高中人教A版數(shù)學(xué)選修1-1測(cè)評(píng)2-1-2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.若橢圓x2a2+y25=1(a>5)A.4 B.3 C.2 D.1解析橢圓x2a2+y25=1(a>5)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,則2a=6,即a=3,由于b2=5,則c2=a2則它的焦距為2c=4,故選A.答案A2.已知橢圓C的短軸長(zhǎng)為6,離心率為45,則橢圓C的焦點(diǎn)F到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為()A.9 B.1C.1或9 D.以上都不對(duì)解析因?yàn)闄E圓C的短軸長(zhǎng)為6,所以b=3,又因?yàn)殡x心率為e=ca=45,a2=b所以a=5,c=4,所以橢圓C的焦點(diǎn)F到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為a+c=9或ac=1,故選C.答案C3.已知橢圓中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為(3,0),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x24+y2B.x2+y24C.x23+y2D.x2+y23解析∵一個(gè)焦點(diǎn)為(3,0),∴焦點(diǎn)在x軸上且c=3∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,∴2a=2·2b,即a=2b,∴(2b)2b2=3.∴b2=1,a2=4,故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=答案A4.已知橢圓y2a2+x2=1(a>1)的離心率e=255,P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若定點(diǎn)B(1,0),則|PB|A.32 B.C.52 D解析由題意可得a2-1a2=所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y25+x2=設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),且1≤x≤1,5≤y≤5,則y2=5(1x故|PB|=(=-4當(dāng)x=14時(shí)滿足條件,所以|PB|max=答案C5.曲線x225+y29=1與曲線x225A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等解析由于k<9,所以?xún)蓚€(gè)方程均表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且c2=259=(25k)(9k)=16,所以?xún)蓚€(gè)橢圓的焦距相等,但長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率不一定相等.答案D6.設(shè)F1,F2是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=3a2上一點(diǎn),△F2PF1A.12 BC.34解析由題意得|PF2|=|F1F2|,所以232a-c=2c,所以3a=4c答案C7.以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為2,則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為.

解析由題意知,當(dāng)橢圓上點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí),三角形的面積取最大值,即有bc=2,∴a2=b2+c2≥2bc=4(其中b>0,c>0),∴a≥2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取“=”.∴2a≥4,即橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為4.答案48.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸長(zhǎng)分成3∶2兩部分,則這個(gè)橢圓的離心率為.

解析依題意有(a+c)∶(ac)=3∶2,所以a=5c,故離心率為e=c答案19.(1)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63(2)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)1,32,一個(gè)焦點(diǎn)為解(1)由右焦點(diǎn)為(2,0),則c=2,又e=ca=63,所以a=3,b2=a2c2=1,橢圓C的方程為x2(2)由題意得1a2+34b2=1,a2-b210.已知橢圓x24+y23=1,試問(wèn)在橢圓上是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到橢圓的右焦點(diǎn)解由已知得c2=43=1,所以c=1,故F(1,0).假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到橢圓的右焦點(diǎn)F與到直線x=4的距離相等.設(shè)M(x,y)(2≤x≤2),則(x-1)2+y2=|x4|,又由x24+y23=1,得y2=31-x24,代入y2=6x+15,得x但由于2≤x≤2,所以符合條件的點(diǎn)M不存在.能力提升1.若點(diǎn)A(1,m)在橢圓C:x24+y22=1的內(nèi)部,A.(6,6B.62,C.∞,62∪62,+∞ D.32,解析由題意知,124+m22<1,解得故選B.答案B2.某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,近地點(diǎn)A距地面m千米,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面n千米,地球半徑為k千米,則飛船運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)為()A.2(mB.C.mn D.2mn解析由題意可得ac=m+k,a+c=n+k,故(ac)·(a+c)=(m+k)(n+k).即a2c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=(m+k)(答案A3.17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明方程a2x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示橢圓,費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì):若從橢圓上任意一點(diǎn)P向長(zhǎng)軸AB(異于A,B兩點(diǎn))引垂線,垂足為Q,則PQ2AQ·BQ為常數(shù).據(jù)此推斷A.橢圓的離心率B.橢圓離心率的平方C.短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比D.短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)比的平方解析設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),PQ=b,AQ=BQ=a,則P故選D.答案D4.已知以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(2,0),給出下列四個(gè)條件:①短半軸長(zhǎng)為2;②長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為22;③離心率為22;④一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).其中可求得橢圓方程為x28+y24=1解析只需保證a=22,b=2,c=2即可,而橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±2),(±22,0),故①②③可求得橢圓方程為x28+答案①②③5.若分別過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1,F2所作的兩條互相垂直的直線l1,解析設(shè)兩直線的交點(diǎn)為M,令|MF1|=d1,|MF2|=d2.由橢圓的定義,可得d1+d2=2a.∵M(jìn)F1⊥MF2,∴d12+d∵(d1+d2)2=d12+d22+2d1d2≤2(d12+d22),當(dāng)且僅當(dāng)d1=d2∴a≤2c,∴ca≥又e<1,∴22≤答案26.已知F1(c,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn)解設(shè)P(x0,y0),則PF1=(cx0,y0),PF2=(cx0,y0)