必修5正余弦定理講解及練習(xí)及答案

解三角形(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：；；；〔=4\*romaniv〕eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)②三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，假設(shè)運(yùn)用正弦定理，那么務(wù)必注意可能有兩解.如〔1〕(2012·廣東高考)在△ABC中，假設(shè)∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2)，那么AC＝()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.如．〔1〕在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，假設(shè)a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，那么角B的值為_(kāi)_______．〔2〕2012·北京高考)在△ABC中，假設(shè)a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，那么b＝________．(4)面積公式：〔其中為三角形內(nèi)切圓半徑〕.如〔1〕中，假設(shè)，判斷的形狀?！?〕△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，那么△ABC的面積為_(kāi)_______．特別提醒：〔1〕求解三角形中的問(wèn)題時(shí)，一定要注意這個(gè)特殊性：；〔2〕求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。如〔1〕中，A、B的對(duì)邊分別是，且，那么滿足條件的A、有一個(gè)解B、有兩個(gè)解C、無(wú)解D、不能確定〔2〕在中，A＞B是成立的_____條件(3)在中，分別是角A、B、C所對(duì)的邊，假設(shè)，那么＝____〔4〕在中，假設(shè)其面積，那么=____〔5〕在中，，這個(gè)三角形的面積為，那么外接圓的直徑是_______正余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖3－8－1①)．圖3－8－12．方位角和方向角(1)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖3－8－1②)．(2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°等．3．坡度與坡比坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)．坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比．例題講解1．如下圖，兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，那么燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)kmB.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akmD．2akm2．在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，假設(shè)∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，那么A、C兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______千米．3．一船自西向東航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°、距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，那么這只船航行的速度為_(kāi)_______海里/時(shí)．4．(2013·梅州模擬)如圖3－8－3，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．那么這條河的寬度為_(kāi)_______m.圖3－8－3正弦定理一、根底過(guò)關(guān)1．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，那么B等于 ()A．45°或135° B．60°C．45° D．135°2．在△ABC中，假設(shè)eq\r(3)a＝2bsinA，那么B為 ()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π D.eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π3．在△ABC中，假設(shè)A＝30°，B＝60°，b＝eq\r(3)，那么a等于 ()A．3 B．1 C．2 D.eq\f(1,2)4．以下判斷中正確的選項(xiàng)是 ()A．當(dāng)a＝4，b＝5，A＝30°時(shí)，三角形有一解B．當(dāng)a＝5，b＝4，A＝60°時(shí)，三角形有兩解C．當(dāng)a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝120°時(shí)，三角形有一解D．當(dāng)a＝eq\f(3,2)eq\r(2)，b＝eq\r(6)，A＝60°時(shí)，三角形有一解5．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，那么△ABC的面積S△ABC等于 ()A.eq\r(3)＋1B.eq\r(3)－1C.eq\r(3)＋2D.eq\r(3)－26．在△ABC中，c＝eq\r(3)，b＝1，B＝30°，那么△ABC的面積為 ()．A.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)C.eq\r(3)或eq\f(\r(3),4) D.eq\r(3)7．在△ABC中，以下等式中總能成立的是 ()A．a(chǎn)sinA＝bsinB B．bsinC＝csinAC．a(chǎn)bsinC＝bcsinB D．a(chǎn)sinC＝csinA8．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，那么△ABC為 ()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形9．在△ABC中，假設(shè)eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，那么△ABC是 ()A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形10．在△ABC中，假設(shè)a＝5，b＝3，C＝120°，那么sinA∶sinB的值是 ()．A.eq\f(5,3) B.eq\f(3,5) C.eq\f(3,7) D.eq\f(5,7)11．在△ABC中，假設(shè)sinA>sinB，那么角A與角B的大小關(guān)系為 ()．A．A>B B．A<BC．A≥B D．A，B的大小關(guān)系不能確定12．在△ABC中，假設(shè)eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，那么△ABC中最長(zhǎng)的邊是 ()．A．a(chǎn) B．b C．c D．b或c13．假設(shè)△ABC的面積為eq\r(3)，BC＝2，C＝60°，那么邊AB的長(zhǎng)度為_(kāi)______．14．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶4∶5，那么eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝______.15．在△ABC中，假設(shè)b＝5，B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，那么a＝______.16．在△ABC中，假設(shè)AC＝eq\r(6)，BC＝2，B＝60°，那么C＝______.17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，A＝eq\f(π,3)，b＝1，三角形ABC的外接圓半徑為1，那么△ABC的面積S＝_______.18．以下條件判斷三角形解的情況，正確的選項(xiàng)是_______．①a＝8，b＝16，A＝30°，有兩解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，無(wú)解；④a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．19．在△ABC中，假設(shè)A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，那么eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝_______.20.在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，那么eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝______，c＝_____.21.在△ABC中，2eq\r(3)asinB＝3b，且cosB＝cosC，試判斷△ABC的形狀．22.在△ABC中，假設(shè)eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，試判斷三角形的形狀．23．在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，假設(shè)b＝2a，B＝A＋60°，求A的值．24．在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.25．在△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，假設(shè)a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面積S.余弦定理一、根底過(guò)關(guān)1．在△ABC中，假設(shè)b2＝a2＋c2＋ac，那么B等于 ()A．60° B．45°或135°C．120° D．30°2．在△ABC中，a＝9，b＝2eq\r(3)，C＝150°，那么c等于 ()．A.eq\r(39) B．8eq\r(3) C．10eq\r(2) D．7eq\r(3)3．假設(shè)三條線段的長(zhǎng)分別為5,6,7，那么用這三條線段 ()A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形4．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，那么cosC的值為 ()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3) C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)5．在△ABC中，b＝3，c＝3eq\r(3)，A＝30°，那么角C等于 ()A．30° B．120° C．60° D．150°6．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，假設(shè)a＝2bcosC，那么此三角形一定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC中，假設(shè)a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，那么△ABC的最小角為 ()．A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,12)8.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，假設(shè)eq\f(c2－a2－b2,2ab)>0，那么△ABC ()．A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形 D．是銳角或直角三角形9．a(chǎn)、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，假設(shè)滿足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，那么∠C的大小為()A．60° B．90° C．120° D．150°10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么這個(gè)三角形的最小外角為 ()A．30° B．60° C．90° D．120°11．在△ABC中，b2＝ac且c＝2a，那么cosB等于 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4) C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)12．假設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，那么ab的值為 () A.eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3) C．1 D.eq\f(2,3)13．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，那么三角形一定是 ()．A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰直角三角形D．鈍角三角形14．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，那么邊BC的長(zhǎng)為 ()．A.eq\r(3) B．3 C.eq\r(7) D．715．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面積為eq\r(3)，那么eq\f(a,sinA)等于 ()．A.eq\f(2\r(39),3) B.eq\f(2\r(29),3) C.eq\f(26\r(3),3) D．3eq\r(3)17．△ABC的內(nèi)角B＝60°，且AB＝1，BC＝4，那么邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．18．在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，那么A＝________.19．a(chǎn)，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，那么a2＋c2＋ac－b2＝________.20.在△ABC中，假設(shè)(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，那么A＝________.21.在△ABC中，a＝5，b＝7，B＝120°，那么△ABC的面積為_(kāi)_______．22．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosA＝eq\f(1,4)，a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b，c的值．23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長(zhǎng)；(3)求△ABC的面積．24．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB.(1)求B；(2)假設(shè)A＝75°，b＝2，求a，c.25．在△ABC中，a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求三邊長(zhǎng)．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝4,a＋c＝2b))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＋4,c＝b－4)).∴a>b>c，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.當(dāng)b＝10時(shí)，a＝14，c＝6.26．a(chǎn)，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大?。?2)假設(shè)c＝3a，求tanA的值．解(1)由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2).∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).(2)法一將c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝eq\r(7)a.由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(5\r(7),14).∵0<A<π，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(21),14).∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3),5).法二將c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝eq\r(7)a.由正弦定理，得sinB＝eq\r(7)sinA.∵B＝eq\f(π,3)，∴sinA＝eq\f(\r(21),14).又∵b＝eq\r(7)a>a，那么B>A，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(5\r(7),14).∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3),5).27．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求邊BC的長(zhǎng)；(2)記AB的中點(diǎn)為D，求中線CD的長(zhǎng)．解(1)由正弦定理知BC＝eq\f(AC,sinB)·sinA＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))·eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(2).(2)由余弦定理知CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BC·cosB)＝eq\r(1＋18－2×1×3\r(2)×\f(\r(2),2))＝eq\r(13).28.在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝eq\r(21)，S△ABC＝eq\r(3)，求b，c.解∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，∴bc＝4.①又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b＋c＝5，②又c>b，由①②得b＝1，c＝4.29．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別是a，b，c，c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)假設(shè)△ABC的面積等于eq\r(3)，求a，b；(2)假設(shè)sinB＝2sinA，求△ABC的面積．解(1)∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)ab·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴ab＝4. ①∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC＝(a＋b)2－12＝4.∴a＋b＝4. ②由①②可得a＝2，b＝2.(2)∵sinB＝2sinA，∴b＝2a.又∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝4.∴a＝eq\f(2\r(3),3)，b＝eq\f(4\r(3),3).∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).1.2正、余弦定理應(yīng)用舉例1．兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都等于akm，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20°方向上，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40°方向上，那么燈塔A與燈塔B的距離為(B)A．a(chǎn)km B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm2．海上有A、B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B、C間的距離是 (.D)A．10eq\r(3)nmile B.eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile如圖，為測(cè)一樹(shù)的高度，在地面上選取A、B兩點(diǎn)，從A、B兩點(diǎn)分別測(cè)得望樹(shù)尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點(diǎn)之間的距離為60m，那么樹(shù)的高度為 (A)A．(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋3eq\r(3))m如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°的方向上，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后到達(dá)N處，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，那么貨輪的速度為 (B) A．20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/小時(shí)B．20(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小時(shí)C．20(eq\r(6)＋eq\r(3))海里/小時(shí)D．20(eq\r(6)－eq\r(3))海里/小時(shí)5.某人先向正東方向走了xkm，然后他向右轉(zhuǎn)150°，向新的方向走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為eq\r(3)km，那么x的值為 (C)．A.eq\r(3) B．2eq\r(3) C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3解析根據(jù)余弦定理可得，(eq\r(3))2＝x2＋32－2×3xcos(180°－150°)，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，∴x＝2eq\r(3)或eq\r(3).6.從200m高的山頂看，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，那么塔高為(A)．A.eq\f(400,3)m B.eq\f(400\r(3),3)m C.eq\f(200\r(3),3)m D.eq\f(200,3)m解析由山頂與塔底的俯角為60°可知，山腳與塔底的水平距離為eq\f(200,\r(3))，又山頂看塔頂?shù)母┙菫?0°，設(shè)塔高為xm，那么200－x＝eq\f(200,\r(3))×eq\f(\r(3),3)，∴x＝eq\f(400,3)m．應(yīng)選A.7．要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)分別測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，那么電視塔在這次測(cè)量中的高度是 (D)． A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500m解析由題意畫(huà)出示意圖，設(shè)高AB＝h，在Rt△ABC中，由BC＝h，在Rt△ABD中，由BD＝eq\r(3)h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500m．應(yīng)選D.8.如下圖，為了測(cè)量河的寬度，在一側(cè)岸邊選定兩點(diǎn)A，B，在另一側(cè)岸邊選定點(diǎn)C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，那么河的寬度為_(kāi)___60m____．設(shè)河寬hm，那么eq\f(h,tan30°)＋eq\f(h,tan75°)＝120，又∵tan75°＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3))，∴eq\r(3)h＋eq\f(3－\r(3),3＋\r(3))h＝120，∴h＝60m.9．A，B兩島相距10nmile，從A島看B，C兩島的視角為60°，從B島看A，C兩島的視角是75°，那么B，C兩島的距離為_(kāi)_5eq\r(6)______nmile.解析A，B，C為△ABC的頂點(diǎn)，且A＝60°，B＝75°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋75°)＝45°.根據(jù)正弦定理得，BC＝eq\f(ABsinA,sinC)＝eq\f(10·sin60°,sin45°)＝5eq\r(6)(nmile)．10．要測(cè)量對(duì)岸兩點(diǎn)A、B之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之間的距離．解如下圖，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)．∴A、B之間的距離為eq\r(5)km.11．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連成30°角，求兩條船之間的距離．如下圖∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即兩船相距30m.解三角形(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：；；；〔=4\*romaniv〕eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)②三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，假設(shè)運(yùn)用正弦定理，那么務(wù)必注意可能有兩解.如〔1〕(2012·廣東高考)在△ABC中，假設(shè)∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2)，那么AC＝()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)【解析】在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，∴AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(3\r(2)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝2eq\r(3).【答案】B(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.如．如．〔1〕在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，假設(shè)a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，那么角B的值為_(kāi)__eq\f(π,6)_____．〔2〕2012·北京高考)在△ABC中，假設(shè)a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，那么b＝________．【解析】由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－eq\f(1,4))，整理得15b－60＝0.∴b＝4.【答案】4(4)面積公式：〔其中為三角形內(nèi)切圓半徑〕.如〔1〕中，假設(shè)，判斷的形狀〔答：直角三角形〕?！?〕△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，那么△ABC的面積為_(kāi)_______．【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsin120°＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).【答案】eq\f(15\r(3),4)特別提醒：〔1〕求解三角形中的問(wèn)題時(shí)，一定要注意這個(gè)特殊性：；〔2〕求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。如〔1〕中，A、B的對(duì)邊分別是，且，那么滿足條件的A、有一個(gè)解B、有兩個(gè)解C、無(wú)解D、不能確定〔答：C〕；〔2〕在中，A＞B是成立的_____條件〔答：充要〕；(3)在中，分別是角A、B、C所對(duì)的邊，假設(shè)，那么＝____〔答：〕；〔4〕在中，假設(shè)其面積，那么=____〔答：〕；〔5〕在中，，這個(gè)三角形的面積為，那么外接圓的直徑是_______〔答：〕；正余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖3－8－1①)．圖3－8－12．方位角和方向角(1)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖3－8－1②)．(2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°等．3．坡度與坡比坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)．坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比．例題講解圖3－8－21．(人教A版教材習(xí)題改編)如圖3－8－2所示，兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，那么燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)kmB.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akmD．2akm【解析】在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝eq\r(3)a.【答案】B2．在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，假設(shè)∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，那么A、C兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______千米．【解析】在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，由正弦定理，得eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)，故AC＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)3．一船自西向東航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°、距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，那么這只船航行的速度為_(kāi)_______海里/時(shí)．【解析】如圖．由題意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得eq\f(MN,sin120°)＝eq\f(PM,sin45°)，∴MN＝34eq\r(6).又由M到N所用時(shí)間為14－10＝4小時(shí)，∴船的航行速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(海里/時(shí))．【答案】eq\f(17,2)eq\r(6)4．(2013·梅州模擬)如圖3－8－3，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．那么這條河的寬度為_(kāi)_______m.圖3－8－3【解析】因?yàn)椤螩AB＝30°，∠CBA＝75°，那么∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，所以AC＝AB＝120m，所以S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·AB·sinA＝eq\f(1,2)×120×120×eq\f(1,2)＝3600，設(shè)這條河的寬度為h，那么S△ABC＝eq\f(1,2)×AB·h，∴h＝AC·sinA＝120×eq\f(1,2)＝60(m)．【答案】601．1．1正弦定理一、根底過(guò)關(guān)1．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，那么B等于 (C)A．45°或135° B．60°C．45° D．135°2．在△ABC中，假設(shè)eq\r(3)a＝2bsinA，那么B為 (C)A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π D.eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π3．在△ABC中，假設(shè)A＝30°，B＝60°，b＝eq\r(3)，那么a等于 (B)A．3 B．1 C．2 D.eq\f(1,2)4．以下判斷中正確的選項(xiàng)是 (D)A．當(dāng)a＝4，b＝5，A＝30°時(shí)，三角形有一解B．當(dāng)a＝5，b＝4，A＝60°時(shí)，三角形有兩解C．當(dāng)a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝120°時(shí)，三角形有一解D．當(dāng)a＝eq\f(3,2)eq\r(2)，b＝eq\r(6)，A＝60°時(shí)，三角形有一解5．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，那么△ABC的面積S△ABC等于 (A)A.eq\r(3)＋1B.eq\r(3)－1C.eq\r(3)＋2D.eq\r(3)－26．在△ABC中，c＝eq\r(3)，b＝1，B＝30°，那么△ABC的面積為 (B)．A.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)C.eq\r(3)或eq\f(\r(3),4) D.eq\r(3)解析根據(jù)正弦定理：sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\r(3)sin30°＝eq\f(\r(3),2).∵c>b，∴C>B＝30°，∴C＝60°或120°.當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bc＝eq\f(\r(3),2)；當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)sin30°＝eq\f(\r(3),4).7．在△ABC中，以下等式中總能成立的是 (D)A．a(chǎn)sinA＝bsinB B．bsinC＝csinAC．a(chǎn)bsinC＝bcsinB D．a(chǎn)sinC＝csinA8．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，那么△ABC為 (A)A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形9．在△ABC中，假設(shè)eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，那么△ABC是 (B)A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形10．在△ABC中，假設(shè)a＝5，b＝3，C＝120°，那么sinA∶sinB的值是 (A)．A.eq\f(5,3) B.eq\f(3,5) C.eq\f(3,7) D.eq\f(5,7)解析在△ABC中，C＝120°，故A，B都是銳角．據(jù)正弦定理eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)＝eq\f(5,3).11．在△ABC中，假設(shè)sinA>sinB，那么角A與角B的大小關(guān)系為 (A)．A．A>B B．A<BC．A≥B D．A，B的大小關(guān)系不能確定解析由sinA>sinB?2RsinA>2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)?a>b?A>B.12．在△ABC中，假設(shè)eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，那么△ABC中最長(zhǎng)的邊是 (A)．A．a(chǎn) B．b C．c D．b或c解析由正弦定理知sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴B＝C＝45°，∴A＝90°，應(yīng)選A.13．假設(shè)△ABC的面積為eq\r(3)，BC＝2，C＝60°，那么邊AB的長(zhǎng)度為_(kāi)___2____．14．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶4∶5，那么eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝___eq\f(2,5)_____.15．在△ABC中，假設(shè)b＝5，B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，那么a＝__eq\f(5\r(2),3)____.16．在△ABC中，假設(shè)AC＝eq\r(6)，BC＝2，B＝60°，那么C＝___75°_____.解析由正弦定理得eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(6),sin60°)，∴sinA＝eq\f(\r(2),2).∵BC＝2<AC＝eq\r(6)，∴A為銳角．∴A＝45°.∴C＝75°.17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，A＝eq\f(π,3)，b＝1，三角形ABC的外接圓半徑為1，那么△ABC的面積S＝____eq\f(\r(3),2)___.解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，∴a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，∴a>b，∴A>B，∴B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,2).∴S△ABC＝eq\f(\r(3),2).18．以下條件判斷三角形解的情況，正確的選項(xiàng)是__④______．①a＝8，b＝16，A＝30°，有兩解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，無(wú)解；④a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．解析①中a＝bsinA，有一解；②中csinB<b<c，有兩解；③中A＝90°且a>b，有一解．19．在△ABC中，假設(shè)A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，那么eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝____2____.解析由A＝30°，B＝60°，C＝90°，eq\f(a,sinA)＝2.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(2b,2sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝2.20.在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，那么eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝__12____，c＝__6____.21.在△ABC中，2eq\r(3)asinB＝3b，且cosB＝cosC，試判斷△ABC的形狀．解∵2eq\r(3)asinB＝3b，∴2eq\r(3)·(2RsinA)·sinB＝3(2RsinB)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝60°或120°.∵cosB＝cosC，∴B＝C.當(dāng)A＝60°時(shí)，△ABC是等邊三角形；當(dāng)A＝120°時(shí)，△ABC是頂角為120°的等腰三角形．22.在△ABC中，假設(shè)eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，試判斷三角形的形狀．由正弦定理知eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(4,3)，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).又∵eq\f(b,a)>1，∴B>A，∴△ABC為直角三角形．23．在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，假設(shè)b＝2a，B＝A＋60°，求A的值．∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，∴sinA＝eq\f(\r(3),3)cosA，∴tanA＝eq\f(\r(3),3)，∴A＝30°.24．在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.解∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴a＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).B＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10×sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))．25．在△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，假設(shè)a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面積S.解cosB＝2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(3,5)，故B為銳角，sinB＝eq\f(4,5).所以sinA＝sin(π－B－C)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－B))＝eq\f(7\r(2),10).由正弦定理得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(10,7)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(10,7)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,7).1．1．2余弦定理一、根底過(guò)關(guān)1．在△ABC中，假設(shè)b2＝a2＋c2＋ac，那么B等于 (C)A．60° B．45°或135°C．120° D．30°2．在△ABC中，a＝9，b＝2eq\r(3)，C＝150°，那么c等于 (D)．A.eq\r(39) B．8eq\r(3) C．10eq\r(2) D．7eq\r(3)解析c2＝a2＋b2－2abcosC＝92＋(2eq\r(3))2－2×9×2eq\r(3)cos150°＝147＝(7eq\r(3))2，∴c＝7eq\r(3)3．假設(shè)三條線段的長(zhǎng)分別為5,6,7，那么用這三條線段 (B)A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形4．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，那么cosC的值為 (A)A.eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3) C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)5．在△ABC中，b＝3，c＝3eq\r(3)，A＝30°，那么角C等于 (B)A．30° B．120° C．60° D．150°6．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，假設(shè)a＝2bcosC，那么此三角形一定是(C)A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC中，假設(shè)a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，那么△ABC的最小角為 (B)．A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,12)解析∵c<b<a，∴最小角為角C.∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(49＋48－13,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∴C＝eq\f(π,6)，應(yīng)選B.8.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，假設(shè)eq\f(c2－a2－b2,2ab)>0，那么△ABC (C)．A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形 D．是銳角或直角三角形解析∵eq\f(c2－a2－b2,2ab)>0，∴c2－a2－b2>0.∴a2＋b2<c2.∴△ABC為鈍角三角形．應(yīng)選C.9．a(chǎn)、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，假設(shè)滿足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，那么∠C的大小為(C)A．60° B．90° C．120° D．150°10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么這個(gè)三角形的最小外角為 (B)A．30° B．60° C．90° D．120°11．在△ABC中，b2＝ac且c＝2a，那么cosB等于 (B)A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4) C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)12．假設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，那么ab的值為 (A) A.eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3) C．1 D.eq\f(2,3)13．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，那么三角形一定是 (B)．A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰直角三角形D．鈍角三角形余弦定理b2＝a2＋c2－ac∴a2＋c2－2ac＝0，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.∵B＝60°，∴A＝C＝60°.△ABC為等邊三角形．14．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，那么邊BC的長(zhǎng)為 (A)．A.eq\r(3) B．3 C.eq\r(7) D．7∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(\r(3),2)，∴AC＝1.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.即BC＝eq\r(3).15．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面積為eq\r(3)，那么eq\f(a,sinA)等于 (A)．A.eq\f(2\r(39),3) B.eq\f(2\r(29),3) C.eq\f(26\r(3),3) D．3eq\r(3)解析由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)可知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－8cos60°＝13，∴a＝eq\r(13).∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),sin60°)＝eq\f(2\r(39),3).17．△ABC的內(nèi)角B＝60°，且AB＝1，BC＝4，那么邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為_(kāi)__eq\r(3)_____．18．在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，那么A＝_30°_______.19．a(chǎn)，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，那么a2＋c2＋ac－b2＝___0_____.解析∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac.∴原式為0.20.在△ABC中，假設(shè)(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，那么A＝____120°____.∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝120°.21.在△ABC中，a＝5，b＝7，B＝120°，那么△ABC的面積為_(kāi)__eq\f(15\r(3),4)_____．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3.∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×5×3sin120°＝eq\f(15\r(3),4).22．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosA＝eq\f(1,4)，a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b，c的值．解由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝(b＋c)2－2bc－eq\f(1,2)bc∴bc＝8，又∵b＋c＝6，b<c，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6，,bc＝8，))得b＝2，c＝4或b＝4，c＝2(舍)．∴b＝2，c＝4.23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長(zhǎng)；(3)求△ABC的面積．(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－eq\f(1,2)，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°(2)∵a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))∴AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝eq\r(10).(3)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),2).24．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB.(1)求B；(2)假設(shè)A＝75°，b＝2，求a，c.(1)由正弦定理得a2＋c2－eq\r(2)ac＝b2由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝eq\f(\r(2),2).因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).故a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),\r(2))＝1＋eq\r(3)，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝2×eq\f(sin60°,sin45°)＝eq\r(6).25．在△ABC中，a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求三邊長(zhǎng)．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝4,a＋c＝2b))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＋4,c＝b－4)).∴a>b>c，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.當(dāng)b＝10時(shí)，a＝14，c＝6.26．a(chǎn)，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大??；(2)假設(shè)c＝3a，求tanA的值．解(1)由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2).∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).(2)法一將c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝eq\r(7)a.由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(5\r(7),14).∵0<A<π，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(21),14).∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3),5).法二將c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝eq\r(7)a.由正弦定理，得sinB＝eq\r(7)sinA.∵B＝eq\f(π,3)，∴sinA＝eq\f(\r(21),14).又∵b＝eq\r(7)a>a，那么B>A，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(5\r(7),14).∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3),5).27．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求邊BC的長(zhǎng)；(2)記AB的中點(diǎn)為D，求中線CD的長(zhǎng)．解(1)由正弦定理知BC＝eq\f(AC,sinB)·sinA＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))·eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(2).(2)由余弦定理知CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BC·cosB)＝eq\r(1＋18－2×1×3\r(2)×\f(\r(2),2))＝eq\r(13).28.在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝eq\r(21)，S△ABC＝eq\r(3)，求b，c.解∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，∴bc＝4.①又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b＋c＝5，②又c>b，由①②得b＝1，c＝4.29．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別是a，b，c，c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)假設(shè)△ABC的面積等于eq\r(3)，求a，b；(2)假設(shè)sinB＝2sinA，求△ABC的面積．解(1)∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)ab·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴ab＝4. ①∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC＝(a＋b)2－12＝4.∴a＋b＝4. ②由①②可得a＝2，b＝2.(2)∵sinB＝2sinA，∴b＝2a.又∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝4.∴a＝eq\f(2\r(3),3)，b＝eq\f(4\r(3),3).∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).課后作業(yè)(二十四)正弦定理和余弦定理(見(jiàn)學(xué)生用書(shū)第284頁(yè))一、選擇題1．(2013·韶關(guān)模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.假設(shè)acosA＝bsinB，那么sinAcosA＋cos2B＝()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－1D．1【解析】由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.【答案】D2．假設(shè)△ABC中，6sinA＝4sinB＝3sinC，那么cosB＝()A.eq\f(\r(15),4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3\r(15),16)D.eq\f(11,16)【解析】由正弦定理得6a＝4b＝3c，所以b＝eq\f(3,2)a，c＝2a.所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋〔2a〕2－〔\f(3,2)a〕2,2a×〔2a〕)＝eq\f(11,16).【答案】D3．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，那么A的取值范圍是()A．(0，eq\f(π,6)]B．[eq\f(π,6)，π]C．(0，eq\f(π,3)]D．[eq\f(π,3)，π)【解析】由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，那么cosA≥eq\f(1,2).因?yàn)?＜A＜π，所以0＜A≤eq\f(π,3).【答案】C4．(2013·梅州調(diào)研)△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，AC＝2，∠BAC＝60°，那么∠ACB＝()A．30°B．60°C．90°D．150°【解析】由S△＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC＝ABsin60°＝eq\f(\r(3),2)，得AB＝1，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝3，∴BC＝eq\r(3).由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴sin∠ACB＝eq\f(AB·sin∠BAC,BC)＝eq\f(sin60°,\r(3))＝eq\f(1,2)，又AB＜BC，∴∠ACB＜60°，∴∠ACB＝30°.【答案】A5．(2012·湖北高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，假設(shè)三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C，3b＝20acosA，那么sinA∶sinB∶sinC為()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4【解析】∵A>B>C，∴a>b>c.設(shè)a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acosA，得3b＝20(b＋1)×eq\f(b2＋〔b－1〕2－〔b＋1〕2,2b〔b－1〕).化簡(jiǎn)，得7b2－27b－40＝0.解得b＝5或b＝－eq\f(8,7)(舍去)，∴a＝6，c＝4.∴sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.【答案】D二、填空題6．(2012·北京高考)在△ABC中，假設(shè)a＝3，b＝eq\r(3)，∠A＝eq\f(π,3)，那么∠C的大小為_(kāi)_______．【解析】在△ABC中，由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(1,2).又∵a>b，∴∠B＝eq\f(π,6).∴∠C＝π－∠A－∠B＝eq\f(π,2).【答案】eq\f(π,2)7(2012·湖北高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.假設(shè)(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，那么角C＝________．【解析】由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，那么cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2).又因?yàn)榻荂為△ABC的內(nèi)角，所以C＝eq\f(2π,3).【答案】eq\f(2π,3)8．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，假設(shè)a2－c2＝b，且b＝3ccosA，那么b＝________．【解析】由余弦定理知b＝3ccosA＝3c×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴b2＝3(a2－c2)，又a2－c2＝b，∴b2＝3b，∴b＝3.【答案】3三、解答題9．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大?。?2)假設(shè)sinB·sinC＝sin2A，試判斷△ABC的形狀．【解】(1)由得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，又∠A是△ABC的內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0，即b＝c.又A＝eq\f(π,3)，∴△ABC是等邊三角形．10．(2012·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.A＝eq\f(π,4)，bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a.(1)求證：B－C＝eq\f(π,2)；(2)假設(shè)a＝eq\r(2)，求△ABC的面積．【證明】(1)由bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a，得sinBsin(eq\f(π,4)＋C)－sinCsin(eq\f(π,4)＋B)＝sinA，sinB(eq\f(\r(2),2)sinC＋eq\f(\r(2),2)cosC)－sinC(eq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB)＝eq\f(\r(2),2)，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.由于0<B<eq\f(3,4)π，且0＜C＜eq\f(3,4)π，從而B(niǎo)－C＝eq\f(π,2).(2)B＋C＝π－A＝eq\f(3π,4)，因此B＝eq\f(5π,8)，C＝eq\f(π,8).由a＝eq\r(2)，A＝eq\f(π,4)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝2sineq\f(5π,8)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝2sineq\f(π,8)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(2)sineq\f(5π,8)sineq\f(π,8)＝eq\r(2)coseq\f(π,8)sineq\f(π,8)＝eq\f(1,2).11．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，sinC＋cosC＝1－sineq\f(C,2).(1)求sinC的值；(2)假設(shè)a2＋b2＝4(a＋b)－8，求邊c的值．【解】(1)由得sinC＋sineq\f(C,2)＝1－cosC，∴sineq\f(C,2)(2coseq\f(C,2)＋1)＝2sin2eq\f(C,2).由sineq\f(C,2)≠0，得2coseq\f(C,2)＋1＝2sineq\f(C,2)，∴sineq\f(C,2)－coseq\f(C,2)＝eq\f(1,2).兩邊平方，得1－sinC＝eq\f(1,4)，∴sinC＝eq\f(3,4).(2)由sineq\f(C,2)－coseq\f(C,2)＝eq\f(1,2)＞0，得eq\f(π,4)＜eq\f(C,2)＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,2)＜C＜π，那么由sinC＝eq\f(3,4)得cosC＝－eq\f(\r(7),4).由a2＋b2＝4(a＋b)－8，得(a－2)2＋(b－2)2＝0，那么a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2