高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 三角函數(shù)模型與解三角形的實際應(yīng)用舉例分層演練直擊高考 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第7講三角函數(shù)模型與解三角形的實際應(yīng)用舉例1．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的振幅、頻率和初相分別為________．[解析]由振幅、頻率和初相的定義可知，函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的振幅為2，周期為π，頻率為eq\f(1,π)，初相為－eq\f(π,4).[答案]2，eq\f(1,π)，－eq\f(π,4)2．海上有A，B，C三個小島，測得A，B兩島相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，則B，C間的距離是________海里．[解析]由正弦定理，知eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(AB,sin（180°－60°－75°）)，解得BC＝5eq\r(6)海里．[答案]5eq\r(6)3．某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))(x＝1，2，3，…，12，A>0)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的月平均氣溫為________℃.[解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋A＝28，,a－A＝18，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝23，,A＝5，))所以y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))，當(dāng)x＝10時，y＝23＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝20.5.[答案]20.54．一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)大的噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________[解析]設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.[答案]505．電流強(qiáng)度I(安)隨時間t(秒)變化的函數(shù)I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的圖象如圖所示，則當(dāng)t＝eq\f(1,100)秒時，電流強(qiáng)度是________安．[解析]由題圖知A＝10，eq\f(T,2)＝eq\f(4,300)－eq\f(1,300)＝eq\f(1,100)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝100π.所以I＝10sin(100πt＋φ)．因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,300)，10))為五點(diǎn)中的第二個點(diǎn)，所以100π×eq\f(1,300)＋φ＝eq\f(π,2).所以φ＝eq\f(π,6).所以I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))，當(dāng)t＝eq\f(1,100)秒時，I＝－5安．[答案]－56.如圖所示，已知樹頂A離地面eq\f(21,2)m，樹上另一點(diǎn)B離地面eq\f(11,2)m，某人在離地面eq\f(3,2)m的C處看此樹，則該人離此樹________m時，看A，B的視角最大．[解析]如圖，過C作CF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)∠ACB＝α，∠BCF＝β，由已知AB＝eq\f(21,2)－eq\f(11,2)＝5(m)，BF＝eq\f(11,2)－eq\f(3,2)＝4(m)，AF＝eq\f(21,2)－eq\f(3,2)＝9(m)，則tan(α＋β)＝eq\f(AF,FC)＝eq\f(9,FC)，tanβ＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(4,FC)，所以tanα＝tan[(α＋β)－β]＝eq\f(tan（α＋β）－tanβ,1＋tan（α＋β）tanβ)＝eq\f(5,FC＋\f(36,FC))≤eq\f(5,2\r(FC·\f(36,FC)))＝eq\f(5,12)，當(dāng)且僅當(dāng)FC＝eq\f(36,FC)，即FC＝6時，tanα取得最大值，此時α取最大值．[答案]67．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________[解析]如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．[答案]10eq\r(3)8．如圖，航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10000m，速度為50m/s.某一時刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開_______m．(取eq\r(2)＝1.4，eq\r(3)＝1.7)[解析]如圖，作CD垂直于AB的延長線于點(diǎn)D，由題意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))．因為CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)＝7350.故山頂?shù)暮０胃叨萮＝10000－7350＝2650(m)．[答案]26509.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米．[解析]連結(jié)OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50eq\r(7).[答案]50eq\r(7)10．以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的，已知3月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元，而該商品在商店的銷售價格是在8元基礎(chǔ)上按月隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價最高為10元，9月份銷售價最低為6元，假設(shè)某商店每月購進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月售完，則估計________月份盈利最大．[解析]由條件可得：出廠價格函數(shù)為y1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋6，銷售價格函數(shù)為y2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(3π,4)))＋8，則利潤函數(shù)為：y＝m(y2－y1)＝meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(3π,4)))＋8－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))－6))＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－2\r(2)sin\f(π,4)x))，所以，當(dāng)x＝6時，ymax＝(2＋2eq\r(2))m，即6月份盈利最大．[答案]611.已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100米和BN＝200米，一測量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測量車向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)米后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測量tanθ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離．[解]在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100eq\r(3)，連結(jié)QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100eq\r(3)，所以△PQM為等邊三角形，所以QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))2，所以BA＝100eq\r(5).即兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100eq\r12.某市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的長度；(2)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建造費(fèi)用最低(請說明理由)，最低造價為多少？(eq\r(2)＝1.414，eq\r(3)＝1.732)[解](1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(82＋52－AB2,2×8×5)，①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝eq\f(AD2＋BD2－AB2,2AD·BD)＝eq\f(72＋72－AB2,2×7×7)，②由∠C＝∠D得cosC＝cosD.解得AB＝7，所以AB的長度為7米．(2)小李的設(shè)計使建造費(fèi)用最低．理由如下：易知S△ABD＝eq\f