鎮(zhèn)海中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c的和為1，則的最小值是．考點(diǎn)四：齊次化與不等式最值關(guān)于齊次化，就是將不等式最值轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)根分布，從而實(shí)現(xiàn)不等式與函數(shù)方程的無(wú)縫切換。例14．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）已知（），則的最小值是（

）A． B． C． D．例15．（2023·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于所有的正實(shí)數(shù)，都有成立，則整數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例16．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中?？奸_學(xué)考試）已知，，，則的最小值為（

）A．7 B． C． D．例17．（2023·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？计谀┮阎?，，，則的最小值為（

）A．4 B．C． D．例18．（2023·江西南昌·高三南昌二中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．例19．（2023·河南洛陽(yáng)·高二洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．例20．（2023·山東青島·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，，，則（

）A．S的最大值是 B．S的最大值是C．S的最大值是 D．S的最大值是考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．例21．（2023·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎瑒t（

）A． B．2 C． D．例22．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（

）A．2 B． C． D．例23．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．例24．（2023·浙江杭州·高三統(tǒng)考期中）設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B．0 C． D．2例25．（2023·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．例26．（2023·湖北·高三湖北省仙桃中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例27．（2023·山西·?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平