2021新高考數(shù)學(xué)新課程一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第九章第3講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例

第3講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例[考綱解讀]1.會(huì)作兩個(gè)相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；根據(jù)最小二乘法求出回歸直線方程．(重點(diǎn))2.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用.[考向預(yù)測]從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)考查內(nèi)容．預(yù)測2021年將會(huì)考查：①回歸直線方程的判斷、求解及相關(guān)系數(shù)的意義，并用其解決實(shí)際問題；②獨(dú)立性檢驗(yàn)思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用．試題以解答題的形式呈現(xiàn)，難度為中等．此外，也可能出現(xiàn)在客觀題中，此時(shí)試題難度不大，屬中、低檔題型.1．相關(guān)關(guān)系與回歸方程(1)相關(guān)關(guān)系的分類①正相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從eq\o(□,\s\up3(01))左下角到eq\o(□,\s\up3(02))右上角的區(qū)域內(nèi)，如圖1；②負(fù)相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從eq\o(□,\s\up3(03))左上角到eq\o(□,\s\up3(04))右下角的區(qū)域內(nèi)，如圖2.(2)線性相關(guān)關(guān)系：從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在eq\o(□,\s\up3(05))一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做eq\o(□,\s\up3(06))回歸直線．(3)回歸方程①最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的eq\o(□,\s\up3(07))距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．②回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).其中，eq\o(b,\s\up6(^))是回歸方程的eq\o(□,\s\up3(08))斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是在y軸上的eq\o(□,\s\up3(09))截距，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do14(i＝1))xi，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do14(i＝1))yi，eq\o(□,\s\up3(10))(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))稱為樣本點(diǎn)的中心．說明：回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，這個(gè)結(jié)論既是檢驗(yàn)所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個(gè)依據(jù)．(4)樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，用它來衡量兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系．①當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量eq\o(□,\s\up3(11))正相關(guān)；②當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量eq\o(□,\s\up3(12))負(fù)相關(guān)；③r的絕對值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性eq\o(□,\s\up3(13))越強(qiáng)；r的絕對值接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)|r|>0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．2．殘差分析(1)殘差：對于樣本點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它們的隨機(jī)誤差為ei＝y(tǒng)i－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估計(jì)值為eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(b,\s\up6(^))xi－eq\o(a,\s\up6(^))，i＝1,2，…，n，eq\o(e,\s\up6(^))i稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi，yi)的殘差．(2)殘差平方和為eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2.(3)相關(guān)指數(shù)：R2＝1－eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\o(y,\s\up6(－))2).3．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的eq\o(□,\s\up3(01))不同類別，像這類變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類變量的eq\o(□,\s\up3(02))頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2＝eq\o(□,\s\up3(03))eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝eq\o(□,\s\up3(04))a＋b＋c＋d為樣本容量．(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量eq\o(□,\s\up3(05))K2來判斷“兩個(gè)分類變量eq\o(□,\s\up3(06))有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．1．概念辨析(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系．()(2)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生水平成正相關(guān)關(guān)系．()(3)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測價(jià)值．()(4)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測值越大．()(5)由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成績有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×2．小題熱身(1)設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3－5x，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)()A．y平均增加3個(gè)單位B．y平均減少5個(gè)單位C．y平均增加5個(gè)單位D．y平均減少3個(gè)單位答案B解析因?yàn)椋?是斜率的估計(jì)值，說明x每增加一個(gè)單位，y平均減少5個(gè)單位．故選B.(2)在下列各圖中，兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是()A．①②B．①③C．②④D．②③答案D解析①為函數(shù)關(guān)系；②顯然成正相關(guān)；③顯然成負(fù)相關(guān)；④沒有明顯相關(guān)性．(3)隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如表．非一線一線總計(jì)愿生452065不愿生132235總計(jì)5842100算得K2＝eq\f(100×45×22－20×132,58×42×35×65)≈9.616.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無關(guān)”答案C解析因?yàn)镵2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”．(4)已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.3x－1，則m＝________.x1234y0.11.8m4答案3.1解析由已知得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(1＋2＋3＋4)＝2.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)(0.1＋1.8＋m＋4)＝eq\f(1,4)×(5.9＋m)．因?yàn)?eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))在直線eq\o(y,\s\up6(^))＝1.3x－1上，所以eq\o(y,\s\up6(－))＝1.3×2.5－1＝2.25，所以eq\f(1,4)×(5.9＋m)＝2.25，解得m＝3.1.題型一相關(guān)關(guān)系的判斷1．下列兩變量中不存在相關(guān)關(guān)系的是()①人的身高與視力；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③某農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量；④某同學(xué)考試成績與復(fù)習(xí)時(shí)間的投入量；⑤勻速行駛的汽車的行駛距離與時(shí)間；⑥商品的銷售額與廣告費(fèi)．A．①②⑤B．①③⑥C．④⑤⑥D(zhuǎn)．②⑥答案A解析根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義知，①②⑤中兩個(gè)變量不存在相關(guān)關(guān)系．2．下列命題中正確的為()A．線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)B．線性相關(guān)系數(shù)r越小，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱C．殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果越好D．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好答案C解析線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故A，B錯(cuò)誤；殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)R2越大，越接近于1，擬合效果越好，故C正確，D錯(cuò)誤．3．對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3答案A解析易知題中圖①與圖③是正相關(guān)，圖②與圖④是負(fù)相關(guān)，且圖①與圖②中的樣本點(diǎn)集中分布在一條直線附近，則r2<r4<0<r3<r1.故選A.1.判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān)；r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng)．見舉例說明3.(3)線性回歸直線方程中：eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，正相關(guān)；eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)，負(fù)相關(guān).2.判斷擬合效果的兩個(gè)方法(1)殘差平方和越小，擬合效果越好．見舉例說明2.(2)相關(guān)指數(shù)R2越大，越接近于1，擬合效果越好.1.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A.－1B．0C.eq\f(1,2)D．1答案D解析所有點(diǎn)均在直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大即為1，故選D.2.四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得線性回歸方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是()A.①②B．②③C．③④D．①④答案D解析由回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))知當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，y與x正相關(guān)，當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)，y與x負(fù)相關(guān)，∴①④一定錯(cuò)誤.題型二回歸分析角度1線性回歸方程及應(yīng)用1.某汽車的使用年數(shù)x與所支出的維修總費(fèi)用y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：使用年數(shù)x/年12345維修總費(fèi)用y/萬元0.51.22.23.34.5根據(jù)上表可得y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.69，若該汽車維修總費(fèi)用超過10萬元就不再維修，直接報(bào)廢，據(jù)此模型預(yù)測該汽車最多可使用(不足1年按1年計(jì)算)()A.8年B．9年C．10年D．11年答案D解析由y關(guān)于x的線性回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.69過樣本點(diǎn)的中心(3,2.34)，得eq\o(b,\s\up6(^))＝1.01，即線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.01x－0.69，令eq\o(y,\s\up6(^))＝1.01x－0.69＝10，得x≈10.6，所以預(yù)測該汽車最多可使用11年．故選D.2.(2020·泉州模擬)某測試團(tuán)隊(duì)為了研究“飲酒”對“駕車安全”的影響，隨機(jī)選取100名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進(jìn)行“停車距離”測試，測試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”(駕駛員從看到意外情況到車子停下所需要的距離)，無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別列于下表.表1停車距離d(米)(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]頻數(shù)26ab82表2平均每毫升血液酒精含量x(毫克)1030507090平均停車距離y(米)3050607090已知表1數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計(jì)值為26，回答以下問題.(1)求a，b的值，并估計(jì)駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)；(2)根據(jù)最小二乘法，由表2的數(shù)據(jù)計(jì)算y關(guān)于x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)該測試團(tuán)隊(duì)認(rèn)為：若駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”y大于(1)中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的3倍，則認(rèn)定駕駛員是“醉駕”．請根據(jù)(2)中的回歸方程，預(yù)測當(dāng)每毫升血液酒精含量大于多少毫克時(shí)為“醉駕”？附：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)依題意，得eq\f(6,10)a＝50－26，解得a＝40.又a＋b＋36＝100，解得b＝24，故停車距離的平均數(shù)為15×eq\f(26,100)＋25×eq\f(40,100)＋35×eq\f(24,100)＋45×eq\f(8,100)＋55×eq\f(2,100)＝27.(2)依題意，可知eq\o(x,\s\up6(－))＝50，eq\o(y,\s\up6(－))＝60，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17800，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝102＋302＋502＋702＋902＝16500，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(17800－5×50×60,16500－5×502)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝60－0.7×50＝25，所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋25.(3)由(1)知當(dāng)y>81時(shí)，認(rèn)定駕駛員是“醉駕”.令eq\o(y,\s\up6(^))>81，得0.7x＋25>81，解得x>80，則當(dāng)每毫升血液酒精含量大于80毫克時(shí)認(rèn)定為“醉駕”.角度2非線性回歸模型的應(yīng)用3.(2019·莆田二模)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量xi(單位：億元)對年銷售額yi(單位：億元)的影響．該公司對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i＝1,2，…，12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如下的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.令ui＝x2，vi＝lnyi(i＝1,2，…，12)，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\o(u,\s\up6(－))eq\o(v,\s\up6(－))20667702004604.20eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,12,)(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))3125000215000.30814(1)設(shè){ui}和{yi}的相關(guān)系數(shù)為r1，{xi}和{vi}的相關(guān)系數(shù)為r2，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的模型；(2)①根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；②若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；參考數(shù)據(jù)：308＝4×77，eq\r(90)≈9.4868，e4.4998≈90.解(1)由題意，r1＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)ui－\o(u,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,12,)ui－\o(u,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,12,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(21500,\r(3125000×200))＝eq\f(21500,25000)＝eq\f(43,50)＝0.86，r2＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,12,)vi－\o(v,\s\up6(－))2))＝eq\f(14,\r(770×0.308))＝eq\f(14,77×0.2)＝eq\f(10,11)≈0.91，則|r1|<|r2|，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y＝eλx＋t的擬合程度更好.(2)①先建立v關(guān)于x的線性回歸方程，由y＝eλx＋t，得lny＝t＋λx，即v＝t＋λx；由于λ＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(14,770)≈0.018，t＝eq\o(v,\s\up6(－))－λeq\o(x,\s\up6(－))＝4.20－0.018×20＝3.84，所以v關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(v,\s\up6(^))＝0.02x＋3.84，所以lneq\o(y,\s\up6(^))＝0.02x＋3.84，則eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.02x＋3.84.②下一年銷售額y需達(dá)到90億元，即y＝90，代入eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.02x＋3.84，得90＝e0.02x＋3.84，又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.02x＋3.84，所以x≈eq\f(4.4998－3.84,0.02)＝32.99，所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元.1.利用線性回歸方程時(shí)的關(guān)注點(diǎn)(1)正確理解計(jì)算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算是求線性回歸方程的關(guān)鍵.(2)回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點(diǎn)中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．見舉例說明1.(3)在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程來估計(jì)和預(yù)測.2.非線性回歸方程的求法(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x，y)作出散點(diǎn)圖.(2)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).(3)作恰當(dāng)?shù)淖儞Q，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程.(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)變換，即可得非線性回歸方程．見舉例說明3.1.(2019·南寧二模)一汽車銷售公司對開業(yè)4年來某種型號(hào)的汽車“五一”優(yōu)惠金額與銷售量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究并做了記錄，得到如下資料.日期第1年第2年第3年第4年優(yōu)惠金額x(千元)10111312銷售量y(輛)22243127經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析(利用散點(diǎn)圖)可知x，y線性相關(guān).(1)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)若第5年優(yōu)惠金額為8.5千元，估計(jì)第5年的銷售量y(輛)的值.參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)由題意，得eq\o(x,\s\up6(－))＝11.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝26，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1211，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝534，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1211－4×11.5×26,534－4×11.52)＝eq\f(15,5)＝3，則eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝26－3×11.5＝－8.5.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝3x－8.5.(2)當(dāng)x＝8.5時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝17，∴第5年優(yōu)惠金額為8.5千元時(shí)，銷售量估計(jì)為17輛.2.對某地區(qū)兒童的身高與體重的一組數(shù)據(jù)，我們用兩種模型：①y＝bx＋a，②y＝cedx擬合，得到回歸方程分別為eq\o(y,\s\up6(^))(1)＝0.24x－8.81，eq\o(y,\s\up6(^))(2)＝1.70e0.022x，作殘差分析，如下表：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6810141518eq\o(e,\s\up6(^))(1)0.410.011.21－0.190.41eq\o(e,\s\up6(^))(2)－0.360.070.121.69－0.34－1.12(1)求表中空格內(nèi)的值；(2)根據(jù)殘差比較模型①②的擬合效果，決定選擇哪個(gè)模型；(3)若殘差大于1kg的樣本點(diǎn)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)剔除，剔除后對(2)所選擇的模型重新建立回歸方程．(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位)附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)根據(jù)殘差分析，把x＝80代入eq\o(y,\s\up6(^))(1)＝0.24x－8.81，得eq\o(y,\s\up6(^))(1)＝10.39.∵10－10.39＝－0.39，∴表中空格內(nèi)的值為－0.39.(2)模型①殘差的絕對值的和為0.41＋0.01＋0.39＋1.21＋0.19＋0.41＝2.62，模型②殘差的絕對值的和為0.36＋0.07＋0.12＋1.69＋0.34＋1.12＝3.7.∵2.62<3.7，∴模型①的擬合效果比較好，選擇模型①.(3)殘差大于1kg的樣本點(diǎn)被剔除后，剩余的數(shù)據(jù)如下表：身高x(cm)607080100110體重y(kg)68101518eq\o(e,\s\up6(^))(1)0.410.01－0.39－0.190.41則eq\o(x,\s\up6(－))＝84，eq\o(y,\s\up6(－))＝11.4，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝412，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝1720，由公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，得eq\o(b,\s\up6(^))≈0.24，eq\o(a,\s\up6(^))＝－8.76.得回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.24x－8.76.題型三獨(dú)立性檢驗(yàn)1.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表如下：YXy1y2總計(jì)x1a10a＋10x2c30c＋30總計(jì)6040100對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為()A.a＝45，c＝15 B．a(chǎn)＝40，c＝20C.a＝35，c＝25 D．a(chǎn)＝30，c＝30答案A解析根據(jù)2×2列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，當(dāng)eq\f(a,a＋10)與eq\f(c,c＋30)相差越大時(shí)，X與Y有關(guān)系的可能性越大，即a，c相差越大，eq\f(a,a＋10)與eq\f(c,c＋30)相差越大．故選A.2.(2019·南昌三模)某校高三文科(1)班共有學(xué)生45人，其中男生15人，女生30人．在一次地理考試后，對成績作了數(shù)據(jù)分析(滿分100分)，成績?yōu)?5分以上的同學(xué)稱為“地理之星”，得到了如下列聯(lián)表和條形圖：地理之星非地理之星合計(jì)男生女生合計(jì)如果從全班45人中任意抽取1人，抽到“地理之星”的概率為eq\f(1,3).(1)完成“地理之星”與性別的2×2列聯(lián)表，并回答是否有90%以上的把握認(rèn)為獲得“地理之星”與“性別”有關(guān)？(2)若已知此次考試中獲得“地理之星”的同學(xué)的成績平均值為90，方差為7.2，請你判斷這些同學(xué)中是否有得到滿分的同學(xué)，并說明理由．(得分均為整數(shù)分)參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：P(K2≥k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解(1)根據(jù)題意知“地理之星”總?cè)藬?shù)為45×eq\f(1,3)＝15，填寫列聯(lián)表如下：地理之星非地理之星合計(jì)男生7815女生82230合計(jì)153045根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算K2＝eq\f(45×7×22－8×82,15×30×15×30)＝1.8<2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為獲得“地理之星”與性別有關(guān).(2)沒有得滿分的同學(xué).記各個(gè)分值由高到低分別為x1，x2，…，x15；①若有2個(gè)以上的滿分，則s2＝eq\f(1,15)×[(100－90)2＋(100－90)2＋…＋(x15－90)2]>eq\f(40,3)>7.2，不符合題意.②若恰有1個(gè)滿分，為使方差最小，則其他分值需集中分布在平均數(shù)90的附近，且為保證平均值為90，則有10個(gè)得分為89，其余4個(gè)得分為90，此時(shí)方差取得最小值，∴seq\o\al(2,min)＝eq\f(1,15)×[(100－90)2＋4×(90－90)2＋10×(89－90)2]＝eq\f(22,3