重慶市黔江中學(xué)高三上學(xué)期11月考試數(shù)學(xué)試題

重慶市黔江中學(xué)校20212022年度高三上11月考試數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合滿足，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件為集合是集合的子集，求得集合的子集個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】因?yàn)榧?，集合滿足，所以集合是集合的子集，所以滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為.故選：D.2.設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的模長公式以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，即可由共軛復(fù)數(shù)的定義求解坐標(biāo).【詳解】由可得，所以對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故選：D3.下列有關(guān)命題說法正確的是（）A.命題“若，則”的否命題為：“若，則”B.“”是“”的必要不充分條件C.若為假命題，則均為假命題D.命題“若，則”的逆否命題為假命題【答案】C【解析】【分析】根據(jù)否命題即可判斷A，根據(jù)原命題與逆否命題的真假性即可判斷D，根據(jù)必要不充分條件的定義即可判斷B，根據(jù)或命題的真假性即可求解C.【詳解】對于A,命題“若，則”的否命題為：“若，則”故A錯(cuò)誤，對于B，時(shí)，則，但是時(shí)，則或，故“”是“”的充分不必要條件，B錯(cuò)誤，對于C,若為假命題，則均為假命題，C正確，對于D，若，則為真命題，所以其逆否命題為真命題，D錯(cuò)誤，故選：C4.某高中籃球社團(tuán)計(jì)劃招入女生人，男生人，若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則該社團(tuán)今年計(jì)劃招入學(xué)生人數(shù)最多為（）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】B【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)滿足約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，平移直線，當(dāng)直線在y軸上截距最大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.【詳解】由實(shí)數(shù)滿足約束條件，畫出可行域如圖所示離散的點(diǎn)：將目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，平移直線，當(dāng)直線在y軸上截距最大時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為13.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.5.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則立夏日影長為（）A.1.5尺 B.4.5尺 C.3.5尺 D.2.5尺【答案】B【解析】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可直接求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列為，公差為，，解得，∴立夏日影長為．故選：B．6.已知四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，，若，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】用表示出，然后再求數(shù)量積．【詳解】依題意，可知四邊形為直角梯形，，，，，所以.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是用基底表示出．7.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象可知函數(shù)為奇函數(shù)，且在上不單調(diào)，然后利用排除法分析判斷即可【詳解】由圖象知函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)，對于A，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以此函?shù)是偶函數(shù)，不滿足條件，排除A，對于D，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，且，所以此函?shù)是非奇非偶函數(shù)，不滿足條件，排除D，對于C，因?yàn)楹驮谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù)，不滿足條件，排除C，對于B，定義域?yàn)?，因?yàn)椋源撕瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；又因?yàn)?，且時(shí)，，故B選項(xiàng)符合題意.故選：B．8.如右圖,“六芒星”是由兩個(gè)全等正三角形組成,中心重合于點(diǎn)且三組對邊分別平行.點(diǎn),是“六芒星”（如圖1）的兩個(gè)頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界）,若,則的取值范圍A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)，求的最大值，只需考慮圖中個(gè)頂點(diǎn)的向量即可，討論如下：①；②；③；④，，；⑤；⑥，的最大值為，根據(jù)其對稱性，可知的最小值為，故的取值范圍是，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題考查平面向量的幾何運(yùn)算、平面向量基本定理的應(yīng)用、新定義問題及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.本題通過定義“六芒星”，給出幾何圖形的特殊性質(zhì)，進(jìn)而利用平面向量的幾何運(yùn)算、結(jié)合選擇題的特點(diǎn)進(jìn)行解答二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.為了了解運(yùn)動(dòng)健身減肥的效果，某健身房調(diào)查了20名肥胖者，健身之前他們的體重（單位：千克）情況如圖①，經(jīng)過四個(gè)月的健身后，他們的體重（單位：千米）情況如圖②.對比健身前后，關(guān)于調(diào)查的肥胖者，下列結(jié)論正確的是（）A.他們健身后，體重在內(nèi)的肥胖者增加了2名B.他們健身后，體重在內(nèi)的人數(shù)沒有改變C.因?yàn)轶w重在內(nèi)的人數(shù)所占比例沒有發(fā)生改變，所以說明健身對體重沒有任何影響D.他們健身后，原來體重在內(nèi)的肥胖者體重都有減少【答案】ABD【解析】【分析】由所給的柱形圖分析減肥前和減肥后體重在各個(gè)區(qū)間人數(shù)的變化，即可得到答案.【詳解】A.體重在區(qū)間[90，100）內(nèi)的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人數(shù)增加了2個(gè)，A正確；B.他們健身后，體重在區(qū)間[100，110）內(nèi)的百分比沒有變，所以人數(shù)沒有變，B正確；C.他們健身后，出現(xiàn)了體重在[80，90）內(nèi)的人，健身之前是沒有這部分體重的，說明健身對體重還是有影響的，故C錯(cuò)誤；D.因?yàn)閳D2中沒有體重在區(qū)間[110，120）內(nèi)的比例，所以原來體重在區(qū)間[110，120）內(nèi)的肥胖者體重都有減少，D正確．故選：ABD．10.設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，則下列選項(xiàng)中成立的是（）A. B. C. D.與均為的最大值【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合等比數(shù)列的定義利用數(shù)列的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)．【詳解】由已知數(shù)列各項(xiàng)均為正，因此乘積也為正，公比，又，，，B正確；，，即，A正確；由得，，所以，而，，因此，C錯(cuò)；由上知，先增后減，與均為的最大值，D正確．故選：ABD．11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，給出下列關(guān)于的結(jié)論：①它的圖象關(guān)于直線對稱；②它的最小正周期為；③它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；④它在上單調(diào)遞增.其中正確的結(jié)論的編號是A.① B.② C.③ D.④【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)圖象的變換得出的解析式，然后利用三角函數(shù)的知識逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，令，得，所以不是對稱軸①錯(cuò)誤，②顯然正確，令，得，取，得，故關(guān)于點(diǎn)對稱，③正確，令，得，取，得，取，得，所以④錯(cuò)誤.所以選項(xiàng)BC正確.故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，在解決本類題目時(shí)，一般是把當(dāng)成整體.12.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】方法一，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性即可判斷.方法二，分類討論，根據(jù)，，討論即可得到答案.【詳解】方法一（構(gòu)造函數(shù)法）由題意，，設(shè)，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，故由，得，故，，A錯(cuò)誤，B正確；由，得，故，C正確；，故D不一定正確．故選:BC．方法二（分類討論法）由題意，．當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，而，∴，故不成立．當(dāng)時(shí)，，，不成立．故．∴，，故A錯(cuò)誤，B正確；，則，，故C正確；，故D不一定正確．故選:BC．三、填空題：本大題共4小題．13.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為_________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率即可.【詳解】由可得，于是.所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.故答案為：.14.已知，，若，則______．【答案】【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出．【詳解】，，解得【點(diǎn)睛】若，平行或者共線，則．15.已知是正項(xiàng)等比數(shù)列，若則的最小值等于__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可利用不等式的乘“1”法求解最值.【詳解】由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號，故的最小值為，故答案為：16.馬爾代夫群島是世界上風(fēng)景最為優(yōu)美的群島之一，如圖所示，為了測量兩座島之間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現(xiàn)在船往東航行2百海里到達(dá)處，此時(shí)測得在的北偏西的方向上，船再返回到處后，由向西航行百海里到達(dá)處，測得在的北偏東的方向上，則兩座島之間的距離為_______百海里.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用方位角分別求得三角形中各個(gè)角的大小，在和中，應(yīng)用正弦定理求得的長，再在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示設(shè)向北方向，由題意得，,由題可得，，在中，由正弦定理得，可得，再在中，，所以,在中，由余弦定理得，所以，即兩座島之間的距離為百海里.故答案為：.四、解答題：本大題共6個(gè)大題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線處，并加以解答．已知的內(nèi)角所對的邊分別是，若，且成等差數(shù)列，判斷的形狀，并說明理由.【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)三個(gè)不同的題設(shè)條件，主要解決方法包括：運(yùn)用二倍角公式消元求解；運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化列出方程求解；對于公共條件“成等差數(shù)列”，則通過等差中項(xiàng)和余弦定理代入求解即得.【詳解】若選擇①，則，解得：或（舍去），又因可得：或，由成等差數(shù)列知，則（*），當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，代入（*）化簡得：即，此時(shí)為等邊三角形；當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，代入（*）化簡得：，此時(shí)不存在，所以是等邊三角形.若選擇②,由正弦定理得：，因,則，化簡得：，因，故，因，則，由成等差數(shù)列知，則（*），由余弦定理可得，代入（*）化簡得：即，此時(shí)為等邊三角形.若選擇③，由正弦定理得：，因，化簡得：，即,由得，則,即，由成等差數(shù)列知，則（*），由余弦定理可得，代入（*）化簡得：即，此時(shí)為等邊三角形.18.數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【詳解】試題分析：（1）將的兩邊同除以，得到，由等差數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）有（1）求出，利用錯(cuò)位相減法即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.從而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的判定與證明和數(shù)列的求和，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，本的解答中利用等差數(shù)列的定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，求解的表達(dá)式，從而化簡得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和中，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的一個(gè)難點(diǎn).19.某商場經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)為30元/件的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x（單位：元）與日銷售量y（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系.x…30404550…y…6030150…（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對的對應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)畫出的點(diǎn)猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出一個(gè)函數(shù)解析式；（2）設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P（單位：元），根據(jù)上述關(guān)系，寫出P關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤？【答案】（1）（2），銷售單價(jià)為40元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤300元【解析】【分析】（1）猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.（2），根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】（1）如圖，猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè).將代入得,解得.∴y與x的一次函數(shù)解析式為.（2），當(dāng)時(shí)，.∴銷售單價(jià)為40元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤300元.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)解析式，函數(shù)圖像，函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的應(yīng)用能力.20.在中，角所對的邊分別為，且滿足（1）求角B的值；（2）若且，求的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和與差的余弦公式化簡，可求出角B的值；（2）根據(jù)條件，可求出角B的值以及角A的范圍，利用正弦定理可得到，將代入，用輔助角公式化簡，結(jié)合A的范圍即可求出結(jié)果.【小問1詳解】在中，，，，，，，即，又，所以，解得或.【小問2詳解】∵且，∴，由正弦定理得，所以，.故，∵，∴，，又易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是當(dāng)，即時(shí)的最小值為，當(dāng)，即時(shí)的最大值為.所以，即的取值范圍.21.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及前項(xiàng)和；（2）數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1），；（2）存在，【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式得到關(guān)于的關(guān)系式，解之即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求得，從而由推得的關(guān)系式，再利用得到關(guān)于的不等式組，從而得解．