高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題7 選修系列 第23講 幾何證明選講教師用書 理-人教版高三選修數(shù)學(xué)試題

專題7選修系列4部分第23講選修4－1：幾何證明選講題型一|相似三角形的判定與性質(zhì)圖23－1(2016·江蘇高考)如圖23－1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D為垂足，E是BC的中點(diǎn)．求證：∠EDC＝∠ABD.[證明]在△ADB和△ABC中，因?yàn)椤螦BC＝90°，BD⊥AC，∠A為公共角，所以△ADB∽△ABC，5分于是∠ABD＝∠C.7分在Rt△BDC中，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以ED＝EC，從而∠EDC＝∠C.9分所以∠EDC＝∠ABD.10分【名師點(diǎn)評】判定兩個三角形相似的幾種方法：(1)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；(2)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；(3)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；(4)相似三角形的定義．1．如圖23－2，在?ABCD中，E是DC邊的中點(diǎn)，AE交BD于O，S△DOE＝9cm2，則求△AOB的面積．圖23－2[解]∵在?ABCD中，AB∥DE，∴△AOB∽△EOD，3分∴eq\f(S△AOB,S△DOE)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,DE)))2.5分∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)AB，7分則eq\f(AB,DE)＝2，∴eq\f(S△AOB,S△DOE)＝22＝4，9分∴S△AOB＝4S△DOE＝4×9＝36(cm2).10分2．如圖23－3，BD，CE是△ABC的高．求證：ADE∽△ABC.圖23－3[證明]∵BD，CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.2分又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB，5分∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC).7分又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.10分題型二|與圓有關(guān)的比例線段問題如圖23－4，PA為圓O的切線，A為切點(diǎn)，PBC為經(jīng)過圓心O的割線，若PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分線與BC和圓O分別交于D，E，求AD·AE的值．圖23－4[解]連結(jié)CE，由切割線定理知，PA2＝PB·PC.1分∵PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，CB＝15.2分又∵PA為圓O的切線，∴∠PAB＝∠ACP，∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，4分∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2).①5分又BC為直徑，∴∠CAB為直角，∴AC2＋AB2＝BC2＝225，②6分由①②得AC＝6eq\r(5)，AB＝3eq\r(5).7分又AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，∠ABC＝∠E，8分∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC).∴AD·AE＝AB·AC＝3eq\r(5)·6eq\r(5)＝90.10分【名師點(diǎn)評】(1)圓中線段長度成比例的問題，要結(jié)合切割線定理、相交弦定理，構(gòu)造比例關(guān)系．(2)利用相似關(guān)系求解線段長度要靈活地在三角形中對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化或等比替換．1．(2016·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知△ABC內(nèi)接于⊙O，BE是⊙O的直徑，AD是BC邊上的高．求證：BA·AC＝BE·AD.圖23－5[證明]連結(jié)AE.1分∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°.3分∴∠BAE＝∠ADC.5分又∵∠BEA＝∠ACD，∴△BEA∽△ACD.8分∴eq\f(BE,BA)＝eq\f(AC,AD)，∴BA·AC＝BE·AD.10分2．如圖23－6，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)是⊙O上的兩點(diǎn)，OC⊥AB，過點(diǎn)F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點(diǎn)D.連結(jié)CF交AB于點(diǎn)E.求證：DE2＝DB·DA.圖23－6[證明]連結(jié)OF.因?yàn)镈F切⊙O于F，所以∠OFD＝90°.2分所以∠OFC＋∠CFD＝90°.因?yàn)镺C＝OF，所以∠OCF＝∠OFC.5分因?yàn)镃O⊥AB于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°.所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE.8分因?yàn)镈F是⊙O的切線，所以DF2＝DB·DA.所以DE2＝DB·DA.10分題型三|圓內(nèi)接四邊形的判定及性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖23－7，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x2－14x＋mn＝0的兩個根．圖23－7(1)證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圓的半徑．【導(dǎo)學(xué)號：19592065】[解](1)證明：連結(jié)DE，根據(jù)題意知，在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB).2分又∠DAE＝∠CAB，從而△ADE∽△ACB.3分因此∠ADE＝∠ACB，所以∠ADE＋∠EDB＝∠ACB＋∠EDB＝180°，所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓.5分(2)m＝4，n＝6時，方程x2－14x＋mn＝0的兩根為x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.7分取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連結(jié)DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.從而HF＝AG＝5，DF＝eq\f(1,2)×(12－2)＝5.故C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為5eq\r(2).10分【名師點(diǎn)評】判定四點(diǎn)共圓的方法1．如果四個點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，那么這四個點(diǎn)共圓．2．如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這四個點(diǎn)共圓．3．如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形四個頂點(diǎn)共圓．4．如果兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等且都在公共邊的同側(cè)，那么這兩個三角形的四個頂點(diǎn)共圓．如圖23－8，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD交于點(diǎn)F.圖23－8(1)證明：A，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓；(2)若MF＝4BF＝4，求線段BC的長．[解](1)證明：連結(jié)AM，由AB為圓O的直徑可知∠AMB＝90°，2分又CE⊥AB于E，故∠AEF＝90°，所以∠