數(shù)學-3.2 提公因式法-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023學年七年級數(shù)學下冊同步精講精練(湘教版)（帶答案）

3.2提公因式法知識點一知識點一公因式幾個多項式的公共的因式稱為它們的公因式。知識點一知識點一提公因式法如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，這種把多項式因式分解的方法叫做提公因式法。題型一用提公因式法因式分解【例題1】把多項式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的結(jié)果(

)A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b）【答案】C

【詳解】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)運用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故選C.【變式1-1】因式分解：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式【變式1-2】把下列多項式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接提取公因式x，進而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式，進而分解因式得出答案；

（3）直接提取公因式，進而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式，進而分解因式得出答案．【詳解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【變式1-3】因式分解：【答案】【分析】先計算單項式乘多項式，合并后，再提取公式即可．【詳解】解：．【變式1-4】因式分解：【答案】【分析】先分組分解后提取公因式即可.【詳解】【變式1-5】閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”下面是小涵同學用換元法對多項式進行因式分解的過程

解：設①，將①帶入原式后，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）請根據(jù)上述材料回答下列問題：(1)小涵同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的______方法；(2)老師說，小涵因式分解的結(jié)果不徹底，請你通過計算得出該因式分解的最后結(jié)果；(3)請你用“換元法”對多項式進行因式分解【答案】(1)提取公因式(2)(3)【分析】（1）根據(jù)因式分解的方法判斷即可；（2）因式分解必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止，將因式分解成即可；（3）用換元法設，代入多項式，然后仿照題干的換元法解答即可．【詳解】（1）解：由題意得：從到運用了因式分解中的提取公因式法故答案為：提取公因式（2）解：由題意得：（3）解：設，將代入中得：原式

【變式1-6】閱讀理解，并解答下面的問題：拆項法原理：在多項式乘法運算中，常經(jīng)過整理、化簡，通常將幾個同類項合并為一項，或相互抵消為零．反過來，在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項（拆項）．例：分解因式：＋4x＋3解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，＝（＋x）＋（3x＋3）將原式分成兩組＝x（x＋1）＋3（x＋1）對每一組分別提取公因式＝（x＋3）（x＋1）繼續(xù)提公因式請類比上面的示例，分解因式：＋5x＋6【答案】（x＋2）（x＋3）【分析】根據(jù)題意中的分解因式的方法求解即可．【詳解】解：原式=＋2x＋3x＋6．【變式1-7】閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：．(1)上述分解因式的方法是______，共應用了______次．(2)若分解，則需應用上述方法______次，結(jié)果是______．(3)分解因式：（n為正整數(shù)）．【答案】(1)提公因式，2

(2)100，(3)【分析】（1）根據(jù)分解過程即可填空；（2）將多項式提公因式即可進行因式分解；（3）按照上面規(guī)律即可求解．（1）根據(jù)分解過程，可知采用的是提取公因式的方法，共應用了2次，故答案為：提公因式，2；（2）按照（1）中的方法，，∴應用了100次，結(jié)果是，故答案為：100，；（3）按照上面規(guī)律，可知．題型二利用提公因式法求代數(shù)式的值【例題2】先化簡再求值：，其中，．【答案】，【分析】根據(jù)提公因式的方法對代數(shù)式進行化簡，然后代數(shù)求解即可．【詳解】解：

，將，代入可得，原式．【變式2-1】先因式分解，再計算求值：，其中．【答案】，【分析】先利用提公因式法將原式分解因式，再將的值代入計算即可．【詳解】解：當時，原式．【變式2-2】先化簡再求值：，其中．【答案】，1【分析】先提出公因式，原式變形為然后把代入，即可求解．【詳解】解：當時，原式=．

【變式2-3】已知：．求的值．【答案】【分析】先求解再把化為再整體代入計算即可．【詳解】解：，∴【變式2-4】如果，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】由已知可得，然后對所求式子變形，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴．【變式2-5】化簡：，且當時，求原式的值．

【答案】，-1【分析】原式逐步提取公因式，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式……∴當時，原式．題型三利用因式分解解決整除問題【例題3】通過計算說明能被整除．【答案】見解析【分析】先利用有理數(shù)