專題6.1空間向量及其運(yùn)算（八個(gè)重難點(diǎn)突破）（原卷版）

專題6.1空間向量及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1空間向量的有關(guān)概念1．空間向量的定義及表示定義在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量長度或?？臻g向量的大小叫做空間向量的長度或模表示方法幾何表示法空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模符號(hào)表示法若向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則也可記作，其模記為或2.幾類特殊的空間向量名稱方向模表示法零向量任意0記為單位向量1或相反向量相反相等記為共線向量相同或相反或相等向量相同相等或知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算1.空間向量的加減運(yùn)算加法運(yùn)算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線為和圖形敘述減法運(yùn)算三角形法則語言敘述共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量圖形敘述2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義與向量的方向相同的長度是的長度的倍與向量的方向相反，其方向是任意的3.空間向量的運(yùn)算律交換律結(jié)合律，分配律知識(shí)點(diǎn)3共線向量與共面向量1.直線的方向向量定義：把與平行的非零向量稱為直線的方向向量．2．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義位置關(guān)系表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量與任意向量平行充要條件共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)使共面向量定理：若兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使對(duì)空間任一點(diǎn)O，空間中四點(diǎn)共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得對(duì)空間中任意一點(diǎn)，都有知識(shí)點(diǎn)4空間向量的夾角如圖，已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量的夾角，記作，夾角的范圍：，特別地，如果，那么向量互相垂直，記作知識(shí)點(diǎn)5空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即.2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律交換律分配律3．投影向量在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量．4．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)若，為非零向量，則（1）；（2）；（3），；（4）；（5）重難點(diǎn)1空間向量的有關(guān)概念【例1】下列命題中為真命題的是（

）A．向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【例2】在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【變式11】對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量，，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式12】給出下列命題：①空間向量就是空間中的一條有向線段；②在正方體中，必有；③是向量的必要不充分條件；④若空間向量滿足，，則．其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【變式13】如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．(1)單位向量共有多少個(gè)？(2)試寫出與相等的所有向量．(3)試寫出的相反向量．（1）（1）判斷有關(guān)向量的命題時(shí)，要抓住向量的兩個(gè)主要元素：大小和方向．兩者缺一不可，相互制約；（2）兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)未必相同，即起點(diǎn)和終點(diǎn)相同是兩個(gè)向量相等的充分不必要條件重難點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算【例3】已知四面體中，是的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【例4】如圖，平行六面體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，，若，則（

）A． B． C． D．【變式21】在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（

）A． B． C． D．【變式22】如圖，在長方體中，下列運(yùn)算結(jié)果化簡正確的是（

）A． B． C． D．【變式23】若空間中四點(diǎn)滿足，則（

）A． B．3 C． D．①①巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接；②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加法、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移方法獲得運(yùn)算結(jié)果．重難點(diǎn)3共線問題【例5】已知，，不共面，若，，且三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例6】如圖，在三棱柱中，為空間一點(diǎn)，且滿足則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上【變式31】設(shè)是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且A，B，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值．【變式32】已知三點(diǎn)共線，為空間任意一點(diǎn)，，則.【變式33】已知、、、、、、、、為空間的個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：．共線向量的充要條件：若共線向量的充要條件：若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使；若存在唯一實(shí)數(shù)，使，，則重難點(diǎn)4向量的共面問題【例7】若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【例8】已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【變式41】已知空間非零向量，則下列命題中正確的是（

）A．若共面，那么中至少存在一對(duì)向量共線B．若共面，那么存在一組實(shí)數(shù)對(duì)，使得C．若不共面，那么所在直線中至少存在兩條直線異面D．若不共面，那么所在直線中不可能存在兩條直線異面【變式42】若是空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式43】已知O，A，B，C為空間中不共面的四點(diǎn)，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則（

）A． B． C． D．利用向量方法證明四點(diǎn)共面的基本途徑：利用向量方法證明四點(diǎn)共面的基本途徑：對(duì)空間任意四點(diǎn)，可通過證明下列結(jié)論來證明四點(diǎn)共面：（1）.（2）對(duì)空間任意一點(diǎn).（3）對(duì)空間任意一點(diǎn).重難點(diǎn)5空間向量數(shù)量積的運(yùn)算【例9】正四面體的棱長為2，設(shè)，，，則.【例10】如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為，則（

）A． B．1 C． D．2【變式51】（多選）設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．【變式52】已知正四面體的棱長為2，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為．【變式53】如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是邊長為1的菱形，且，則（

）A． B．C． D．在幾何體中在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形,將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；其次利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或者特殊角.重難點(diǎn)6用數(shù)量積解決夾角問題【例11】已知空間向量，則（

）A． B． C． D．【例12】已知在空間四邊形中，，且，，則與所成的角是（

）A． B． C． D．【變式61】空間四邊形中，，，則的值是（

）A．0 B． C． D．【變式62】平行六面體，，，若，則.【變式63】已知是異面直線，，，且，則與所成的角為．（1）（1）由公式可得,所以求兩個(gè)向量的夾角可以先求解數(shù)量積及向量的模,再代入公式求解.（2）因?yàn)楫惷嬷本€的夾角為不大于的角,所以利用夾角公式求兩條異面直線的夾角時(shí),要注意重難點(diǎn)7用數(shù)量積求兩點(diǎn)的距離【例13】已知是的重心，是空間中的一點(diǎn)，滿足，，則（

）A． B． C． D．【例14】如圖所示，在平行四邊形中，，，將它沿對(duì)角線折起，使與成角，則間的距離等于（

）A． B．1 C．或2 D．1或【變式71】已知空間向量、、的模長分別為、、，且兩兩夾角均為，點(diǎn)為的重心，則．【變式72】如圖所示，在空間四邊形中，，，兩兩成角，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，試求，間的距離．【變式73】如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點(diǎn)．

(1)求；(2)求的長．利用空間向量的數(shù)量積與空間向量模的關(guān)系，常把空間兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為空間向量模的大小問題加以計(jì)算利用空間向量的數(shù)量積與空間向量模的關(guān)系，常把空間兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為空間向量模的大小問題加以計(jì)算重難點(diǎn)8證明垂直關(guān)系【例15】若為非零向量，，則與一定（

）A．共線 B．相交 C．垂直 D．不共面【例16】如圖，正方體的棱長是，和相交于點(diǎn)．(1)求；(2)判斷與是否垂直．【變式81】在正方體中，是上底面的中心，則與的位置關(guān)系是()A．重合 B．垂直C．平行 D．無法確定【變式82】已知不共面的三個(gè)單位向量兩兩之間的夾角均為，，．(1)求證：；(2)求．【變式83】已知正方形的邊長為2，為等邊三角形（如圖1所示）．沿著折起，點(diǎn)折起到點(diǎn)的位置，使得側(cè)面底面．是棱的中點(diǎn)（如圖2所示）．求證：．用向量法證明垂直關(guān)系的步驟用向量法證明垂直關(guān)系的步驟：（1）把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）用已知向量表示要證明向量；（3）結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0.1．已知，，，，則向量與之間的夾角為（

）A． B．C． D．以上都不對(duì)2．已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，N為CD中點(diǎn)，如圖所示，則（）A． B．C． D．3．已知是空間兩個(gè)不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面4．如圖，在長方形中，為中點(diǎn)，.以為折痕將四邊形折起，使，分別達(dá)到，，當(dāng)異面直線，成角為時(shí)，異面直線，成角余弦值為（

）A． B． C． D．5．（多選）下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有=B．“”是“共線”的充要條件C．若共線，則與所在直線平行D．對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面6．（多選）已知正方體的中心為，，則滿足的可以是（

）A． B． C． D．7．給出下列四個(gè)命題:①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；②若，滿足且，同向，則；③不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；④對(duì)于任意向量，必有.其中真命題的序號(hào)為.8．已知四