2024年撫州市臨川區(qū)高三數(shù)學(xué)九省聯(lián)考后測試卷附答案解析

年撫州市臨川區(qū)高三數(shù)學(xué)九省聯(lián)考后測試卷試卷根據(jù)九省聯(lián)考題型命制，題型為8+3+3+5模式一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．某校高一年級18個班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機(jī)抽樣，獲得了10個班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.52．已知向量，滿足，，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．23．過直線上一點(diǎn)M作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q．若直線PQ過點(diǎn)，則直線PQ的方程為（

）A． B．C． D．4．古城贛州最早有五大城門，分別為鎮(zhèn)南門、百盛門、涌金門、建春門和西津門，贛州某學(xué)校歷史興趣小組決定利用兩個周日的時間對五大城門的地理位置及歷史意義進(jìn)行調(diào)研．若約定：每個城門只調(diào)研一次，且每個周日只調(diào)研五大城門中的兩大城門或三大城門，則恰好在同一個周日調(diào)研百盛門和建春門的概率為（

）A． B． C． D．5．?dāng)?shù)列的前n項和為，滿足，則數(shù)列的前n項積的最大值為（

）A． B． C． D．6．已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當(dāng)與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．7．已知，求（

）A． B． C． D．8．若存在，使得對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．B．集合C．函數(shù)的值域為D．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增10．如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個交點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若將函數(shù)的圖象沿軸平移個單位，得到一個偶函數(shù)的圖像，則的最小值為11．已知定義在的函數(shù)滿足：①對恒有；②對任意的正數(shù)，恒有．則下列結(jié)論中正確的有（

）A．B．過點(diǎn)的切線方程C．對，不等式恒成立D．若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知復(fù)平面上一個動點(diǎn)Z對應(yīng)復(fù)數(shù)z，若，其中i是虛數(shù)單位，則向量掃過的面積為．13．已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為．14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，動點(diǎn)M在邊DC上（不同于D點(diǎn)），P為邊AB上任意一點(diǎn)，沿AM將△ADM翻折成△AD'M，當(dāng)平面AD'M垂直于平面ABC時，線段PD'長度的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束．(1)求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率；(2)若甲以領(lǐng)先乙時，記表示比賽結(jié)束時還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．16．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.17．如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個三等分點(diǎn)，P是半球面上一點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若點(diǎn)在底面圓上的射影為中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值．18．已知雙曲線，點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M的直線交雙曲線C于不同的兩點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A，B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點(diǎn)E．（二次曲線在曲線上某點(diǎn)處的切線方程為）(1)求證：點(diǎn)E恒在一條定直線L上；(2)若兩直線與L交于點(diǎn)N，，求的值；(3)若點(diǎn)A、B都在雙曲線C的右支上，過點(diǎn)A、B分別做直線L的垂線，垂足分別為P、Q，記，，的面積分別為，問：是否存在常數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．19．若各項為正的無窮數(shù)列滿足：對于，，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列.記.(1)判斷無窮數(shù)列和是否是數(shù)列，并說明理由；(2)若是數(shù)列，證明：數(shù)列中存在小于1的項；(3)若是數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，使得.1．B【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解.【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)第8個數(shù)與第9個數(shù)的平均值，即.故選：B.2．A【分析】設(shè)且，建立直角坐標(biāo)系，得到，求得，得到，結(jié)合基本不等式和函數(shù)上的單調(diào)性，即可求解.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)且，因為，可得，則，所以，又因為向量滿足，可得，解得，所以，，則，設(shè)，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，所以，又因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即的最小值為.故選：A.3．C【分析】設(shè)，先利用兩圓方程相減得到直線PQ的方程，再利用直線PQ過點(diǎn)求得t的值，進(jìn)而得到直線PQ的方程.【詳解】圓C：的圓心為，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為與圓C的方程兩式相減可得直線PQ的方程為因為直線PQ過點(diǎn)，所以，解得．所以直線PQ的方程為，即．故選：C．4．A【分析】根據(jù)題意，得到此次調(diào)研的基本事件的總數(shù)為種，再由題設(shè)條件，分為兩類求得恰好在同一個周日調(diào)研百盛門和建春門的種數(shù)，集合古典概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，每個城門只調(diào)研一次，且每個周日只調(diào)研五大城門中的兩大城門或三大城門，共有種不同的調(diào)研方法，其中恰好在同一個周日調(diào)研百盛門和建春門，可得分為：①其中一個周日只調(diào)研百盛門和建春門，另一個周日調(diào)研其他三門，有種方法；②其中一個周日調(diào)研百盛門、建春門和其中另一個門，另一個周日調(diào)研剩余的兩門，有種方法，共有種不同的調(diào)研方法，所以恰好在同一個周日調(diào)研百盛門和建春門的概率為.故選：A.5．B【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列通項，借助單調(diào)性求解即得.【詳解】依題意，，，則，當(dāng)時，，兩式相減得，即，因此數(shù)列是以512為首項，為公比的等比數(shù)列，于是，顯然數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以當(dāng)或時，數(shù)列的前n項積最大，最大值為.故選：B6．A【分析】根據(jù)異面直線所成角、錐體體積公式等知識求得正確答案.【詳解】因為異面直線所成角的范圍是，故當(dāng)時，與AD所成角最大，因為四邊形是矩形，所以，而平面，所以平面，因為平面，所以，在直角三角形中，，而，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】異面直線所成角的范圍是，當(dāng)兩條直線所成角為時，兩直線平行或重合.求解錐體體積的問題，可以考慮利用轉(zhuǎn)換定點(diǎn)的方法，然后利用體積公式來求得三棱錐的體積.7．D【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡已知等式可得，再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可得，繼而利用三角恒等變換，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意知，即，故，即，故，即，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡得出的表達(dá)式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡求值即可.8．C【分析】將題干中的不等式變形為，由題意可知直線恒位于函數(shù)圖象的上方，函數(shù)的圖象的下方，代表直線在軸上的截距，當(dāng)直線變化時觀察得當(dāng)直線過且與曲線相切時，最小，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求出的值，即可得出的最小值.【詳解】令，其中，則，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以，存在，使得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，如下圖所示：由題意得，直線恒位于的圖象上方，的圖象下方，代表直線在軸上的截距，當(dāng)直線變化時觀察得當(dāng)直線過且與曲線相切時，最?。O(shè)切點(diǎn)為，則，整理可得，令，則，，而當(dāng)時，，，所以，，所以當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以有唯一的零點(diǎn)，所以，此時直線方程為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵在于將不等式變形為，通過作出圖象，找出直線與函數(shù)相切時，最小，然后利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解.9．BD【分析】根據(jù)空集的定義判斷A，根據(jù)集合元素的特征判斷B，根據(jù)所給函數(shù)解析式判斷C，將函數(shù)寫成分段函數(shù)、再分析函數(shù)在各段的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對于A：或，故A錯誤；對于B：，又，令，所以，，即，所以，故B正確；對于C：因為，所以的值域為，故C錯誤；對于D：，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且為連續(xù)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：BD10．ACD【分析】令求得根據(jù)求得，根據(jù)求得的解析式，再逐項驗證BCD選項.【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯誤.當(dāng)時，，因為在為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個單位得，（時向右平移，時向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】由條件①結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可設(shè)，再由條件②，求得，選項A，B易判斷；對C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可；對D，利用導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)的范圍，即可得證.【詳解】恒有，，可設(shè)（其中C為常數(shù)），又對任意的正數(shù)恒有，對任意的正數(shù)恒有，，，，即，對于A，由上式可得，故A正確；對于B，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，，化簡得，解，所以點(diǎn)就是切點(diǎn)，所以切線方程為，故B錯誤；對于C，令，，則，令，可得，，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，對恒成立，故C正確；對于D，設(shè)，，在上單調(diào)遞增，且，，所以使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為函數(shù)的極小值點(diǎn)且滿足，，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，難度較大.首先分析條件①，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得，可設(shè)，再由條件②，代入運(yùn)算求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識可依次判斷各個選項得解.12．【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的幾何意義，得到復(fù)數(shù)表示以為圓心，以為半徑的圓的圓面，過原點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，結(jié)合三角形和扇形的面積公式，即可求解.【詳解】因為，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)表示以為圓心，以為半徑的圓的圓面，如圖所示，過原點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，在直角中，可得，所以，且，所以，所以復(fù)數(shù)向量掃過的面積為.故答案為：.13．【分析】將題意轉(zhuǎn)化為求曲線上一點(diǎn)到距離最小值，通過求導(dǎo)求出點(diǎn)符合題意，進(jìn)而求出答案.【詳解】由題意得，，即求曲線上一點(diǎn)到距離最小值，又因為在直線上，所以當(dāng)曲線與直線平行時，距離取得最小值，令，解得或（舍去），當(dāng)時，點(diǎn)到直線距離為，即所求曲線上一點(diǎn)到距離最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.關(guān)鍵點(diǎn)在于將所求式子進(jìn)行化簡，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為距離問題，通過導(dǎo)數(shù)研究曲線即可.本題考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、計算能力，屬于中檔題.14．##【分析】作直線于點(diǎn)，連接，則翻折后，設(shè)，由，得，，設(shè)，則，，根據(jù)條件得到，然后求出線段長度的最小值．【詳解】作直線于點(diǎn)，連接，則翻折后，平面平面，為兩平面的交線，平面，．設(shè)，由，得，，設(shè)，則，．由知為正三角形，則，，在中，，即，，記，則，由，得，又，，若，則當(dāng)時，；若，則當(dāng)時，，．故答案為：．15．(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）分甲乙全勝兩種情況相加得結(jié)果；（2）利用分布列步驟求解并求得期望.【詳解】（1）甲3局全勝的概率為,乙3局全勝的概率為，進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率為（2）的可能取值為1，2，，，故的分布列為：12故．16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)切線方程，求得切點(diǎn)與切線斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）寫出函數(shù)解析式，化簡整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，可得答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為.將代入，解得，即，由切線方程，則切線斜率.故，解得.（2）證明：由（1）知，從而等價于.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù)，從而在上的最大值為.故，即.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意證明面，得到，再結(jié)合線面垂直的判定定理得證；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的空間向量計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）連接，因為依次是底面上的兩個三等分點(diǎn)，所以四邊形是菱形，設(shè)，則為中點(diǎn)，且，又因為，故是等邊三角形，連接，則，又因為面，，所以面，因為面，所以，因為依次是底面上的兩個三等分點(diǎn)，所以，所以，又因為AB是半球O的直徑，P是半球面上一點(diǎn)，所以，因為面，，所以面，又因為面，所以（2）因為點(diǎn)在底面圓上的射影為中點(diǎn)，所以面，因為面，所以，又因為，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為18．(1)證明見解析(2)0(3)存在【分析】（1）設(shè)，由題意可證得點(diǎn)A，B都在直線上，直線l過點(diǎn)，可得，即可證明點(diǎn)E恒在定直線上．（2）法一：設(shè)，由可得，將其帶入雙曲線方程可得，同理可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得．法二：由題意知，設(shè)l的方程：，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設(shè)，由可得，同理，將韋達(dá)定理代入即可得出答案.（3）設(shè)，與聯(lián)立，設(shè)，表示出，將韋達(dá)定理代入化簡即可得出答案.【詳解】（1）證明：設(shè)，由題意得：切線EA的方程為：，將點(diǎn)E帶入得：，同理可得：，易知點(diǎn)A，B都在直線上，所以直線l的方程為：，因為直線l過點(diǎn)，所以，

所以點(diǎn)E恒在定直線上．（2）法一：設(shè)，因為，所以整理得因為點(diǎn)在雙曲線上，所以，整理得，同理可得，所以，是關(guān)于x的方程的兩個實根，所以．法二：由題意知，l的斜率存在，設(shè)l的方程：，聯(lián)立得：，所以，設(shè)，因為