3.4.1第2課時平面的法向量及其應(yīng)用課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

3.4.1第2課時新授課平面的法向量及其應(yīng)用1.能用向量語言表述平面.2.理解平面的法向量，并且會求平面的法向量.3.會應(yīng)用平面的法向量解決一些簡單的問題.如果一條直線l與一個平面α垂直，那么就把直線l的方向向量n叫作平面α的法向量，則n⊥α.知識點1：平面的法向量如圖，設(shè)點M是平面α內(nèi)給定的一點，向量n是平面α的一個法向量，那么對于平面α內(nèi)任意一點P，必有思考：如何用平面的法向量來描述平面內(nèi)任意一點的位置呢？①αlMPn反過來，由立體幾何知識可以證明：滿足①式的點P都在平面α內(nèi)，所以把①式稱為平面α的一個向量表示式.①注意：1.平面α的一個法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量.2.一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行.練一練1.若點A(-1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，若l⊥平面α，則平面α的一個法向量為()A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)A知識點2：平面的方程如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，若n=(A,B,C)，點M的坐標(biāo)為(x0,y0,z0)，則對于平面α內(nèi)任意一點P(x,y,z)，有①代入①式，得②即由此可見，平面α內(nèi)任意一點P的坐標(biāo)(x,y,z)都滿足方程②；反之，以滿足方程②的(x,y,z)為坐標(biāo)的任意一點也都在平面α內(nèi).所以方程②叫作平面α的方程.②練一練2.寫出經(jīng)過A(3,2,1)且與直線l的方向向量n＝(-1,3,4)垂直的平面α的方程.解：由題意知平面α的法向量為n＝(-1,3,4)，即x-3y-4z+7＝0.則-x＋3y+4z-7＝0，則-(x-3)+3(y-2)+4(z-1)＝0，例1:已知點A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(2,1,3)，求平面ABC的一個法向量的坐標(biāo).解：由已知可得設(shè)n=(x,y,z)是平面ABC的一個法向量，則不妨取x=1，得y=z=-1.∴平面ABC的一個法向量的坐標(biāo)為(1,-1,-1).即歸納總結(jié)求平面法向量的方法與步驟(4)所求出向量中的三個坐標(biāo)不是具體的值而是比例關(guān)系，設(shè)定一個坐標(biāo)為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個法向量.(2)設(shè)平面的法向量為n＝(x,y,z)；(1)求平面ABC的法向量時，要選取平面內(nèi)兩不共線向量，如(3)聯(lián)立方程組

并求解；例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.(1)在四邊形BCC'B'內(nèi)是否存在一點N，使得AN⊥平面A'BD？(2)求證：AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點.(1)解：以點A為原點，AB，AD，AA'所在直線分別為x軸、y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(0,2,0)，A'(0,0,3).設(shè)N(1,y,z)是四邊形BCC'B'內(nèi)一點，則例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.(1)在四邊形BCC'B'內(nèi)是否存在一點N，使得AN⊥平面A'BD？(2)求證：AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點.令得解得∴在四邊形BCC'B'內(nèi)存在一點

，使得AN⊥平面A'BD.(2)分析：要證明AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點，可以將直線AC'的方程與平面A'BD的方程聯(lián)立求得交點坐標(biāo)，再驗證其恰為線段AC'的三等分點；也可以先求出線段AC'三等分點的坐標(biāo)，再驗證其在平面A'BD內(nèi).例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.(1)在四邊形BCC'B'內(nèi)是否存在一點N，使得AN⊥平面A'BD？(2)求證：AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點.又B(1,0,0)，化簡，得(6,3,2)·(x-1,y,z)=0，即6x+3y+2z=6.①設(shè)點E為線段AC'的一個三等分點，且滿足(2)證明：由(1)可知

是平面A'BD的一個法向量；∴平面A'BD的方程為例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.(1)在四邊形BCC'B'內(nèi)是否存在一點N，使得AN⊥平面A'BD？(2)求證：AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點.由可知代入方程①檢驗可知，點E的坐標(biāo)滿足平面A'BD的方程①.說明：（2）中只展示了第二種證明方法，第一種證明方法請同學(xué)們課下完成.即點E的坐標(biāo)為∴AC'的三等分點E