2021北京陳經(jīng)綸中學高一（下）期中數(shù)學（教師版）

2021北京陳經(jīng)綸中學高一（下）期中

數(shù)學

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求

的.

1、設向量a=（x+l,x），B=（2,l）且a-L》，則x的值是

32

A.一B.

23

23

C.一D.

32

2、如圖，。是/XABC的邊AB中點，則向量加=

^CA-^CB

A.BC+-BAB.

222

C.BC--BAD.-CA+-CB

222

3、在△ABC中，已知a=40,b=20x/2,A=45。，則角3等于

A.60°B.60?；?20。

C.30°D.30?；蛘?50。

4、某校從參加高一年級期末考試的學生中抽取60名學生的成績（均為整數(shù)）,其成績的頻率分布直方圖如圖所

示，由此估計此次考試成績的中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)分別是

A.73.3,75,72B.73.3,80,73

C.70,70,76D.70,75,75

5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐,以該四棱錐的高為邊長的正方形面

積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為

x/5-1V5-1

A.B.

42

V5+1V5+1

C.-----D.-----

42

6、設a,0為平面向量，則“存在實數(shù);l,使得。=勸”是“|a+M=|4+網(wǎng)”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.即不充分也不必要條件

7、從裝3個紅球和3個白球的口袋里任取3個球，那么互斥而不對立的兩個事件是

A.至少2個白球，都是紅球B.至少1個白球，至少1個紅球

C.至少2個白球，至多1個白球D.恰好1個白球，恰好2個紅球

8、根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，下列結論中正確的是

1)a=8,>=16A=30°,有一個解.

2)b=lS,c=20,B=60°,有兩個解

3)a=5,c=2,A=90°,無解

4)a=30,b=25,A=150°,有一解

A.(1)(2)B.(2)(4)

C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(4)

9、銳角△ABC中，角A的對邊分別是a,"。且G(acosB+8cosA)=2csin=2.則邊長。的取值范圍

是

A.(0,5B.(0,273)C.(6,2?D.(省,+00)

10.在ZiABC中，角A,8,C的對邊分別是a,仇c若20aBe+15AG5+12c通=0,則△A5C最小角的正弦值等

于

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.

11.某校共有教師300人，其中高級教師90人，中級教師150人，初級教師60人，為了了解教師的健康情況，抽取

一個容量為40的樣本，則用分層抽樣的方法抽取高級教師、中級教師的人數(shù)分別為，初級教師的人數(shù)

為.

12.對某高校高一年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)

服務得次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)做出了頻數(shù)與頻率得統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：

分組頻數(shù)頻率

[10,15)100.25

[15,20)24n

[20,25)mP

[25,30)20.05

合計M1

（1）表中M.P=,a=

（2）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，則至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在

區(qū)間［25,30）內(nèi)的概率

13.若向量匕滿足同=1,例=2,,一。|=2,RiJa*b—

14.若四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體，則其表面積的值可能是（只需寫出一個可能的

值）

15.已知點A（0,—1）,B（3,0）,C（l,2）,平面區(qū)域P是由所有滿足就:=/［通+〃前（2</1〈m,2<44”）的

點M組成的區(qū)域，若區(qū)域P的面積為16,則加+〃的最小值為

16.中國有悠久的金石文化，印信金石文化的代表作之一，印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期

的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，

半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，圖2是一個棱長為48的半正多面體，他的所有頂點都在同一個正方體的表面

上，且此正方體的棱長為1,則該正多面體共有個面，其棱長為.

圖1圖2

三、解答題：本大題共6個小題，共70分

17.(本題14分)己知向量a=(6,。，力=(0,—1),C=(l,0)

⑴若a_Lc,求Z的值；

(II)當々=1時，。一勸與c共線，求；I的值；

(III)若帆=60|,且"?與c的夾角為150。，求帆+2d.

18.(本題15分)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方

案，擬確定一個合理的月用水量標準x(噸)、一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分

按議價收費，為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100為居民每人的月均用水量(單位：噸)將數(shù)

據(jù)按照［0,0,5),［0,5,1),…，［4,4,5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

O.,4a0

s6

a2

8

o.svA4

0.511.522.533.544.5月均用水里（噸）

⑴求該直方圖中。的值;

(II)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；

(HI)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由.

19、(本題12分)已知△A5C同時滿足下列四個條件中的三個;

@4=一；QcosB=——；3a=7；4b=3,

33

⑴請指出這三個條件，并說明理由；

(H)求△ABC的面積.

20、(本題15分)空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，代表空氣污染越嚴重,

其分級如下表：

空氣質(zhì)量指數(shù)0~5051-100101-150151-200201-300>300

空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

現(xiàn)分別從甲、乙兩個城市12月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機抽取6天的數(shù)據(jù)，記錄如下:

甲486510413216679

乙806710815020562

⑴估計甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率

(II)分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，求這兩個數(shù)據(jù)對應的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率;

2

(III)記甲城市這6天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為50.從甲城市12月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中在隨機抽取一個記為

a,若a=99,與原有的6天的數(shù)據(jù)構成新樣本的方差記為；若a=169,與原有的6天數(shù)據(jù)構成新樣

本的方差記為S22,試比較S02,S,2,S22的大小.(結論不要求證明)

21、（本題14分）如圖，攝影愛好者在某公園A處，發(fā)現(xiàn)正前方8有一立柱，測得立柱頂端。的仰角和立柱底部

3的俯角均為30。；已知攝影愛好者的身高約為6米（將眼睛S距離地面的距離S4按6米處理）

（I）求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB；

（II）立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN,且MN繞其中點。在攝影愛好者與立柱所在的平面內(nèi)旋轉.在彩桿轉

動的任意時刻，攝影愛好者觀察彩桿的視角NMSN（設為8）是否存在最大值？若存在，請求出

NMSN取最大值時cos6的值；若不存在，請說明理由.

2021北京陳經(jīng)綸中學高一（下）期中數(shù)學

參考答案

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要

求的。

1.【分析】根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的坐標計算公式可得（x+1）+x=3x+2=0,解可得x的值，即可得答

案.

【解答】解：根據(jù)題意，向量Z=（x+1,x>b=（2,1）-

若aJ_b，則a*b=2（x+1）+x=3x+2=0,

解可得：x=-2；

3

故選：B.

【點評】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應用，涉及向量垂直的判斷方法，屬于基礎題.

2.【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則知，CD=CB+BD.由。是中點和相反向量的定義，對向量進行轉化.

【解答】解：由三角形法則和。是AABC的邊AB的中點得，

—*1—?

BD=

?..91.

CD=CB+BD=-BC-f^-BA-

故選：A.

【點評】本題主要考查了向量加法的三角形法則，結合圖形和題意找出向量間的聯(lián)系，再進行化簡.

3.【分析】由正弦定理可得sinB=%lA=*,由于4=40>6=20我，可得范圍0<B<45°,從而可求B的

值.

【解答】解：由正弦定理可得：sinB=/苴此=&叵叵速二=

a402

由于a=40>b=2g，可得0<B<45°,

可得：B=30°,

故選：C.

【點評】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角等知識的應用，屬于基本知識的考查.

4.【分析】由頻率分布直方圖，求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù).

【解答】解：由頻率分布直方圖知，小于70的有24人，大于80的有18人，

則在［70,80］之間18人，所以中位數(shù)為70+￥Q73.3；

眾數(shù)就是分布圖里最高的小矩形底邊的中點，即［70,80］的中點橫坐標，是75；

平均數(shù)為45X0.05+55X0.15+65X0.20+75X0.30+85X0.25+95X0.05=72.

故選：A.

【點評】本題考查了利用頻率分布直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)的應用問題，是基礎題.

5.【分析】先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關系，進而求解結論.

【解答】解：設正四棱錐的高為心底面邊長為小側面三角形底邊上的高為/?’,

h2^yahz

則依題意有：，

h2=hy2-(f)2

因此有h12-(―)2=L加=4(—―)2-2(—―)-1=0=2—=.5+1(負值5+1舍去)；

22aaa44

故選：C.

【點評】本題主要考查棱錐的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

6.【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應用，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【解答】解：若"la+bl=lal+lblw，

則平方得I才+2：?E+|%F=|￥+市2+2'?市,

即W?E=I曰?EI，

即a*b-Iallb|cos<a，b>=lal#lbl，

則cosVa，b>=l，

即<W，b>=0,即Z，E同向共線，則存在實數(shù)入，使得

反之當<a，b>=n時，滿足a=/b，但<a，b>=0不成立，

即“存在實數(shù)入，使得之=入E"是"la+bl=lal+lbl"的必要不充分條件，

故選：B.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合向量數(shù)量積的應用進行化簡是解決本題的關鍵.

7.【分析】分析出從裝有3個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球的所有不同情況，然后利用互斥事件和對立事

件的概念逐一核對四個選項即可得到答案.

【解答】解：從裝有3個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，

取球情況有：3個球都是紅球；3個球中1個紅球2個白球；

3個球中2個紅球1個白球；3個球都是白球.

選項A中“至少2個白球“，與”都是紅球“互斥而不對立，

選項8中“至少有一個白球”與“至少有一個紅球”的交事件是“有1白球2個紅球”或“有2白球1個紅

球”；

選項C中“至少有2個白球”與“至多1個白球”是對立事件；

選項。中“恰有一個白球”和“恰有兩個紅球”既不互斥也不對立.

故選：A.

【點評】本題考查了互斥事件和對立事件的概念，對于兩個事件而言，互斥不一定對立，對立必互斥，是基礎

的概念題.

8.【分析】由題意利用所給的條件逐一考查所給的三角形解的個數(shù)是否正確即可.

【解答】解：對（1）,若。=8,6=16,4=30°,由正弦定理可得一當

sin30sinB

解得sin8=l,則此時該三角形有一解，故（1）正確；

2

對（2）,若/>=18,c=20,B=60°,由正弦定理可得一

sin60sinC

解得sinC=^，根據(jù)大邊對大角可得C>B,則C可以為銳角，也可以為鈍角，故三角形有2解，故（2）正

確;

對（3）,若“=5,C=2,4=90°,由正弦定理可得.5。一_

sin90sinC

解得sinC=->則三角形只有一解，故（3）錯誤；

5

對（4）項，若a=30,匕=25,A=150°，由正弦定理可得——3。=25,

sinl50sinB

解得sinB=得，由A=150°則B為銳角，

可得三角形有唯一解，故（4）正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查正弦定理的應用，三角形解的個數(shù)的確定，屬于基礎題.

9.【分析】由已知結合正弦定理化簡原式可求sinB,進而可求8=三，根據(jù)正弦定理結合A的范圍，即可求出

3

【解答】解：VA/3（〃COS8+〃COS4）=2csin8,

^3（sinAcosB+sinBcosA）=2sinCsinB,

CA+B）=2sinCsinB,

A/^sinC=2sinCsin8,

.-.sinB=2Zl,

2

????B=——?；騎Bn=—2——冗

33

「△ABC為銳角三角形，

TTTT1

622

由正弦定理可得」一=」一，則gasinB=與,

sinBsinAsinAsinA

此時?Vb<2相

綜上所述人的取值范圍為（“，2心，

故選：C.

【點評】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔試題

10.【分析】依題意，可得（20a-156）AC+（12c-20a）AB=0，繼而得匕=2。，c=&a,。最小，角A最小,

33

年產(chǎn)+號）2十4

,2.2_2

bCa

利用余弦定理可得cosA=-從而可得sin4的值.

2bc2XTXV=?

...—?

【解答】解：；20“BC+15/?CA+12cAB=o>

：.20〃（AC-AB）+15/>CA+12cAB=（204-15人）AC+（12c-20a）AB=0>

?.?向量菽與向量標為不共線向量,

；.20a-150=0且12c-20a=0,

c^—a,a,b、c分別為△ABC中/A、NB、/C的對邊,

33

.'.a最小，

,4a、2,,5a、22

,222（〒）+（W）-a

.,b+Xc-a°J

??cosA=------------------=-------------:----------------4

2bc4a_x_5a_5

33

???sinA=1卜cos2A="|

故選：C.

【點評】本題考查平面向量基本定理與余定理的綜合應用，求得6=9小。=互〃，是關鍵，也是難點，考查運

33

算求解能力，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分。

11.【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)列出式子，由此能求出結果.

【解答】解：某校共有教師300人，其中高級教師90人，中級教師150人，初級教師60人，

為了了解教師的健康情況，抽取一個容量為40的樣本，

則用分層抽樣的方法抽取高級教師：40X——處——=12人,

90+150+60

150

抽取中級教師：40X=20A,

90+150+60

初級教師抽?。?0X60=8人.

90+150+60

故答案為：12,20；8.

【點評】本題考查抽取的人數(shù)的求法，考查分層抽樣的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

12.【分析】(1)由頻數(shù)，頻率和樣本容量的關系，可求M=40,故加值可求，進而求p.

(2)根據(jù)已知條件，結合列舉法和古典概型的概率公式，即可求解.

【解答】解：(1)???分組［10,15)內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25,

..?頻數(shù)之和為40,

10+25+〃z+2=40,

QQ

寸075,

是對應分組［15,20)的頻率與組距的商,

25

a=40X5=0。125,

(2)這個樣本參加社區(qū)服務的次數(shù)不低于20次的學生共有3+2=5人,

設在區(qū)間［20,25)內(nèi)的人為｛a,h,c］,在區(qū)間［25,30)內(nèi)的人為｛e,d｝,

則任選2人有(a,e),(a,d),(/?,e),(b,d),(c,e),(c,d),(a,b),(a,c),(b,

c),(e,d),共10種，

而兩人都在［25,30)內(nèi)共有(&d)共1種,

故至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間［25,30)內(nèi)的概率為1-工的.

1010

故答案為：(I)40,0,075,0.125.(2)—.

10

【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查數(shù)形結合的能力，屬于基礎題.

13.【分析】通過觀察條件，容易看出，需對等式Q-E1=2兩邊平方，便能出現(xiàn)2?E，并能求出它的值.

【解答】解：由條件得：|l-b|2=I2-21-b+b2=l-2a*b+4=4；

故答案為：1.

2

【點評】考查向量模的平方等于向量的平方，向量數(shù)量積的運算.

14.【分析】由題意畫出一種滿足條件的圖形，求解表面積即可得答案.

【解答】解：由四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體,

如圖，可取三條側棱長均為2,底面邊長BC=8O=2,C￡>=1.

其表面積為2x/x2X?+2x/xIX

后=2?亭

故其表面積的一個可能值為2?壽.

故答案為：

【點評】本題考查棱錐表面積的求法，是基礎的計算題.

15.【分析】設M(x,y),作出平面區(qū)域，根據(jù)面積得出關于〃7,〃的等式，利用基本不等式得出最值.

【解答】解：設M(x,y),族=(3,1),菽=(1,3).|扇|=|菽|=6.

COSR=a,.-.sin<TD正>=生

<T杷'.A>，=l型ABl.-匕l(fā)ACl5皿，AC5

4AM=2AB-AN=2AC)以AM,AN為鄰邊作平行四邊形AMEN,

4^AP=mAB-AQ=nAC-以AP,AQ為鄰邊作平行四邊形APGQ,

VAM=AAB+HAC(2-，2<nW")，

；?符合條件的M組成的區(qū)域是平行四邊形EFGH,如圖所示.

XA=16.

**,VTo(%2-2)*VTo(〃-2)即(m-2)(n-2)=2.

5

?；(〃L2)(〃-2)五加--4)2,出向切一爐,

44

解得m+n^4+2\[2,

故答案為：4+2A/2-

【點評】本題考查了平面向量的幾何意義，基本不等式，根據(jù)區(qū)域面積得出關于相，〃的關系是解題關鍵.

16.【分析】中間層是一個正八棱柱，有8個側面，上層是有8+1,個面，下層也有8+1個面，故共有26個面；半

正多面體的棱長為中間層正八棱柱的棱長加上兩個棱長的cos450=

【解答】解：該半正多面體共有8+8+8+2=26個面，設其棱長為x,貝ljx+零x+冬=1,解得

故答案為：26,A/2-1-

【點評】本題考查了球內(nèi)接多面體，屬中檔題.

三、解答題：本大題共6個小題，共70分

17.【分析】(I)利用向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出;

(II)利用向量共線的充要條件即可得出；

(III)利用數(shù)量積、向量模的計算公式即可.

【解答】解：(I)丁a_LC，?'?a?c=0，A/3*+V3k=0,解得k=-1；

(0)*.*k=lf,1)，又E=(O,-1)，1?a-入b=1-入).

???Z-入E與3共線，，愿X?-(l+入)=0,解得人=2；

(III)=|b|=7o+(-l)2=rA|m|=V3-

又7與3的夾角為150。，|c|=71+(V3)2=2-

?,?m*c=|mlIc|cosl50°=V^X2義cosl50°=-3,

lm+2c1=7?+4m*c+4c工=7(V3)2+4X(-3)+4X22="

【點評】熟練掌握向量垂直與數(shù)量積的關系、向量共線的充要條件、向量模的計算公式是解題的關鍵.

18.【分析】(I)根據(jù)各組的累積頻率為I,構造方程，可得。值；

(II)由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率，進而可估算出月均用水量不低于3噸的人數(shù)；

(III)由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率及月均用水量低于3噸的頻率，進而可得x值.

【解答】解：(I)V0.5X(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2。)=1,

**?i/=0.3；

(II)由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為：0.5X(0.12+0.08+0.04)=0.12,

由30X0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)約為3.6萬：

(III)由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率為：0.5X(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73<85%；

月均用水量低于3噸的頻率為：0.5X(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3)=0.88>85%；

則x=2.5+0.5X0~85~0-=2.9噸

0.3XQ.5

【點評】本題考查的知識點是頻率分布直方圖，用樣本估計總體，難度不大，屬于基礎題.

19.【分析】(I)判斷三角形的滿足的條件，推出結果即可；

(II)利用余弦定理求出c,利用面積公式求解aABC的面積.

【解答】(I)解：aABC同時滿足①，③，④.理由如下：

若aABC同時滿足①，②.

因為COSB=-2〈,，且%(0,IT),所以B>2jT.

323

所以A+B>TT,矛盾.

所以AABC只能同時滿足③，④.

因為所以故△ABC不滿足②.

故△ABC滿足①，③，④.

(II)解：因為672=Z?2+C2-2bccosA,

所以72=32+C2_2X3XcXy-

解得c=8,或c=-5(舍).

所以AABC的面積S=^-bcsinA=6V3'

【點評】本題考查三角形的解法，余弦定理的應用，考查分析問題解決問題的能力.

20.【分析】(I)根據(jù)甲城市這6天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有2天，即可得到答案；

(II)先確定總的基本事件數(shù)，再求出符合條件的基本事件數(shù)，利用概率的計算公式求解即可;

(III)直接比較即可.

【解答】解：(I)甲城市這6天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有2天，

則估計甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率為1.

3

(II)由題意，分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，

因為(48,80),(48,67),(48,108),(48,150),(48,205),(48,62),

(65,80),(65,67),(65,108),(65,150),(65,205),(65,62),

(104,80),(104,67),(104,108),(104,150),(104,205),(104,62),

(132,80),(132,67),(132,108)(132,150),(132,205),(132,62),

(166,80),(166,67),(166,108),(166,150),(166,205),(166,62),

(79,80),(79,67),(79,108),(79,150),(79,205),(79,62),

所以基本事件數(shù)一共有36種，

A表示“這兩個數(shù)據(jù)對應的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染”，

則A={(104,108),(104,150),(132,108),(132,150)},包含4個樣本點,

則P(A)臉1

9

222

(IIDSt<S0<S2-

【點評】本題考查了概率和統(tǒng)計的綜合應用，涉及了列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，解題的關鍵是

正確表示出總的基本事件數(shù).

21.【分析】(1)攝影者眼部記為點S,作SCJ_02于C,則有NCSB=30°,NASB=60°.SAfR,在RtA

SAB中，由三角函數(shù)的定義可求