新教材數(shù)學(xué)人教A版作業(yè)4-5-3函數(shù)模型的應(yīng)用

第四章A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.3元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.2元．若普通車存車數(shù)為x輛次，存車總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是(D)A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)[解析]據(jù)題意知：y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)．2．某企業(yè)生產(chǎn)的一種電子產(chǎn)品的成本是每件500元，計(jì)劃在今后的3年內(nèi)，使成本降低到每件256元，則平均每年成本應(yīng)降低(C)A．10% B．15%C．20% D．35%[解析]設(shè)平均每年降低百分比為x，則500(1－x)3＝256，解得x＝20%，故選C．3．一輛汽車在某段路程中的行駛速度v與時(shí)間t的關(guān)系圖象如圖，則t＝2時(shí)，汽車已行駛的路程為(C)A．100km B．125kmC．150km D．225km[解析]t＝2時(shí)，汽車行駛的路程為：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150km，故選C．4．設(shè)某產(chǎn)品2018年12月底價(jià)格為a元(a>0)，在2019年的前6個(gè)月，價(jià)格平均每月比上個(gè)月上漲10%，后6個(gè)月，價(jià)格平均每月比上個(gè)月下降10%，經(jīng)過這12個(gè)月，2019年12月底該產(chǎn)品的價(jià)格為b元，則a，b的大小關(guān)系是(A)A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝b D．不能確定[解析]由題意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6＝a·(1.1×0.9)6＝0.996a<a，故選A．5．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是(B)x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝2x[解析]將取5個(gè)點(diǎn)取近似值，可得A(2，1.5)，B(3，4)，C(4，7.5)，D(5，12)，E(6，18)逐個(gè)檢驗(yàn)，B項(xiàng)函數(shù)是最接近實(shí)際的一個(gè)函數(shù)．6．某企業(yè)生產(chǎn)總值的月平均增長率為P，則年平均增長率為(C)A．(1＋P)11 B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1[解析]設(shè)年平均增長率為x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故選C．二、填空題7．某商人購貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)b，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的純利，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．[解析]依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化簡得b＝eq\f(5,4)a，∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．8．某農(nóng)場(chǎng)種植一種農(nóng)作物，為了解該農(nóng)作物的產(chǎn)量情況，現(xiàn)將近四年的年產(chǎn)量f(x)(單位：萬斤)與年份x(記2015年為第1年)之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下：x1234f(x)4.005.627.008.86則f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號(hào)是①．[解析]若模型為②，則f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此時(shí)f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與表格中的數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為③，則f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此時(shí)f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，與表格中的數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為①，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝4，,f（3）＝7，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(5,2)，))經(jīng)檢驗(yàn)是最適合的函數(shù)模型．三、解答題9．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)·(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(t,h))，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要20min，那么降溫到35℃，需要多少時(shí)間？(參考數(shù)據(jù)：lg11≈1.04，lg2≈0.30)[解析]由題意知40－24＝(88－24)·(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(20,h))，即eq\f(1,4)＝(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(20,h))，解得h＝10.故T－24＝(88－24)·(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(t,10)).當(dāng)T＝35時(shí)，代入上式，得35－24＝(88－24)·(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(t,10))，即(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(t,10))＝eq\f(11,64).兩邊取對(duì)數(shù)，求得t≈25.因此，約需要25min，可降溫到35℃.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．一個(gè)人以6m/s的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25m時(shí)，交通燈由紅變綠，汽車以1m/s2的加速度勻加速開走，那么(D)A．人可在7s內(nèi)追上汽車B．人可在10s內(nèi)追上汽車C．人追不上汽車，其間距最少為5mD．人追不上汽車，其間距最少為7m[解析]設(shè)汽車經(jīng)過ts行駛的路程為sm，則s＝eq\f(1,2)t2，車與人的間距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7，當(dāng)t＝6時(shí)，d取得最小值為7，故選D．2．商店某種貨物的進(jìn)價(jià)下降了8%，但銷售價(jià)不變，于是這種貨物的銷售利潤率(eq\f(銷售價(jià)－進(jìn)價(jià),進(jìn)價(jià))×100%)由原來的r%增加到(r＋10)%，則r的值等于(B)A．12 B．15C．25 D．50[解析]設(shè)原來的進(jìn)貨價(jià)為m元，則由題意得m(1＋r%)＝m(1－8%)[1＋(r＋10)%]，解得r＝15，故選B．3．一個(gè)高為H，盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖所示，現(xiàn)以均勻速度往水瓶中灌水，直到灌滿為止，如果水深h時(shí)水的體積為V，則函數(shù)V＝f(h)的圖象大致是(D)[解析]水深h越大，水的體積V就越大，故函數(shù)V＝f(h)是遞增函數(shù)，一開始增長越來越快，后來增長越來越慢，圖象是先凹后凸的，曲線斜率是先增大后變小的，故選D．4．(多選題)下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中正確的是(ABD)A．這幾年生活水平逐年得到提高B．生活費(fèi)收入指數(shù)增長最快的一年是2016年C．生活價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2017年D．雖然2018年的生活費(fèi)收入增長緩慢，但生活價(jià)格指數(shù)略有降低，因而生活水平有較大的改善[解析]由題意知，“生活費(fèi)收入指數(shù)”減去“生活價(jià)格指數(shù)”的差是逐年增大的，故A正確；“生活費(fèi)收入指數(shù)”在2016～2017年最陡，故B正確；“生活價(jià)格指數(shù)”在2017～2018年比較平緩，故C錯(cuò)；2018年“生活價(jià)格指數(shù)”降低，而“收入指數(shù)”上升．因此生活水平有較大改善，故D正確，故選ABD．二、填空題5．一種專門侵占內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3min自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)后經(jīng)過45min，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB＝210KB)．[解析]設(shè)過n個(gè)3min后，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存，則2×2n＝64×210＝216?n＝15.故時(shí)間為15×3＝45(min)．6．(2021·濟(jì)南濟(jì)鋼中學(xué)高一期中測(cè)試)生物機(jī)體內(nèi)碳14的半衰期(剩留量為原來的一半所需要的時(shí)間)為5730年，某古墓一文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的77%，試推算該古墓距出土?xí)r約有2_161年．(參考數(shù)據(jù)：lg0.77＝－0.1135，lg0.5＝－0.3010，結(jié)果精確到年)[解析]設(shè)生物死亡的年數(shù)為x年，由題意得(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(x,5730))＝77%，∴eq\f(x,5730)＝logeq\s\do9(\f(1,2))0.77＝eq\f(lg0.77,lg\f(1,2))＝eq\f(－0.1135,－0.3010)＝eq\f(1135,3010)，∴x＝5730×eq\f(1135,3010)≈2161.∴該古墓距出土?xí)r約有2161年．三、解答題7．某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元)．(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？[解析](1)設(shè)A，B兩種產(chǎn)品分別投資x萬元，x≥0，所獲利潤分別為f(x)萬元、g(x)萬元．由題意可設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).根據(jù)圖象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq\r(9)＝6.∴總利潤y＝8.25萬元．②設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元，A產(chǎn)品投入(18－x)萬元