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吉林省吉林市吉林地區(qū)普通高中友好學(xué)校聯(lián)合體第三十一屆2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知圓的圓心到直線的距離為,則圓與圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.內(nèi)切C.外切 D.外離2.已知雙曲線方程為,過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則符合題意的直線的條數(shù)共有()A.4條 B.3條C.2條 D.1條3.將6位志愿者分成4組,其中兩個(gè)組各2人,另兩個(gè)組各1人,分赴廣交會(huì)的四個(gè)不同地方服務(wù),不同的分配方案有()種A.· B.·C. D.4.、是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,過(guò)作的角平分線的垂線,垂足為,則的長(zhǎng)為A.1 B.2C.3 D.45.在棱長(zhǎng)為2的正方體中,為線段的中點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離為()A. B.C. D.6.曲線:在點(diǎn)處的切線方程為A. B.C. D.7.設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,若,則的值為()A.-5 B.-3C.1 D.78.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù),,當(dāng)時(shí),有成立,則不等式的解集是()A. B.C. D.9.如圖,在三棱錐中,點(diǎn)E在上,滿足,點(diǎn)F為的中點(diǎn),記分別為,則()A. B.C. D.10.若兩個(gè)不同平面,的法向量分別為,,則()A.,相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確11.下列拋物線中,以點(diǎn)為焦點(diǎn)的是()A. B.C. D.12.已知橢圓C的焦點(diǎn)為,過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若,,則C的方程為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則最小值為_(kāi)____14.已知滿足約束條件,則的最小值為_(kāi)__________15.下圖是個(gè)幾何體的展開(kāi)圖,圖①是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組成;圖②是由四個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成;圖③是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組成;圖④是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成.若幾何體能夠穿過(guò)直徑為的圓,則該幾何體的展開(kāi)圖可以是______(填所有正確結(jié)論的序號(hào)).16.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為_(kāi)_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)公差不為零的等差數(shù)列中,已知其前n項(xiàng)和為,若,且成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng);(2)當(dāng)時(shí),求數(shù)列的前n和18.(12分)如圖,三棱柱中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1,(1)設(shè),,,用向量表示,并求出的長(zhǎng)度;(2)求異面直線與所成角的余弦值19.(12分)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),直線BM與直線BN的斜率之積為,證明直線l過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)20.(12分)已知函數(shù)的圖像在處的切線斜率為,且時(shí),有極值.(1)求的解析式;(2)求在上的最大值和最小值.21.(12分)已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上,直線與交于,兩點(diǎn)(1)求橢圓的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo);(2)若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求的取值范圍22.(10分)已知函數(shù)f(x)=x﹣lnx(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出兩圓的圓心與半徑,根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定即可求解.【詳解】已知圓的圓心到直線的距離,即,解得或,因?yàn)?所以,圓的圓心的坐標(biāo)為,半徑,將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,其圓心的坐標(biāo)為,半徑,圓心距,兩圓內(nèi)切,故選:B2、A【解析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì),結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:雙曲線的漸近線方程為,右頂點(diǎn)為.①直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn);②過(guò)點(diǎn)平行于漸近線時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn);③設(shè)過(guò)的切線方程為與雙曲線聯(lián)立,可得,由,即,解得,直線的條數(shù)為1.綜上可得,直線的條數(shù)為4.故選:A,.3、B【解析】先按要求分為四組,再四個(gè)不同地方,四個(gè)組進(jìn)行全排列.【詳解】?jī)蓚€(gè)組各2人,兩個(gè)組各1人,屬于部分平均分組,要除以平均分組的組數(shù)的全排列,故分組方案有種,再將分得的4組,分配到四個(gè)不同地方服務(wù),則不同的分配方案有種.故選:B4、A【解析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于N,則選:A.【點(diǎn)睛】涉及兩焦點(diǎn)問(wèn)題,往往利用橢圓定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化研究,而角平分線性質(zhì)可轉(zhuǎn)化到焦半徑問(wèn)題,兩者切入點(diǎn)為橢圓定義.5、D【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì),在直角△中應(yīng)用等面積法求到直線的距離.【詳解】由正方體的性質(zhì):面,又面,故,直角△中,若到上的高為,∴,而,,,∴.故選:D.6、A【解析】因?yàn)?,所以曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率為,所以切線方程為,即,選A7、C【解析】根據(jù),可知向量建立方程求解即可.【詳解】由題意根據(jù),可知向量,則有,解得.故選:C8、A【解析】構(gòu)造函數(shù),分析該函數(shù)的定義域與奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù),從而可知該函數(shù)在上為減函數(shù),綜合可得出原不等式的解集.【詳解】令,則函數(shù)的定義域?yàn)?,且,則函數(shù)為偶函數(shù),所以,,當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),故函數(shù)在上為減函數(shù),由等價(jià)于或:當(dāng)時(shí),由可得;當(dāng)時(shí),由可得.綜上所述,不等式的解集為.故選:A.9、B【解析】利用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義,結(jié)合三棱錐用表示出即可.【詳解】由題設(shè),,,,.故選:B10、B【解析】由向量數(shù)量積為0可求.【詳解】∵,,∴,∴,∴,故選:B.11、A【解析】由題意設(shè)出拋物線的方程,再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求出拋物線的方程.【詳解】∵拋物線為,∴可設(shè)拋物線方程為,∴即,∴拋物線方程為,故選:A.12、B【解析】由已知可設(shè),則,得,在中求得,再在中,由余弦定理得,從而可求解.【詳解】法一:如圖,由已知可設(shè),則,由橢圓的定義有.在中,由余弦定理推論得.在中,由余弦定理得,解得所求橢圓方程為,故選B法二:由已知可設(shè),則,由橢圓的定義有.在和中,由余弦定理得,又互補(bǔ),,兩式消去,得,解得.所求橢圓方程為,故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力,很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】利用已知條件求出p,設(shè)出P的坐標(biāo),然后求解的表達(dá)式,利用基本不等式即可得出結(jié)論【詳解】解:由題意可知:,設(shè)點(diǎn),P到直線的距離為d,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí),的最小值為,此時(shí),故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題14、【解析】根據(jù)題意,作出可行域,進(jìn)而根據(jù)幾何意義求解即可.【詳解】解:作出可行域如圖,將變形為,所以根據(jù)幾何意義,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),有最小值,所以聯(lián)立方程得,所以的最小值為故答案為:15、①【解析】根據(jù)幾何體展開(kāi)圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體,進(jìn)而求其外接球半徑,并與比較大小,即可確定答案.【詳解】①由題設(shè),幾何體為棱長(zhǎng)為的正四面體,該正四面體可放入一個(gè)正方體中,且正方體的棱長(zhǎng)為,該正四面體的外接球半徑為,滿足要求;②由題設(shè),幾何體為棱長(zhǎng)為的正四棱錐,如下圖所示:設(shè),連接,則為、的中點(diǎn),因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的正方形,則,所以,,所以,,所以,,,所以點(diǎn)為正四棱錐的外接球球心,且該球的半徑為,不滿足要求;③由題設(shè),幾何體為棱長(zhǎng)為的正八面體,該正八面體可由兩個(gè)共底面,且棱長(zhǎng)均為的正四棱錐拼接而成,由②可知,該正八面體的外接球半徑為,不滿足要求;④由題設(shè),幾何體為棱長(zhǎng)為的正方體,其外接球半徑為,不滿足要求;故答案為:①.16、【解析】求出圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn),從而求出對(duì)稱圓的方程.【詳解】圓心為,半徑為1,設(shè)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為,則,解得:,故對(duì)稱點(diǎn)為,故圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合題意,可求得值,根據(jù)成等比數(shù)列,即可求得d值,代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式,即可得答案;(2)由(1)可求得,即可得表達(dá)式,根據(jù)裂項(xiàng)相消求和法,即可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由等差數(shù)列性質(zhì)可得,解得,又成等比數(shù)列,所以,整理得,因?yàn)?,所以,所以【小?wèn)2詳解】由(1)可得,則,所以,所以18、(1);(2)【解析】(1)根據(jù)向量加減法運(yùn)算法則可得,根據(jù)計(jì)算可得的長(zhǎng)度;(2)根據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】,因?yàn)?,同理可得,所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以所以異面直線與所成角的余弦值為19、(1);(2)答案見(jiàn)解析,直線過(guò)定點(diǎn).【解析】(1)首先根據(jù)頂點(diǎn)為得到,再根據(jù)離心率為得到,從而得到橢圓C的方程.(2)設(shè),,,與橢圓聯(lián)立得到,利用直線BM與直線BN的斜率之積為和根系關(guān)系得到,從而得到直線恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】(1)一個(gè)頂點(diǎn)為,故,又,即,所以故橢圓的方程為(2)若直線l的斜率不存在,設(shè),,此時(shí),與題設(shè)矛盾,故直線l斜率必存在設(shè),,,聯(lián)立得,∴,∵,即∴,化為,解得或(舍去),即直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:定點(diǎn)問(wèn)題,一般從三個(gè)方法把握:(1)從特殊情況開(kāi)始,求出定點(diǎn),再證明定點(diǎn)、定值與變量無(wú)關(guān);(2)直接推理,計(jì)算,在整個(gè)過(guò)程找到參數(shù)之間的關(guān)系,代入直線,得到定點(diǎn).20、(1);(2)最大值為,最小值為.【解析】(1)由題得①,②,解方程組即得解;(2)令解得或,再列表得解.【小問(wèn)1詳解】解:求導(dǎo)得,因?yàn)樵诔龅那芯€斜率為,則,即①因?yàn)闀r(shí),有極值,則.即②由①②聯(lián)立得,所以.【小問(wèn)2詳解】解:由(1),令解得或,列表如下:極大值極小值所以,在[-3,2]上的最大值為,最小值為.21、(1),(2)【解析】(1)由題意,列出關(guān)于a,b,c的方程組求解即可得答案;(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點(diǎn)(x0,y0),則,作差可得①,又線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A(0,1),則②,聯(lián)立直線MN與橢圓的方程,可得﹣t2+1+4k2>0(*),③,由①②③及(*)式聯(lián)立即可求解【小問(wèn)1詳解】解:由題意可得,解得,所以橢圓C的方程為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為【小問(wèn)2詳解】解:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點(diǎn)(x0,y0),因?yàn)椋?,即,所以①,因?yàn)榫€段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A(0,1),所以,即②,聯(lián)立,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,所以=(8kt)2﹣4(1+4k2)(4t2﹣4)=﹣16t2+16+64k2>0,即﹣t2+1+4k
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