模型04 一線三等角模型（學生用）

PAGE1模型介紹模型介紹一線三等角：兩個三角形中相等的兩個角落在同一條直線上，另外兩條邊所構成的角與這兩個角相等，這三個相等的角落在同一直線上，故稱“一線三等角”如下圖所示，一線三等角包括一線三直角、一線三銳角、一線三鈍角類型一：一線三直角模型如圖，若∠1、∠2、∠3都為直角，則有△ACP∽△BPD．類型二：一線三銳角與一線三鈍角模型如圖，若∠1、∠2、∠3都為銳角，則有△ACP∽△BPD．證明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD如圖，若∠1、∠2、∠3都為鈍角，則有△ACP∽△BPD．（證明同銳角）R【解題關鍵】構造相似或全等三角形.例題例題精講考點一：一線三等角直角模型【例1】.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，則△BCD的面積為cm2．變式訓練【變式1-1】．如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7平方厘米和11平方厘米，則△CDE的面積等于平方厘米．【變式1-2】．如圖，一塊含45°的三角板的一個頂點A與矩形ABCD的頂點重合，直角頂點E落在邊BC上，另一頂點F恰好落在邊CD的中點處，若BC＝12，則AB的長為．【變式1-3】．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是（﹣2，1），點C的縱坐標是4，則B，C兩點的坐標分別是（）A．（，3），（﹣，4） B．（，3），（﹣，4） C．（，），（﹣，4） D．（，），（﹣，4）【變式1-4】．如圖，在平面直角坐標系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過A，B兩點．若點A的坐標為（n，1），則k的值為（）A． B． C． D．考點二：一線三等角銳角或鈍角模型【例2】．如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點F，AB＝9，BD＝3，則CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．4變式訓練【變式2-1】．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D在邊BC上，CD＝3BD，點E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面積為12，則△ACF與△BDE的面積之和為．【變式2-2】．如圖，在等邊△ABC中，AC＝9，點O在AC上，且AO＝3，點P是AB上一動點，連接OP，以O為圓心，OP長為半徑畫弧交BC于點D，連接PD，如果PO＝PD，那么AP的長是．【變式2-3】．如圖1，在正方形ABCD中，E是邊BC的中點，F是CD上一點，已知∠AEF＝90°．（1）求證：＝；（2）平行四邊形ABCD中，E是邊BC上一點，F是邊CD上一點，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．如圖2，若∠AFE＝45°，求的值．

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，則DE的長是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，，E為CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內點F的位置，連接AF，若，則CE＝（）A． B． C． D．3.如圖，已知l1∥l2∥lA．13B.617C．554．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點D、E、F分別為邊AC、AB、CB上的點，且△DEF為等邊三角形，若AD＝CD．則的值為（）A． B． C． D．5．如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝4，P是邊AB上一點，BP＝，D是邊BC上一點（點D不與端點重合），作∠PDQ＝60°，DQ交邊AC于點Q．若CQ＝a，滿足條件的點D有且只有一個，則a的值為（）A． B． C．2 D．36．△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內．若求五邊形DECHF的面積，則只需知道（）A．△ABC的面積 B．△BFG的面積 C．四邊形AFGH的周長 D．△BDE的面積7．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為AB邊上一點，點F在BC邊上，且BF＝1，將點E繞著點F順時針旋轉90°得到點G，連接DG，則DG的長的最小值為（）A．2 B．2 C．3 D．8．設O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝4x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y軸距離的最大值為（）A． B． C． D．19．如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，過CB的中點D作DE⊥AD，交AB于點E，則EB的長為．10．如圖，在平面直角坐標系中，點A（6，0），點B（0，2），點P是直線y＝﹣x﹣1上一點，且∠ABP＝45°，則點P的坐標為．11．已知反比例函數y＝，經過點E（3，4），現請你在反比例函數y＝上找出一點P，使∠POE＝45°，則此點P的坐標為．12．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E是BC邊上一點，△ADE是等邊三角形，若，＝．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．

14．如圖所示，邊長為2的等邊三角形ABC中，D點在邊BC上運動（不與B，C重合），點E在邊AB的延長線上，點F在邊AC的延長線上，AD＝DE＝DF．（1）若∠AED＝30°，則∠ADB＝°．（2）求證：△BED≌△CDF．（3）點D在BC邊上從B至C的運動過程中，△BED周長變化規(guī)律為．A．不變B．一直變小C．先變大后變小D．先變小后變大15．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經過點A，EF與AC交于M點．（1）求證：△ABE∽△ECM；（2）當線段BE為何值時，線段AM最短，最短是多少？（3）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．16．如圖①，正方形ABCD中，點A，B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發(fā)沿A→B→C→D→A勻速運動，同時動點Q以相同的速度在x軸正半軸上運動，當點P到達A點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．（1）當P點在邊AB上運動時點Q的橫坐標x（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；（3）在（1）中，設△OPQ的面積為S，求S與t的函數關系式并寫出自變量的取值范圍．（4）如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．