2024屆包頭市高三數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期期末質(zhì)量檢測試卷附答案解析

屆包頭市高三數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期期末質(zhì)量檢測試卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)，，其中，為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（

）A． B． C．6 D．73．為了鼓勵學(xué)生積極鍛煉身體，強(qiáng)健體魄，某學(xué)校決定每學(xué)期對體育成績在年級前100名的學(xué)生給予專項(xiàng)獎勵.已知該校高三年級共有600名學(xué)生，如圖是該年級學(xué)生本學(xué)期體育測試成績的頻率分布直方圖.據(jù)此估計(jì)，該校高三年級學(xué)生體育成績的中位數(shù)為（

）A．70 B．70.5 C．71.25 D．724．若，滿足約束條件，則的最大值為（

）A．4 B．3 C． D．5．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．6．若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．7．如圖，已知，為平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)到兩邊，的距離分別為，，且，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．4 B． C．2 D．8．已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．在三棱錐中，，，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．10．已知圓錐的母線長為，為底面的圓心，高，其軸截面的面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法錯誤的是（

）A．B．C．函數(shù)為奇函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減12．若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題13．已知向量，滿足，，，則.14．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為.15．從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.16．已知為銳角三角形，，，，是角，，分別所對的邊，若；且，則面積的取值范圍是.三、解答題17．已知數(shù)列滿足，，設(shè).(1)求，，；(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求的通項(xiàng)公式18．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.19．為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的9名隊(duì)員來自高一年級2人，高二年級3人，高三年級4人，本次決定比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行8場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍，亞軍和季軍，積分規(guī)則如下：每場比賽5局中以或3:1獲勝的隊(duì)員積3分，落敗的隊(duì)員積0分；而每場比賽5局中以獲勝的隊(duì)員積2分，落敗的隊(duì)員積1分，(1)求比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同年級的概率；(2)已知最后一輪比賽兩位選手是甲和乙，假設(shè)每局比賽甲獲勝概率均為0.6，①若設(shè)最后一輪每局比賽甲獲勝為事件，乙獲勝為事件，則事件與是什么關(guān)系，并求和；②記這輪比賽甲所得積分為求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和點(diǎn).點(diǎn)在上，且.(1)求的方程；(2)若過點(diǎn)作兩條直線與，與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，線段和中點(diǎn)的連線的斜率為，直線，，，的斜率分別為，，，，證明：，且為定值.21．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：在上.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，(1)寫出的普通方程，并指出它是什么曲線；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點(diǎn)的極徑與極角的正切值.23．已知，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)若，則.參考答案：1．B【分析】根據(jù)二次不等式化簡集合，即可由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求解.【詳解】，所以，故，故選：B2．A【分析】由復(fù)數(shù)運(yùn)算和分類可解.【詳解】由題意，，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，為純虛數(shù)，所以，得，所以.故選：A.3．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合頻率分布直方圖的中位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】由給定的頻率分布直方圖，可得前2個矩形的面積為，前3個小矩形的面積為，所以學(xué)生體育成績的中位數(shù)位于之間，設(shè)學(xué)生體育成績的總位數(shù)為，可得分.故選：C.4．A【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)得到答案.【詳解】由約束條件作出可行域如下圖：由圖可知，，由，可得，由圖可得當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線在軸上的截距最大，所以故選：A5．B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可排除AC，根據(jù)時可排除D.【詳解】，所以為奇函數(shù)，此時可排除AC,由于當(dāng)時，，故此時可排除D，故選：B6．C【分析】將指數(shù)化為對數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t，可知，且，可知.故選：C.7．B【分析】根據(jù)三垂線定理，即可結(jié)合全等和勾股定理求解.【詳解】由于平面,平面,故,且，,因此,故，又,所以,平面，故平面，平面，故,同理可得,又，因此四邊形為正方形，所以,故選：B8．D【分析】由結(jié)合橢圓的定義可求出，再由可求出離心率的范圍.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，因?yàn)椋裕噪x心率的范圍，故選：D.9．B【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為和所成角，結(jié)合余弦定理求出的余值即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，畫出三棱錐，分別作出的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，，，所得圖形如下圖：根據(jù)中位線的性質(zhì)可得：，，且，，所以異面直線與所成角即為和所成銳角，由于，，所以在等邊中，，同理在等邊中，，故，所以為等邊三角形，故，所以在中，，，，故由余弦定理可得：，由于異面直線的夾角范圍為，所以異面直線與所成角為的補(bǔ)角，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：B10．C【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于方程組，解出的值，即可求得該圓錐的的體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，由題意可得，解得：，因此，該圓錐的體積為.故選：C11．D【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換在，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)（，，）的部分圖象，可得，可得，則，又由，可得，所以，因?yàn)?，所以，所以A正確；由，可得，又由，所以B正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，此時函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以C正確；由，可得，當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以D錯誤.故選：D.12．D【分析】設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線方程，將點(diǎn)代入，則關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程有三個實(shí)根，通過分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象有三個不同交點(diǎn)的問題求解即可．【詳解】由，得，設(shè)切點(diǎn)為,，過切點(diǎn)的切線方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)化簡為，即這個方程有三個不等式實(shí)根，令，求導(dǎo)得到，由，得，由，得，或，故函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故得,結(jié)合，，當(dāng)時，，時，，得，故選：D．13．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由向量，滿足，，且，則，所以.故答案為：.14．/【分析】根據(jù)條件，將弦長轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離，算出與的關(guān)系即可.【詳解】對于雙曲線，其漸近線方程為,對于圓，有，圓心為，半徑為，漸近線被圓截得的弦長為，所以圓心到漸近線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得：,則由則.故答案為：.15．【分析】根據(jù)題意，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所求事件包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件的總數(shù)為個，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件為：，共有15個，所以抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為：.16．【分析】根據(jù)給定條件，求出的值及的范圍，然后通過正弦定理和面積公式，并結(jié)合兩角和與差的正弦公式求得答案.【詳解】在銳角中，由，得，即，由正弦定理得，而，則，又，則有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，則，因此，由，得，即，于是，所以面積的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求三角形面積范圍問題，可以利用正弦定理及三角形面積公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求解.17．(1)，，(2)是，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意，逐一代入即可得解；（2）由題設(shè)條件轉(zhuǎn)化得，從而得以判斷；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】（1）由條件可得，將代入，得，而，所以，將代入，得，所以，又，從而，，.（2）數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，理由如下：由條件可得，即，又，所以是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列（3）由（2）可得，所以.18．(1)證明見解析(2).【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接.在底面中，因?yàn)?，且，由，可得，因?yàn)?，即，所以在中，，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由，，可得為等邊三角形，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，，平面，所以?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，在等邊三角形中，，所以，可得，所以，，由平面，可得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，可得，則，易知二面角的正弦值為.19．(1)(2)①事件與為對立事件，所以，；②分布列見解析，1.97856【分析】（1）根據(jù)題意，利用組合數(shù)的計(jì)算，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）①由事件與為對立事件，即可求得的值；②根據(jù)題意，得到的可能取值為，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同年級的概率.（2）解：①事件與為對立事件，所以，，②的可能取值為，可得；；；.所以的分布列為01230.17920.138240.207360.4752所以期望為.20．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由己知，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，借助可表示出點(diǎn)坐標(biāo)，然后帶入拋物線方程，即可完成方程的求解；（2）由已知，分別設(shè)出四點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)分別表示出直線，，，的斜率,即可證得，設(shè)和的中點(diǎn)分別為，，分別聯(lián)立與拋物線方程，求得，的坐標(biāo)，利用斜率公式表示，化簡計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，，所以點(diǎn)，代入方程中，得，所以的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，，，，則直線的斜率，同理得直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，所以，，從而得.由消去得，所以，由，得或.設(shè)和的中點(diǎn)分別為，，則，，同理，，所以，即，所以得.21．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求得，分和，兩種情況，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，由（1）得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可得證；【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，且，?dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，可得，由，可得，故在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減.（2）證明：因?yàn)闀r，要證，只需證明，由（1）知，當(dāng)時，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以.故，令，則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，則，所以當(dāng)，時，，所以.【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．22．(1)，曲線是以點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向上的拋物線.(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，將代入，求得曲線的普通方程，并得出軌跡；（2）根據(jù)極坐標(biāo)與直角的互化公式，求得曲線的普通方程，聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而的其極坐標(biāo).【詳解】（1）解：由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，將代入，可得，整理得，所以曲線的普通方程為，該曲線是以點(diǎn)為頂點(diǎn)，開