高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 3個(gè)附加題專項(xiàng)強(qiáng)化練（二）隨機(jī)變量、空間向量、拋物線 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

3個(gè)附加題專項(xiàng)強(qiáng)化練(二)隨機(jī)變量、空間向量、拋物線(理科)1.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，異面直線AC1與CD所成角的余弦值為eq\f(9\r(10),50)，求λ的值；(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求二面角D-CB1-B的余弦值．解：(1)由AC＝3，BC＝4，AB＝5，得∠ACB＝90°，故直線CA，CB，CC1兩兩垂直．以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(3，0,0)，C1(0，0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，設(shè)D(x，y，z)，則由eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，得eq\o(CD,\s\up7(→))＝(3－3λ，4λ，0)，而eq\o(AC,\s\up7(→))1＝(－3,0,4)，根據(jù)題意知eq\f(9\r(10),50)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－9＋9λ,5\r(25λ2－18λ＋9))))，解得λ＝eq\f(1,5)或λ＝－eq\f(1,3).(2)由(1)知eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2，0))，eq\o(CB,\s\up7(→))1＝(0,4,4)，設(shè)平面CDB1的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，,n1·eq\o(CB,\s\up7(→))1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x1＋2y1＝0，,4y1＋4z1＝0，))取x1＝4，則y1＝－3，z1＝3，故n1＝(4，－3,3)為平面CDB1的一個(gè)法向量，而平面CBB1的一個(gè)法向量為n2＝(1,0,0)，并且〈n1，n2〉與二面角D-CB1-B相等，所以二面角D-CB1-B的余弦值為cos〈n1，n2〉＝eq\f(4,\r(34))＝eq\f(2\r(34),17).故二面角D-CB1-B的余弦值為eq\f(2\r(34),17).2．甲、乙、丙分別從A，B，C，D四道題中獨(dú)立地選做兩道題，其中甲必選B題．(1)求甲選做D題，且乙、丙都不選做D題的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示D題被甲、乙、丙選做的次數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)．解：(1)設(shè)“甲選做D題，且乙、丙都不選做D題”為事件E.甲選做D題的概率為eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,3))＝eq\f(1,3)，乙，丙不選做D題的概率都是eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2).則P(E)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).故甲選做D題，且乙、丙都不選做D題的概率為eq\f(1,12).(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×Ceq\o\al(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(5,12)，P(X＝2)＝eq\f(1,3)×Ceq\o\al(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(1,3)×Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(1,12).所以X的概率分布為X0123Peq\f(1,6)eq\f(5,12)eq\f(1,3)eq\f(1,12)故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(5,12)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(4,3).3.如圖，以正四棱錐V-ABCD的底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E為VC的中點(diǎn)，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h，且有cos〈eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))〉＝－eq\f(15,49).(1)求eq\f(h,a)的值；(2)求二面角B-VC-D的余弦值．解：(1)由題意，可得B(a，a,0)，C(－a，a,0)，D(－a，－a,0)，V(0，0，h)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)，\f(h,2)))，∴eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3a,2)，－\f(a,2)，\f(h,2)))，eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(3a,2)，\f(h,2))).故cos〈eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))〉＝eq\f(h2－6a2,h2＋10a2)，又cos〈eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))〉＝－eq\f(15,49)，∴eq\f(h2－6a2,h2＋10a2)＝－eq\f(15,49)，解得eq\f(h,a)＝eq\f(3,2).(2)由eq\f(h,a)＝eq\f(3,2)，得eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3a,2)，－\f(a,2)，\f(3a,4)))，eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(3a,2)，\f(3a,4))).且eq\o(CB,\s\up7(→))＝(2a,0,0)，eq\o(DC,\s\up7(→))＝(0,2a,0)．設(shè)平面BVC的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(BE,\s\up7(→))＝0，,n1·eq\o(CB,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3a,2)x1－\f(a,2)y1＋\f(3a,4)z1＝0，,2ax1＝0，))取y1＝3，得n1＝(0,3,2)，設(shè)平面VCD的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·eq\o(DE,\s\up7(→))＝0，,n2·eq\o(DC,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)x2＋\f(3a,2)y2＋\f(3a,4)z2＝0，,2ay2＝0，))取x2＝－3，得n2＝(－3,0,2)，∴cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(4,13).由圖象知二面角B-VC-D的平面角為鈍角．∴二面角B-VC-D的余弦值為－eq\f(4,13).4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩點(diǎn)M(1，－3)，N(5,1)，若點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足eq\o(OC,\s\up7(→))＝teq\o(OM,\s\up7(→))＋(1－t)eq\o(ON,\s\up7(→))(t∈R)，且點(diǎn)C的軌跡與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)．(1)求證：OA⊥OB；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P(m,0)，使得過(guò)點(diǎn)P任作一條拋物線的弦，并以該弦為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)．若存在，求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：由eq\o(OC,\s\up7(→))＝teq\o(OM,\s\up7(→))＋(1－t)eq\o(ON,\s\up7(→))(t∈R)，可知點(diǎn)C的軌跡是M，N兩點(diǎn)所在的直線，所以點(diǎn)C的軌跡方程為y＋3＝eq\f(1－－3,5－1)(x－1)，即y＝x－4.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－4，,y2＝4x，))化簡(jiǎn)得x2－12x＋16＝0,設(shè)C的軌跡方程與拋物線y2＝4x的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝12，x1x2＝16，y1y2＝(x1－4)(x2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＝－16，因?yàn)閑q\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝16－16＝0,所以O(shè)A⊥OB.(2)假設(shè)存在這樣的P點(diǎn)，并設(shè)AB是過(guò)拋物線的弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，其方程為x＝ny＋m，代入y2＝4x得y2－4ny－4m此時(shí)y1＋y2＝4n，y1y2＝－4m所以kOAkOB＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4))·eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),4))＝eq\f(16,y1y2)＝－eq\f(4,m)＝－1，所以m＝4(定值)，故存在這樣的點(diǎn)P(4,0)滿足題意．設(shè)AB的中點(diǎn)為T(mén)(x，y)，則y＝eq\f(1,2)(y1＋y2)＝2n，x＝eq\f(1,2)(x1＋x2)＝eq\f(1,2)(ny1＋4＋ny2＋4)＝eq\f(n,2)(y1＋y2)＋4＝2n2＋4，消去n得y2＝2x－8.5．某小區(qū)停車(chē)場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每車(chē)每次停車(chē)時(shí)間不超過(guò)2小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)2小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)1元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．現(xiàn)有甲、乙兩人獨(dú)立來(lái)停車(chē)場(chǎng)停車(chē)(各停車(chē)一次)，且兩人停車(chē)時(shí)間均不超過(guò)5小時(shí)．設(shè)甲、乙兩人停車(chē)時(shí)間(小時(shí))與取車(chē)概率如下表所示.eq\a\vs4\al(停車(chē)時(shí)間)取車(chē)概率停車(chē)人員(0,2](2,3](3,4](4,5]甲eq\f(1,2)xxx乙eq\f(1,6)eq\f(1,3)y0(1)求甲、乙兩人所付車(chē)費(fèi)相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付停車(chē)費(fèi)之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解：(1)由題意得eq\f(1,2)＋3x＝1，解得x＝eq\f(1,6)，由eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋y＝1，解得y＝eq\f(1,2).記甲、乙兩人所付車(chē)費(fèi)相同的事件為A，則P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,9)，故甲、乙兩人所付車(chē)費(fèi)相同的概率為eq\f(2,9).(2)設(shè)甲、乙兩人所付停車(chē)費(fèi)之和為隨機(jī)變量ξ，ξ的所有取值為0,1,2,3,4,5.P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(7,36)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,36)，P(ξ＝5)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).所以ξ的概率分布為：ξ012345Peq\f(1,12)eq\f(7,36)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(5,36)eq\f(1,12)∴ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(7,36)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(5,36)＋5×eq\f(1,12)＝eq\f(7,3).6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線x2＝2py(p>0)上的點(diǎn)M(m,1)到焦點(diǎn)F的距離為2.(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點(diǎn)E是拋物線上異于原點(diǎn)的點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)E處的切線與x軸相交于點(diǎn)P，直線PF與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求△EAB面積的最小值．解：(1)拋物線x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2)，因?yàn)镸(m,1)到焦點(diǎn)F的距離為2，由拋物線定義，知MF＝1＋eq\f(p,2)＝2，即p＝2，所以拋物線的方程為x2＝4y.(2)因?yàn)閥＝eq\f(1,4)x2，所以y′＝eq\f(1,2)x.設(shè)點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t2,4)))，t≠0，則拋物線在點(diǎn)E處的切線方程為y－eq\f(t2,4)＝eq\f(1,2)t(x－t)．令y＝0，則x＝eq\f(t,2)，即點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)，0)).因?yàn)镻eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)，0))，F(xiàn)(0,1)，所以直線PF的方程為y＝－eq\f(2,t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(t,2)))，即2x＋ty－t＝0.則點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t2,4)))到直線PF的距離為d＝eq\f(