模型45 折疊變換模型（學(xué)生用）

PAGE1模型介紹模型介紹翻折變換（折疊問題）1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．例題精講例題精講考點(diǎn)一：三角形中的折疊問題【例1】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，點(diǎn)D是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)D作DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，將∠B沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)F處．當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，則折疊后所得到的四邊形AEDF的周長(zhǎng)為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，等邊△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，把△ABC折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，折痕與邊AB、AC分別交于點(diǎn)M、N，若AM＝2，AN＝3，那么邊BC長(zhǎng)為．【變式1-2】．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D為BC的中點(diǎn)，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，EF為折痕，則AF：CF＝（）A．2：1 B．3：2 C．5：3 D．7：5【變式1-3】．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝6，DC＝4，求AD的長(zhǎng)．小明同學(xué)利用翻折，巧妙地解答了此題，按小明的思路探究并解答下列問題：（1）分別以AB，AC所在直線為對(duì)稱軸，畫出△ABD和△ACD的對(duì)稱圖形，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，延長(zhǎng)EB和FC相交于點(diǎn)G，求證：四邊形AEGF是正方形；（2）設(shè)AD＝x，建立關(guān)于x的方程模型，求出AD的長(zhǎng)．

考點(diǎn)二：矩形中的折疊問題【例2】．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），連接OB，將△OAB沿直線OB翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)D的位置，則cos∠COD的值是______變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖（1）是一段長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF＝a，將紙帶沿EF折疊成圖（2），再沿BF折疊成圖（3），則圖（3）中的∠CFE的度數(shù)為（）A．180°﹣3a B．180°﹣2a C．90°﹣a D．90°+a【變式2-2】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為（）A． B．6 C． D．【變式2-3】．如圖，折疊矩形紙片ABCD，使B點(diǎn)落在AD上一點(diǎn)E處，折痕FG的兩端點(diǎn)分別在AB、BC上（含端點(diǎn)），且AB＝6，BC＝10．則AE的最大值是，最小值是．考點(diǎn)三：菱形中的折疊問題【例3】．如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)角線交點(diǎn)O處，折痕為EF，若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，∠B＝60°，那么EF＝cm．變式訓(xùn)練【變式3-1】．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E為AB的中點(diǎn)，將△AED沿DE翻折得到△GED，射線DG交BC于點(diǎn)F，若AD＝2，則BF＝．【變式3-2】．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且DE＝4，F(xiàn)是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，將△DEF沿直線EF折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)N處，當(dāng)點(diǎn)N在四邊形ABCD內(nèi)部（含邊界）時(shí)，DF的長(zhǎng)度的取值范圍是．考點(diǎn)四：正方形中的折疊問題【例4】．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B，C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把∠C沿直線EF折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處．當(dāng)△ADC′為等腰三角形時(shí)，F(xiàn)C的長(zhǎng)為．變式訓(xùn)練【變式4-1】．如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF，則下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE，其中正確的是__________.1．如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，AE恰好過BC邊中點(diǎn)，若AB＝3，BC＝6，則∠B的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，，E為CD邊上一點(diǎn)，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內(nèi)點(diǎn)F的位置，連接AF，若，則CE＝（）A． B． C． D．3．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，現(xiàn)將A、C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為EF，則圖形中重疊部分△AEF的面積為．4．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊得到△AEF，點(diǎn)H為CD上一點(diǎn)，將△CEH沿EH折疊得到△EHG，且F落在線段EG上，當(dāng)GF＝GH時(shí)，則BE的長(zhǎng)為．5．將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，BE、EG、FG為折痕，若頂點(diǎn)A、C、D都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)B、O、G在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上，則的值為．6．如圖，在邊長(zhǎng)為8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是邊AD的中點(diǎn)，N是AB上一點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A'MN，連接A'B，則A'B的取值范圍．7．如圖，將矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，且BE交AD于點(diǎn)F，若AB＝5，BC＝10．（1）求DF的長(zhǎng)；（2）求△DBF和△DEF的面積；（3）求△DBF中F點(diǎn)到BD邊上的距離．8．如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）求證：EG2＝AF?GF；（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的長(zhǎng)．9．如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OB＝OD，OC＝OA+AB，AD＝m，BC＝n，∠ABD+∠ADB＝∠ACB．（1）填空：∠BAD與∠ACB的數(shù)量關(guān)系為；（2）求的值；（3）將△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如圖2），連接BA′，與CD相交于點(diǎn)P．若CD＝，求PC的長(zhǎng)．10．如圖，將等腰直角三角形紙片ABC對(duì)折，折痕為CD．展平后，再將點(diǎn)B折疊在邊AC上（不與A、C重合），折痕為EF，點(diǎn)B在AC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，設(shè)CD與EM交于點(diǎn)P，連接PF．已知BC＝4．（1）若M為AC的中點(diǎn)，求CF的長(zhǎng)；（2）隨著點(diǎn)M在邊AC上取不同的位置，①△PFM的形狀是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；②求△PFM的周長(zhǎng)的取值范圍．11．已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB邊上的一點(diǎn)，將∠B沿著過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)B落在AC邊的點(diǎn)P處（不與點(diǎn)A，C重合），折痕交BC邊于點(diǎn)E．（1）特例感知如圖1，若∠C＝60°，D是AB的中點(diǎn)，求證：AP＝AC；（2）變式求異如圖2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，求AH和AP的長(zhǎng)；（3）化歸探究如圖3，若m＝10，AB＝12，且當(dāng)AD＝a時(shí)，存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．12．[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；[思考說理]（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求的值；[拓展延伸]（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，將△ABC沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM．①求線段AC的長(zhǎng)；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′M與CP交于點(diǎn)F，求的取值范圍．13．如圖，將邊長(zhǎng)為6的正三角形紙片ABC按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展平后，得折痕AD、BE（如圖①），點(diǎn)O為其交點(diǎn)．（1）探求AO與OD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，若P，N分別為BE，BC上的動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求BP的長(zhǎng)度；②如圖③，若點(diǎn)Q在線段BO上，BQ＝1，則QN+NP+PD的最小值＝．14．如圖1，將△ABC紙片沿中位線EH折疊，使點(diǎn)A對(duì)稱點(diǎn)D落在BC邊上，再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC的底邊上的高線EF，HG折疊，折疊后的三個(gè)三角形拼合形成一個(gè)矩形，類似地，對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼合成一個(gè)無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形．（1）將?ABCD紙片按圖2的方式折疊成一個(gè)疊合矩形AEFG，則操作形成的折痕分別是線段，；S矩形AEFG：S?ABCD＝．（2）?ABCD紙片還可以按圖3的方式折疊成一個(gè)疊合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的長(zhǎng)；（3）如圖4，四邊形ABCD紙片滿足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小明把該紙片折疊，得到疊合正方形，請(qǐng)你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出AD、BC的長(zhǎng)．15．如圖，矩形OABC的邊長(zhǎng)OA＝8，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D、E、F，且tan∠BOA＝．（1）求邊AB的長(zhǎng)；（2）求反比例函數(shù)的解析式及F點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折疊分別與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G，求線段OG的長(zhǎng)．16．已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP．設(shè)BP＝t．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP＝30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ＝m，試用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．17．將一個(gè)直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)O（0，0）．P是邊AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），沿著OP折疊該紙片，得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)A'在第一象限，且滿足A'B⊥OB時(shí)，求點(diǎn)A'的坐標(biāo)；（2）如圖②，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，求A'B的長(zhǎng)；（3）當(dāng)∠BPA'＝30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．18．將一個(gè)直角三角形紙片OAB放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B在第一象限，∠OA