第3章 正弦電路穩(wěn)態(tài)分析

電路分析基礎Ⅰ2012年8月本章研究線性動態(tài)電路在正弦電源激勵下的響應。線性時不變動態(tài)電路在角頻率為ω的正弦電壓源和電流源激勵下，隨著時間的增長，當暫態(tài)響應消失，只剩下正弦穩(wěn)態(tài)響應，電路中全部電壓電流都是角頻率為ω的正弦波時，稱電路處于正弦穩(wěn)態(tài)。滿足這類條件的動態(tài)電路(漸近穩(wěn)定電路)通常稱為正弦電路或正弦穩(wěn)態(tài)電路。第3章正弦電路分析正弦穩(wěn)態(tài)分析的重要性在于：正弦信號是最基本的信號，它容易產(chǎn)生、加工和傳輸；(2)很多實際電路都工作于正弦穩(wěn)態(tài)。例如電力系統(tǒng)的大多數(shù)電路。(3)用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)十分有效。(4)已知電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應，可以得到任意波形信號激勵下的響應。分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法——相量法。正弦量的基本特征及相量表示法KCL、KVL及元件伏安關系的相量形式阻抗串、并聯(lián)電路的分析計算正弦電路的有功功率和功率因數(shù)學習要點第3章正弦電路分析第3章正弦電路分析3.1正弦量的基本概念及其相量表示法3.2KCL、KVL及元件伏安關系的相量形式3.3阻抗與導納3.4

正弦交流電路的一般分析方法3.5

正弦電路的功率交流電的概念(P205-208)如果電流或電壓每經(jīng)過一定時間（T

）就重復變化一次，則此種電流

、電壓稱為周期性交流電流或電壓。如正弦波、方波、三角波、鋸齒波等。記做：u(t)=u(t+T)TutuTt3.1正弦量的基本概念如果在電路中電動勢的大小與方向均隨時間按正弦規(guī)律變化，由此產(chǎn)生的電流、電壓大小和方向也是正弦的，這樣的電路稱為正弦交流電路。

正弦交流電路ti表達式為：正弦交流電也要規(guī)定正方向,表示電壓或電流的瞬時方向交流電路進行計算時，首先要規(guī)定物理量的正方向，然后才能用數(shù)學表達式來描述。實際方向和假設方向一致實際方向和假設方向相反ti正弦交流電的正方向iuR用小寫字母表示交流瞬時值3.1.1正弦波的特征量

i ：

電流幅值（最大值）

：

角頻率（弧度/秒）：

初相角特征量:為正弦電流的最大值正弦波特征量之一

--幅度

在工程應用中常用有效值表示幅度。常用交流電表指示的電壓、電流讀數(shù)，就是被測物理量的有效值。標準電壓220V，也是指供電電壓的有效值。最大值電量名稱必須大寫,下標加m。如：Um、Im則有（均方根值）可得當

時，交流直流熱效應相當有效值電量必須大寫，如：U、I有效值概念交流電流i通過電阻R在一個周期T內(nèi)產(chǎn)生的熱量與一直流電流I通過同一電阻在同一時間T內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，則稱I的數(shù)值為i的有效值可得當

時，i=2Isin(t+)i可寫為：同理:u=Umsin(t+)2mUU=u=2Usin(t+)u可寫為：問題與討論

電器~220V最高耐壓

=300V

若購得一臺耐壓為

300V的電器，是否可用于

220V的線路上?

該用電器最高耐壓低于電源電壓的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V電源電壓

描述變化周期的幾種方法

1.周期

T：變化一周所需的時間

單位：秒，毫秒..正弦波特征量之二

--角頻率3.角頻率

ω：每秒變化的弧度

單位：弧度/秒2.頻率

f：每秒變化的次數(shù)

單位：赫茲，千赫茲

...iT正弦波特征量之三

--初相位：

t=0

時的相位，稱為初相位或初相角。說明：

給出了觀察正弦波的起點或參考點，常用于描述多個正弦波相互間的關系。i：正弦波的相位角或相位()()2121

jjjwjw

j-=+-+=tt

兩個同頻率正弦量間的相位差(初相差)

t>0=0<0兩種正弦信號的相位關系同相位落后于相位落后領先于相位領先相位差為0與同相位可以證明同頻率正弦波運算后，頻率不變。如：結論:

因角頻率（

）不變，所以以下討論同頻率正弦波時，

可不考慮，主要研究幅度與初相位的變化。幅度、相位變化頻率不變例幅度：已知：頻率：初相位：A21

jj

j-=90

-（-90

）=180

=()()2211

sin

sinw90

w-=+

=tIitIimm90

如果相位差為+180

或-180,稱為兩波形反相例

試求正弦量的振幅Fm、初相

與頻率f

。解：將正弦量表達式化為基本形式：所以Fm=10，

=5/6rad,

=100rad/s,f=

/2=50Hz例3.1.2正弦波的相量表示方法（P208-211）

瞬時值表達式

相量必須小寫前兩種不便于運算，重點介紹相量表示法。

波形圖i正弦波的表示方法：重點相量法是求解正弦穩(wěn)態(tài)電路的簡單方法。

概念

：一個正弦量的瞬時值可以用一個旋轉矢量在縱軸上的投影值來表示。正弦波的相量表示法矢量長度

=

矢量與橫軸夾角

=

初相位ω矢量以角速度

按逆時針方向旋轉ω

像這樣一個能表示正弦量有效值及初相的復數(shù)就叫做正弦量的相量。相量是一個復數(shù)，它表示一個正弦量，所以在符號字母上加上一點，以與一般復數(shù)相區(qū)別。特別注意，相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等號表示相等的關系，只能用箭頭符號表示相對應的關系：可見，一個按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，可以用一個相量(復常數(shù))來表示。正弦量相量有效值1.描述正弦量的有向線段稱為相量

(phasor)。若其幅度用最大值表示，則用符號：最大值相量的書寫方式2.在實際應用中，幅度更多采用有效值，則用符號：mUmIUI

3.相量符號U、I

包含幅度與相位信息。mUU或一般地：可以任意選用振幅相量或有效值相量來表示同一個正弦量；但選用有效值相量更為普遍些。在沒有特指的情況下，指的是有效值相量。相量：用復平面(二維空間)中的復常數(shù)表示正弦量的振幅或有效值、初相。以正弦電壓為例：相量圖：在復平面上可用一個矢量表示相量。為了形象描述各個相量(表示正弦量)之間的相位關系，把一些相量畫在同一張復平面內(nèi)。這樣，把相量在復平面上表示出來構成的圖稱為相量圖。參考相量：假設為零相位的相量。畫幾個同頻率正弦量的相量圖時，可選擇某一相量作為參考相量先畫出，再根據(jù)其它正弦量與參考正弦量的相位差畫出其它相量。參考相量的位置可根據(jù)需要，任意選擇。正弦波的相量表示法舉例例1：將u1、u2

用相量圖表示

相位：幅度：相量大小設：U1U2相位哪一個領先？哪一個落后？U2U1領先于同頻率正弦波的相量畫在一起，構成相量圖。例2：同頻率正弦波相加--平行四邊形法則U2U1Uu=u1+u2=()2221

sin2

jw+==tUu()11

sin2jw+tUu()

sin2jw+tU21UUU+=U2U1U–

=

=180o–

用余弦定理求U：U2=U12+U22–2U1U2cos

U2U1U

用正弦定理求

角：sin

UU2sin

==

1+

()

sin2jw+tUu=新問題提出：平行四邊形法則可以用于相量運算，但不方便。故引入相量的復數(shù)運算法。相量

復數(shù)表示法復數(shù)運算相量的復數(shù)表示（P202-205）將相量放到復平面上，可如下表示：Uab+1UjjsincosjUUjbaU+=+=a、b分別為U在實軸和虛軸上的投影歐拉公式jDTUj=eUj代數(shù)式

指數(shù)式

極坐標形式

jj+=+=jUjbaU)sin(cosab+1U設a、b為正實數(shù)jjeUjbaU=+=在第一象限在第四象限jjeUjbaU=-=jjeUjbaU=+-=在第二象限jjeUjbaU=--=在第三象限在一、二象限，一般取值：180°0°在三、四象限，一般取值：0°-180°+1U1

1=60°

2=120°U2U3

3=-120°計算相量的相位角時，要注意所在象限。如：43jU--=43jU+-=43jU-=43jU+=例：相量的復數(shù)運算1.復數(shù)加、減運算222111jbaUjbaU+=+=設：jjUebbjaaUUU=±+±=±=)()(212121則：2.復數(shù)乘、除法運算)(212121jj+==jeAAAAA乘法：212211jjjjeAAeAA==設：()212121jj-=jeAAAA除法：復數(shù)符號法應用舉例例1:已知瞬時值，求相量。已知:

求：

i

、u

的相量解：A506.86301003024.141jI+=D=D=ooV5.190110602206021.311jU-=-D=-D=oo求：例2：已知相量，求瞬時值。解：已知兩個頻率都為

1000Hz的正弦電流其相量形式為：A10A601003021oojeII=-D=例題：P205

8-1P2108-2作業(yè)：P217

8-1、8-2、8-3、8-4、8-5波形圖瞬時值相量圖復數(shù)符號法小結：正弦波的四種表示法

TijjDT=+=UeUjbaUjUI符號說明瞬時值

---小寫u、i有效值

---大寫U、I復數(shù)、相量

---大寫

+“.”U最大值

---大寫+下標一.

電阻電路P211-212、P233-234

uiR根據(jù)

歐姆定律

設則3.1.3單一參數(shù)的正弦交流電路tItRURuitUuwwwsin2sin2sin2====1.頻率相同2.相位相同3.

有效值關系：電阻電路中電流、電壓的關系4.

相量關系o0D=UURIU=UI5.相量圖o0D=IIo0D=UUo0D=IRRI=電阻電路中的功率P233-234

uiR1.瞬時功率

p：瞬時電壓與瞬時電流的乘積小寫=2UIsin2t2.（耗能元件）結論：1.隨時間變化ωtuipωt電阻的瞬時功率波形圖p=2UIsin2t2.平均功率（有功功率）P：一個周期內(nèi)的平均值

大寫

uiRP=UIU=IR=I2R=U2/R二.電感電路P213

基本關系式：設cos2==tLIdtdiLuww則iuL)90sin(2o+=tUw)90sin(2o+=tIwXL電感電路中電流、電壓的關系

1.頻率相同

2.相位相差

90°

（u

領先

i

90

°）)90sin(2o+=tUuwiu設：其中：

U=IXL，XL=

L3.有效值感抗（Ω）定義：4.相量關系o0D=II設：oo9090D=D=IUUXLDo0=IjXL或

I=U/jXL5.相量圖o0D=IIo90D=UUU=IjXL

I=U/jXL復數(shù)符號：有效值：

I=U/XLUI電感電路中復數(shù)形式的歐姆定律其中含有幅度和相位信息()LXjIU=電感電路中的功率P2341.瞬時功率

p

：iuL儲存能量P<0釋放能量+P>0P<0可逆的能量轉換過程uiuiuiui+PP>0uiiuL電壓電流實際方向p為正弦波，頻率加倍

2.平均功率

P（有功功率）結論：純電感不消耗能量，只和電源進行能量交換（能量的吞吐）3.無功功率QQ

的單位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定義：電感瞬時功率所能達到的最大值。用以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模?；娟P系式:設：三、電容電路P213-216uiC則：

1.頻率相同2.相位相差90°

（i

領先u90°

）電容電路中電流、電壓的關系iu3.有效值或容抗（Ω）定義：I則：

4.相量關系設：則：電容電路中復數(shù)形式的歐姆定律其中含有幅度和相位信息領先！電容電路中的功率P234ui1.瞬時功率p充電p放電放電P<0釋放能量充電P>0儲存能量uiuiuiuiiuωt

2.平均功率P瞬時功率達到的最大值（吞吐規(guī)模）3.無功功率Q（電容性無功功率取負值）單位：var，乏1.單一參數(shù)電路中的基本關系電路參數(shù)基本關系復阻抗L復阻抗電路參數(shù)基本關系C電路參數(shù)R基本關系復阻抗小結在正弦交流電路中，若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復數(shù)阻抗（)表示，則復數(shù)形式的歐姆定律和直流電路中的形式相似。3.1.4單一參數(shù)電路中復數(shù)形式的歐姆定律

電阻電路電感電路電容電路復數(shù)形式的歐姆定律單一參數(shù)正弦交流電路的分析計算小結電路參數(shù)電路圖（正方向）復數(shù)阻抗電壓、電流關系瞬時值有效值相量圖相量式功率有功功率無功功率Riu設則u、i

同相0LiuCiu設則設則u領先i90°u落后i90°00基本關系電路中全部電流都具有同一頻率ω，則可用振幅相量或有效值相量表示：KCL:3.2KCL、KVL的相量形式P211-212相量形式的KCL定律：對于具有相同頻率的正弦電路中的任一節(jié)點，流出該節(jié)點的全部支路電流相量的代數(shù)和等于零。1流出節(jié)點的電流取“+”號，流入節(jié)點的電流取“-”號。2流出任一節(jié)點的全部支路電流振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零。即,一般情況下:注意：例5

已知試求電流i(t)及其有效值相量。解：根據(jù)圖(a)電路的時域模型，得圖(b)所示的相量模型——將時域模型中各電流符號用相應的相量符號表示。ii1i2(a)iS(b)列圖(b)相量模型中節(jié)點1的KCL方程，由此可得則：相量圖如右圖所示，用來檢驗復數(shù)計算的結果是否基本正確。有效值相量íí2í1+1jKVL:相量形式的KVL定律：對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數(shù)和等于零。相量形式為：1與回路繞行方向相同的電壓取”+”號，相反的電壓取”-”號。2沿任一回路全部支路電壓振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零，即一般來說注意例6

求uS(t)和相應的相量，并畫出相量圖。已知

解：根據(jù)電路的時域模型，畫出右圖相量模型,并計算出電壓相量。+u1--u3++u2-+uS-+--++

-+

-圖(b)，以順時針為繞行方向，列出的相量形式KVL方程由相量得時間表達式各相量的關系如右圖+1j例7

圖示電路，已知求:u1(t),u2(t),u(t)及有效值相量。解：相量模型如圖(b)，根據(jù)相量形式的KCL求電流相量根據(jù)相量形式的VCR，得：根據(jù)相量形式的KVL，得到時域表達式相量圖如圖(c)所示。(串聯(lián)電路選取電流為參考相量)例8

電路如圖(a)所示,已知解:相量模型如圖(b),電壓相量根據(jù)RLC元件相量形式的VCR方程求電流。求：

i1(t),i2(t),i(t)及其有效值相量。相量形式的KCL，得到時域表達式：相量圖如圖(c)所示。(并聯(lián)電路選取電壓為參考相量)總結：電阻、電感和電容元件上電壓和電流的相量關系一.電阻相量形式：uR(t)i(t)R+-有效值關系：UR=RI相位關系：u,i同相相量模型R+-相量關系時域頻域j

L相量模型+-有效值關系

U=wLI相位關系u超前

i90°相量圖二.電感i(t)u

(t)L+-時域模型

tu,iu

i0波形圖感抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力；(2)感抗和頻率成正比。wXLXL=U/I=L=2fL，單位:歐感抗U=wLI(3)

由于感抗的存在使電流落后電壓。錯誤的寫法時域頻域有效值關系

I=wCU相位關系i超前u90°相量圖

tu,iu

i0波形圖二.電容時域模型i

(t)u(t)C+-相量模型+-容抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力；(2)容抗的絕對值和頻率成反比。容抗I=wCU(3)

由于容抗的存在使電流領先電壓。錯誤的寫法w電路定律的相量形式和電路的相量模型一.基爾霍夫定律的相量形式二.電路元件的相量關系三.電路的相量模型(phasormodel)時域列寫微分方程相量形式代數(shù)方程LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCR+-時域電路相量模型相量模型：電壓、電流用相量；元件用復數(shù)阻抗或?qū)Ъ{。一、R、L、C元件VCR的相量關系如下：設電流、電壓的參考方向關聯(lián)，由

3.3

阻抗與導納P220-226電阻容抗(與

成反比)感抗(成正比)

R、L、C元件電壓與電流相量間的關系類似歐姆定律，電壓與電流相量之比是一個與時間無關的量(單位：

)阻抗：可得歐姆定律的相量形式：一般無源二端網(wǎng)絡N0導納：顯然：N0+-G、C、L元件的導納以下G、C、L元件的導納是一個與時間無關的量，它是一個復數(shù)。阻抗是復數(shù)，實部R稱為電阻分量，虛部X稱為電抗分量，

Z=

u-

i稱為阻抗角，阻抗的模

|Z|=U/I一般情況：RX|Z|

Z阻抗三角形：當X>0時，

Z>0，端口電壓超前電流，網(wǎng)絡呈感性，電抗元件可等效為一個電感；當X<0時，

Z<0，端口電流超前電壓，網(wǎng)絡呈容性，電抗元件可等效為一個電容；當X=0時，

Z=0，端口電壓與電流同相，網(wǎng)絡呈電阻性，可等效為一個電阻。實部G稱為電導分量，虛部B稱為電納分量，導納角

Y=

i-

u=-

Z。GB|Y|

Y導納三角形：當B>0時，

Y>0，端口電流超前電壓，網(wǎng)絡呈容性，電納元件可等效為一個電容；當B<0時，

Y<0，端口電壓超前電流，網(wǎng)絡呈感性，電納元件可等效為一個電感；當B=0時，

Y=0，端口電壓與電流同相，網(wǎng)絡呈電阻性，可等效為一個電阻。無源網(wǎng)絡相量模型有兩種等效電路，一種是根據(jù)阻抗Z=R+jX得到的電阻R與電抗jX串聯(lián)電路，如圖(c)；另一種是根據(jù)導納Y=G+jB得到的電導G與電納jB的并聯(lián)，如圖(e)。且，一般情況下均為

的函數(shù)；阻抗角或?qū)Ъ{角在一、四象限內(nèi)。由于在一般情況下，注意：n個阻抗串聯(lián)，等效阻抗為：電流與端口電壓相量的關系為阻抗串聯(lián)和并聯(lián)等效1、阻抗串聯(lián)第k個阻抗上的電壓與端口電壓相量的關系為稱為n個阻抗串聯(lián)時的分壓公式。2、導納并聯(lián)n個導納并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡，就端口特性來說，等效于一個導納，其等效導納值等于各并聯(lián)導納之和，即電壓與其端口電流相量的關系為第k個導納中的電流與端口電流相量的關系為這是導納并聯(lián)時的分流公式。例9求圖(a)網(wǎng)絡在

=1rad/s和

=2rad/s時的等效阻抗和等效電路。解：

=1rad/s時的相量模型如圖(b)所示，等效阻抗.L=1HR=1

C=0.5Fab(a)等效電路如圖(c)所示同理，

=2rad/s時的相量模型如圖(b)所示，求得等效阻抗為等效電路如圖(e)，相應的時域等效電路為一個0.5Ω的電阻與1/3F電容的串聯(lián)。例10試求等效阻抗和相應的等效電路。解：相量模型如圖(b)。設在端口加電流源，用相量形式KVL方程求電壓相量等效阻抗為其等效電路如圖(c)所示。3分析RLC串聯(lián)電路相量模型如圖(b)所示。等效阻抗其中：當X=XL-XC>0時，

Z>0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為R串聯(lián)電感；當X=XL-XC<0時，

Z<0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為R串聯(lián)電容；

當X=XL-XC=0時，

Z=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為R。電壓三角形如下：感性XL>XC容性XL<XC

Z

Z例11u(t)=10sin2tV。試求i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。

解：相量模型如圖(b)所示。等效阻抗相量電流RLC元件上的電壓相量時間表達式

各電壓電流的相量圖如圖(c)所示。端口電壓u(t)的相位超前于端口電流相位i(t)45°，該RLC串聯(lián)網(wǎng)絡的端口特性等效于一個電阻與電感的串聯(lián)，即具有電感性。4分析GCL并聯(lián)電路相量模型如圖(b)所示。等效導納當B=BC-BL>0時，

Y>0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為G并聯(lián)電容；當B=BC-BL<0時，

Y<0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為G并聯(lián)電感；當B=BC-BL=0時，

Y=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為G

。電流三角形如下：容性BC>BL感性BC<BL

Y

Y例12求:u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。已知:解相量模型如圖(b)。等效導納：求相量電壓：電流相量時間表達式相量圖如圖(c)所示。從中看出各電壓電流的相量關系，例如端口電流的相位超前于端口電壓相位36.9°，RLC并聯(lián)單口網(wǎng)絡的端口特性等效于一個電阻與電容的并聯(lián)，該單口網(wǎng)絡具有電容性作業(yè)：P2439-1、9-3例題：P2249-1、9-23.4正弦交流電路的一般分析方法

P227-233將正弦交流電路中的電壓、電流用相量表示，元件參數(shù)用阻抗來代替。運用基爾霍夫定律的相量形式和元件歐姆定律的相量形式來求解正弦交流電路的方法稱為相量法。運用相量法分析正弦交流電路時，直流電路中的結論、定理和分析方法同樣適用于正弦交流電路。1、據(jù)原電路圖畫出相量模型圖（電路結構不變）2、根據(jù)相量模型列出相量方程式或畫相量圖一般正弦交流電路的解題步驟3、用復數(shù)符號法或相量圖求解4、將結果變換成要求的形式在正弦交流電路中，若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復數(shù)阻抗表示，則直流電路中介紹的基本定律、公式、分析方法都能用。具體步驟如下：例1下圖中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A、UO的讀數(shù)解題方法有兩種：1.利用復數(shù)進行相量運算2.利用相量圖求結果AAB

C25

UOC1解法1:利用復數(shù)進行相量運算已知：I1=10A、

UAB=100V，則：A讀數(shù)為10安

求：A、UO的讀數(shù)即：設：為參考相量，AAB

C25

UOC1UO讀數(shù)為141伏

求：A、UO的讀數(shù)已知：I1=10A、

UAB=100V，AAB

C25

UOC1例2已知：R1、R2、L、C求：各支路電流的大小LCu將電路中的電壓電流都用相量表示，并用復數(shù)表示相量；電阻電感電容都用復數(shù)阻抗表示相量模型原始電路LCu解:節(jié)點電位法已知參數(shù)：節(jié)點方程A由節(jié)