數(shù)學(xué)-第16講 特殊的平行四邊形（解析）

第十六講——特殊的平行四邊形考向一矩形的性質(zhì)1．（2020·廣東廣州市·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性質(zhì)得出AO=5，證明得到OE的長，再證明可得到EF的長，從而可得到結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，，，，，，，，，又，，，，，，，同理可證，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2020·山東濟(jì)南市·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝10，AB＝8，將AB沿AE翻折，使點(diǎn)B落在處，AE為折痕；再將EC沿EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段EB'上的點(diǎn)處，EF為折痕，連接．若CF＝3，則tan＝_____．

【答案】【分析】連接AF，設(shè)CE＝x，用x表示AE、EF，再證明∠AEF＝90°，由勾股定理得通過AF進(jìn)行等量代換列出方程便可求得x，再進(jìn)一步求出B′C′，便可求得結(jié)果．【詳解】解：連接AF，設(shè)CE＝x，則C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折疊知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，當(dāng)x＝6時(shí)，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合題意，應(yīng)舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．1．（2020·貴州畢節(jié)市·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，

分別是，的中點(diǎn)，連接，若，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理求出BD的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OD的長，最后根據(jù)三角形中位線定理得出EF的長即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，∵，，∴AC=∴BD=10cm，∴，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．2．（2020·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)E．若，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意將BD,BC算出來,再利用勾股定理列出方程組解出即可．【詳解】∵AC=2,BC=,∴,∵D是AB的中點(diǎn),∴AD=CD=BD=．由題意可得:

兩式相減得:,解得DE=,BE=,故選A．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中點(diǎn)性質(zhì)和勾股定理,關(guān)鍵在于找出等式列出方程組．考向二矩形的判定1．（2020·湖北中考真題）已知中，下列條件：①；②；③；④平分，其中能說明是矩形的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根據(jù)矩形的判定進(jìn)行分析即可．【詳解】A.，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A錯(cuò)誤；B.，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故B正確；C.，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯(cuò)誤；D.平分，對(duì)角線平分其每一組對(duì)角的平行四邊形是菱形，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，熟知矩形從邊，角，對(duì)角線三個(gè)方向的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2020·北京中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．【答案】(1)見解析；(2)OE=5，BG=2.【分析】(1)先證明EO是△DAB的中位線，再結(jié)合已知條件OG∥EF，得到四邊形OEFG是平行四邊形，再由條件EF⊥AB，得到四邊形OEFG是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理進(jìn)而得到AF=3，再由中位線定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5

，最后BG=AB-AF-FG=2．【詳解】解：(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形，∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，∴OE為△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形∵EF⊥AB，∴平行四邊形OEFG為矩形．(2)∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=10，∴AE=∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，．∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5，∵四邊形OEFG為矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案為：OE=5，BG=2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，特殊四邊形的性質(zhì)和判定屬于中考常考題型，需要重點(diǎn)掌握．1．（2020·山東聊城·中考真題）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，在上取點(diǎn)，使，那么點(diǎn)到的距離等于（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可得的長，進(jìn)而可得的長，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，如圖，則四邊形是矩形，解Rt△可得的長，即為FM的長，根據(jù)三角形的內(nèi)角和易得，然后解Rt△可求出DF的長，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．【解析】解：在中，∵，，∴AC=2AB=4，

∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，∴，∴，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)N，如圖，則四邊形是矩形，∴，在Rt△中，，∴FM=1，∵，∴，在Rt△中，，∴，即點(diǎn)到的距離等于．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、矩形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線、熟練掌握解直角三角形的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·山東聊城·中考真題）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接AE并延長，交DC的延長線于點(diǎn)F，且AF＝AD，連接BF，求證：四邊形ABFC是矩形．【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得到兩角一邊對(duì)應(yīng)相等，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形ABFC是平行四邊形，又根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)矩形的判定（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）可得四邊形ABFC是矩形．【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形∴

∴∵E為BC的中點(diǎn)∴∴∴∵∴四邊形ABFC是平行四邊形∴平行四邊形ABFC是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、矩形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用各判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考向三菱形的性質(zhì)1．（2020·江蘇無錫市·中考真題）如圖，在菱形中，，點(diǎn)在上，若，則__________．【答案】115°【分析】先根據(jù)菱形性質(zhì)求出∠BCD，∠ACE，再根據(jù)求出∠AEC，最后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解題即可．【詳解】解：四邊形ABCD是菱形，，∴AB∥CD，∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°，∵，∴∠ACE=∠AEC=65°，∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，解題方法較多，根據(jù)菱形性質(zhì)求解∠ACE是解題關(guān)鍵．2．（2020·廣西中考真題）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）2．

【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)，由SAS證明即可；（2）證是等邊三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)，∴AF＝AE，在和中，，∴（SAS）；（2）解：連接BD，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴是等邊三角形，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面積＝AD×BE＝2×＝2．【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的面積的計(jì)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．1．（2020·遼寧葫蘆島市·中考真題）一張菱形紙片的邊長為，高等于邊長的一半，將菱形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，直線交直線于點(diǎn)，則的長為____________．【答案】或【分析】先根據(jù)題目中描述畫出兩種可能的圖形，再結(jié)合勾股定理即可得解．【詳解】解：由題干描述可作出兩種可能的圖形．①M(fèi)N交DC的延長線于點(diǎn)F，如下圖所示

∵高AE等于邊長的一半∴在Rt△ADE中，又∵沿MN折疊后，A與B重合∴∴②MN交DC的延長線于點(diǎn)F，如下圖所示同理可得，，此時(shí)，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意作出兩種圖形是解題關(guān)鍵．2．（2020·甘肅金昌市·中考真題）如圖所示的木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié)間的距離，若間的距離調(diào)節(jié)到60，菱形的邊長，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖（見解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】如圖，連接AC四邊形ABCD是菱形如圖所示的木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，

是等邊三角形故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解題意，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考向四菱形的判定1．（2020·江蘇南通市·中考真題）下列條件中，能判定?ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD【答案】D【分析】根據(jù)菱形的判定條件即可得到結(jié)果；【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定，準(zhǔn)確理解條件是解題的關(guān)鍵．2．（2020·山東濱州市·中考真題）如圖，過□ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC．CD、DA于點(diǎn)P、M、Q、N．（1）求證：PBE≌QDE；（2）順次連接點(diǎn)P、M、Q、N，求證：四邊形PMQN是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）由ASA證△PBE≌△QDE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出EP=EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出EM=EN，證出四邊形PMQN是平行四邊形，由對(duì)角線PQ⊥MN，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴EB=ED，AB∥CD，∴∠EBP=∠EDQ，

在△PBE和△QDE中，，∴△PBE≌△QDE（ASA）；

（2）證明：如圖所示：∵△PBE≌△QDE，∴EP=EQ，同理：△BME≌△DNE（ASA），∴EM=EN，∴四邊形PMQN是平行四邊形，∵PQ⊥MN，∴四邊形PMQN是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．1．（2020·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）如圖，是的中線，四邊形是平行四邊形，增加下列條件，能判斷是菱形的是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的判定方法逐一分析即可.【詳解】解：A、若，則AD=BD=CD=AE，∵四邊形ADCE是平行四邊形，則此時(shí)四邊形ADCE為菱形，故選項(xiàng)正確；B、若，則四邊形ADCE是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、若，則∠ADC=90°，則四邊形ADCE是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、若，而AB＞AD，則AE≠AD，無法判斷四邊形ADCE為菱形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，還涉及到平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握判定定理.2．（2020·湖南郴州市·中考真題）如圖，在菱形中，將對(duì)角線分別向兩端延長到點(diǎn)和，使得．連接．求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【分析】連接BD，由菱形ABCD的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，證出四邊形BEDF是平行四邊形，再由EF⊥BD，即可證出四邊形BEDF是菱形．【詳解】證明：連接BD，交AC于O，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，

∵AE=CF，∴OE=OF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與性質(zhì)．考向五正方形的性質(zhì)

1．（2020·浙江金華市·中考真題）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH.連結(jié)EG，BD相交于點(diǎn)O，BD與HC相交于點(diǎn)P.若GO=GP，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】證明，得出．設(shè)，則，，由勾股定理得出，則可得出答案．【詳解】解：四邊形為正方形，，，，，，又，，，，，，．設(shè)，為，的交點(diǎn)，，，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）如圖，正方形，G是邊上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），于點(diǎn)E，，且交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）四邊形是否可能是平行四邊形，如果可能請(qǐng)指出此時(shí)點(diǎn)G的位置，如不可能請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）不可能，理由見解析【分析】（1）證明△ABF≌△DAE，從而得到AF=DE，AE=BF，可得結(jié)果；（2）若要四邊形是平行四邊形，則DE=BF，則∠BAF=45°，再證明∠BAF≠45°即可.【詳解】解：（1）證明：∵正方形，∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF，又∵，∴∠BFA=90°=∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF=DE，AE=BF，∴；（2）不可能，理由是：如圖，若要四邊形是平行四邊形，已知DE∥BF，則當(dāng)DE=BF時(shí)，四邊形BFDE為平行四邊形，∵DE=AF，∴BF=AF，即此時(shí)∠BAF=45°，而點(diǎn)G不與B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四邊形不能是平行四邊形.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到三角形全等的條件.1．（2020·廣西中考真題）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B

【分析】證明△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線的比等于相似比即可求得．【詳解】解：∵四邊形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．設(shè)AN=x，則EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20所以，AN=20．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形以及相似三角形的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．2．（2020·山東濱州市·中考真題）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離分別為則正方形ABCD的面積為________【答案】【分析】如圖，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM，連接PM，過點(diǎn)B作BH⊥PM于H．首先證明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共線，利用勾股定理求出AB2即可．【詳解】解：如圖，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM，連接PM，過點(diǎn)B作BH⊥PM于H．

∵BP=BM=，∠PBM=90°，∴PM=PB=2，

∵PC=4，PA=CM=2，∴PC2=CM2+PM2，∴∠PMC=90°，

∵∠BPM=∠BMP=45°，∴∠CMB=∠APB=135°，∴∠APB+∠BPM=180°，∴A，P，M共線，

∵BH⊥PM，∴PH=HM，∴BH=PH=HM=1，∴AH=2+1，∴AB2=AH2+BH2=（2+1）2+12=14+4，

∴正方形ABCD的面積為14+4．故答案為14+4．【點(diǎn)睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．考向六正方形的判定1．（2020·山東濱州市·中考真題）下列命題是假命題的是（）A．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形． B．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．C．對(duì)角線相等的菱形是正方形． D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形．【答案】D【分析】根據(jù)正方形的各種判定方法逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確；對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，正確；對(duì)角線相等的菱形是正方形，正確；對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；可知選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．2．（2020·廣西玉林市·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若H是AB上的一點(diǎn)（H與A，B不重合），連接DH，將線段DH繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段HE，過點(diǎn)E分別作BC及AB的延長線的垂線，垂足分別是F，G，設(shè)四邊形BGEF的面積為，以HB，BC為鄰邊的矩形面積為，且，當(dāng)時(shí)，求AH的長；

【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由題根據(jù)可得對(duì)角線相等且互相平分，可得四邊形ABCD是矩形，又因?yàn)樵谥?，利用勾股定理逆定理可得出為等腰直角三角形，可得，所以也是等腰直角三角形，可得，所以得出四邊形ABCD是正方形；（2）根據(jù)題意，易證得，可得，設(shè)，則，，可得，則，令，即：，解方程即可得出的長.【詳解】解：（1）依題意可得：，四邊形為平行四邊形；又，四邊形為矩形；又在中，，且三邊滿足為等腰直角三角形；,,,,四邊形為正方形；即：四邊形為正方形.（2）由題可得：,，又，在與中設(shè)，則，可得：，，令，可得，

解得：，（舍去）.即.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定以及與正方形相關(guān)的幾何證明.在證明正方形的時(shí)候必須先證明四邊形是矩形或者菱形，然后得出正方形；如果題中涉及到邊之間的關(guān)系是或倍的關(guān)系，則利用勾股定理逆定理驗(yàn)證是否是等腰直角三角形；如果遇到直角比較多的地方，注意觀察題中是否有一線三垂直，要積累和熟練應(yīng)用這個(gè)全等模型.1．（2020·四川眉山市·中考真題）下列說法正確的是（）A．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【答案】B【分析】利用平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形錯(cuò)誤，如等腰梯形；B、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，正確；C、對(duì)角線相等的四邊形是矩形錯(cuò)誤，如等腰梯形；D、對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形錯(cuò)誤，如一般四邊形對(duì)角線也可以互相垂直且相等．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，難度一般．2．（2020·山東威海市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線，，，為的中點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)F，連結(jié)，．下列結(jié)論不成立的是（）A．四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形

C．若，則四邊形為菱形D．若，則四邊形為正方形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，以及特殊平行四邊形的判定定理進(jìn)行逐一判斷即可得解．【詳解】A.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∴∵為的中點(diǎn)∴在與中∴∴又∵∴四邊形為平行四邊形，故A選項(xiàng)正確；B.假設(shè)∵，，∴∴∴∵∴則當(dāng)時(shí)，∵四邊形為平行四邊形∴四邊形為矩形，故B選項(xiàng)正確；C.∵，∴E是AB中點(diǎn)∵∴∵四邊形為平行四邊形∴四邊形為菱形，故C選項(xiàng)正確；D.當(dāng)時(shí)與時(shí)矛盾，則DE不垂直于AB，則四邊形不為矩形，則也不可能為正方形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，以及特殊平行四邊形的判定定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理的幾何證明方法是解決本題的關(guān)鍵．考向七中點(diǎn)四邊形1．（2020·山東菏澤·中考真題）如果順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對(duì)角線一定滿足的條件是（）A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分【答案】C【分析】由于順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定可知，依次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊的中點(diǎn)所得四邊形是矩形．

【解析】根據(jù)題意畫出圖形如下：答：AC與BD的位置關(guān)系是互相垂直．

證明：∵四邊形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，

又∵點(diǎn)E、F、分別是AD、AB、各邊的中點(diǎn)，∴EF是三角形ABD的中位線，

∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，

又∵點(diǎn)E、H分別是AD、CD各邊的中點(diǎn)，∴EH是三角形ACD的中位線，

∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，即AC⊥BD．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的判定定理，畫出圖形進(jìn)而應(yīng)用平行四邊形的判定以及矩形判定是解決問題的關(guān)鍵．2．（2020·山東德州市·中考模擬）我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀．（不必證明）【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形EFGH是菱形，證明見解析；（3）四邊形EFGH是正方形.【分析】（1）如圖1中，連接BD，根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四邊形EFGH是菱形．先證明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再證明EF=FG即可．（3）四邊形EFGH是正方形，只要證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°

，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：如圖1中，連接BD．∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=BD，∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD，F(xiàn)G=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形．（2）四邊形EFGH是菱形．證明：如圖2中，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF=AC，F(xiàn)G=BD，∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形．（3）四邊形EFGH是正方形．證明：如圖2中，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M，AC與EH交于點(diǎn)N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四邊形EFGH是菱形，∴四邊形EFGH是正方形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；中點(diǎn)四邊形．1．（2020·全國九年級(jí)其他模擬）如圖，四邊形ABCD中，AC＝m，BD＝n，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2……，如此進(jìn)行下去，得到四邊形A5B5C5D5的周長是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理得到四邊形A1B1C1D1是矩形，根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形A2B2C2D2是平行四邊形，得到四邊形A5B5C5D5為矩形，計(jì)算即可．【詳解】解：點(diǎn)A1，D1分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴A1D1∥BD，A1D1＝BD＝n，同理：B1C1∥BD，B1C1＝BD＝n，∴A1D1∥B1C1，A1D1＝B1C1，∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形，∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，∴A1B1⊥A1D1，∴四邊形A1B1C1D1是矩形，其周長為2×（m＋n）＝m＋n，同理，四邊形A2B2C2D2是平行四邊形，∵A2B2＝A1C1，B2C2＝A1C1，∴A2B2＝B2C2，∴四邊形A2B2C2D2是菱形，同理，A3B3C3D3為矩形，周長為，∴矩形A5B5C5D5的周長為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、菱形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2020·廣東珠海市·九年級(jí)二模）順次連接菱形四邊的中點(diǎn)得到的四邊形一定是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半判定出四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直可得EF⊥FG，然后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判斷．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E，F(xiàn)，G，H是中點(diǎn)，∴EF∥BD，F(xiàn)G∥AC，∴EF⊥FG，同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，∴四邊形EFGH是矩形．故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)與判定定理，矩形的判定定理以及三角形的中位線定理．考向八特殊四邊形的動(dòng)態(tài)問題1．（2020·江蘇南通市·中考真題）如圖①，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B﹣E﹣D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s．現(xiàn)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△BPQ的面積為y（cm2），若y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖②所示，則矩形ABCD的面積是（）A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2【答案】C【分析】過點(diǎn)E作EH⊥BC，由三角形面積公式求出EH=AB=6，由圖2可知當(dāng)x=14時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，則AD=12，可得出答案．【詳解】解：從函數(shù)的圖象和運(yùn)動(dòng)的過程可以得出：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，x＝10，y＝30，過點(diǎn)E作EH⊥BC，

由三角形面積公式得：y＝，解得EH＝AB＝6，∴BH=AE=8,由圖2可知當(dāng)x＝14時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，∴ED=4,∴BC=AD＝12，∴矩形的面積為12×6＝72．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想方法是解題的關(guān)鍵．2．（2020·四川雅安市·中考真題）已知，等邊三角形和正方形的邊長相等，按如圖所示的位置擺放（C點(diǎn)與E點(diǎn)重合），點(diǎn)共線，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，直到B點(diǎn)與F點(diǎn)重合．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，運(yùn)動(dòng)過程中兩圖形重疊部分的面積為，則下面能大致反映與之間關(guān)系的函數(shù)圖象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分點(diǎn)C在EF中點(diǎn)的左側(cè)、點(diǎn)C在EF中點(diǎn)的右側(cè)、點(diǎn)C在F點(diǎn)右側(cè)且B在EF中點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)C在F點(diǎn)右側(cè)且B在EF中點(diǎn)的右側(cè)四種情況，分別求出函數(shù)的表達(dá)式即可求解．【詳解】解：設(shè)等邊三角形ABC和正方形DEFG的邊長都為a，運(yùn)動(dòng)速度為1，

當(dāng)點(diǎn)C在EF的中點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)AC交DE于點(diǎn)H，則CE=t，HE=ECtan∠ACB=t×=t，

則S=S△CEH=×CE×HE=×t×t=，可知圖象為開口向上的二次函數(shù)，

當(dāng)點(diǎn)C在EF的中點(diǎn)右側(cè)時(shí)，設(shè)AB與DE交于點(diǎn)M，則EC=t，BE=a-t，ME=，∴S=，可知圖象為開口向下的二次函數(shù)；當(dāng)點(diǎn)C在F點(diǎn)右側(cè)且B在EF中點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，S=，可知圖象為開口向下的二次函數(shù)；當(dāng)點(diǎn)C在F點(diǎn)右側(cè)且B在EF中點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，此時(shí)BF=2a-t，MF=，∴，可知圖象為開口向上的二次函數(shù)；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問題，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時(shí)間段，圖象和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解．1．（2020·貴州銅仁市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P沿折線BCD從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ADP的面積為y，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

A．B．C．D．【答案】D【分析】分別求出0≤x≤4、4＜x＜7時(shí)函數(shù)表達(dá)式，即可求解．【詳解】解：由題意當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，當(dāng)4＜x＜7時(shí)，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．2．（2020·甘肅金昌市·中考真題）如圖①，正方形中，，相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著的路徑以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在此過程中線段的長度隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，則的長為（）

A． B．4 C． D．【答案】A【分析】如圖（見解析），先根據(jù)函數(shù)圖象可知，再設(shè)正方形的邊長為，從而可得，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案．【詳解】如圖，連接AE由函數(shù)圖象可知，設(shè)正方形ABCD的邊長為，則四邊形ABCD是正方形，是的中點(diǎn)則在，由勾股定理得：因此有解得則故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)圖象等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象得出是解題關(guān)鍵．1．（2020·山東德州市·中考真題）下列命題：①一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；②對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；③一個(gè)角為90°且一組鄰邊相等的四邊形是正方形；④對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定逐一判斷即可．【詳解】解：①一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形，是假命題；②對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，是真命題；③一個(gè)角為90°且一組鄰邊相等的四邊形是正方形，是假命題；④對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、菱形、正方形、矩形的判定，熟知特殊四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵．2．（2020·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)為中點(diǎn)，．則線段的長為：（）A． B． C． D．【答案】B【分析】因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直且平分，從而有，，，又因?yàn)镠為BC中點(diǎn)，借助直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可作答．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形∴，，∴△BOC是直角三角形∴∴BC=5∵H為BC中點(diǎn)∴故最后答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，其中知道菱形的性質(zhì)，對(duì)角線互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．3．（2019·遼寧中考真題）如圖，，是四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，，，要使四邊形為正方形，則需添加的條件是（）A．， B．，

C．， D．，【答案】A【分析】證出、、、分別是、、、的中位線，得出，，，，證出四邊形為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，，得出平行四邊形是菱形；當(dāng)時(shí)，，即，即可得出菱形是正方形．【詳解】點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，、、、分別是、、、的中位線，，，，，四邊形為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，，平行四邊形是菱形；當(dāng)時(shí)，，即，菱形是正方形；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定以及三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．4．（2020·湖南株洲·中考模擬）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說法正確的為（）A．一定不是平行四邊形B．一定不是中心對(duì)稱圖形C．可能是軸對(duì)稱圖形D．當(dāng)AC=BD時(shí)它是矩形【答案】C【解析】解：連接AC，BD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF=HG=AC，EH=FG=BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH一定是中心對(duì)稱圖形，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，∠EFG=90°，此時(shí)四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AC=BD時(shí)，EF=FG=GH=HE，此時(shí)四邊形EFGH是菱形，∴四邊形EFGH可能是軸對(duì)稱圖形，故選

C．【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)四邊形；平行四邊形的判定；矩形的判定；軸對(duì)稱圖形．5．（2020·山東棗莊市·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，若∠EAC=∠ECA，則AC的長是（）A． B．6 C．4 D．5【答案】B【解析】∵將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴AF=CF，∴AC=2AB=6，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等，得到EF垂直平分AC是解題的關(guān)鍵．6．（2020·浙江臺(tái)州市·中考真題）下是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：①它的對(duì)角線相等；②它是一個(gè)正方形；③它是一個(gè)矩形．下列推理過程正確的是（）A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②【答案】A【分析】根據(jù)正方形和矩形的性質(zhì)定理解題即可．【詳解】根據(jù)正方形特點(diǎn)由②可以推理出③，再由矩形的性質(zhì)根據(jù)③推出①，故選A．【點(diǎn)睛】此題考查正方形和矩形的性質(zhì)定理，難度一般．7．（2020·河南中考真題）如圖，在中，．邊在軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．將正方形沿軸向右平移當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先畫出落在上的示意圖，如圖，根據(jù)銳角三角函數(shù)求解的長度，結(jié)合正方形的性質(zhì)，從而可得答案．【詳解】解：由題意知：四邊形為正方形，如圖，當(dāng)落在上時(shí)，由故選【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了正方形的性質(zhì)，圖形與坐標(biāo)，銳角三角函數(shù)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2020·湖北黃岡市·中考真題）若菱形的周長為16，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性質(zhì)得到AB＝4，利用正弦的定義得到∠B＝30°，則∠C＝150°，從而得到∠C：∠B的比值．【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH＝2，

∵菱形的周長為16，∴AB＝4，在Rt△ABH中，sinB＝＝，∴∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝150°，∴∠C：∠B＝5：1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了正弦的定義及應(yīng)用．9．（2020·寧夏中考真題）如圖，菱形的邊長為13，對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別是邊、的中點(diǎn)，連接并延長與的延長線相交于點(diǎn)G，則（）A．13 B．10 C．12 D．5【答案】B【分析】連接對(duì)角線BD，交AC于點(diǎn)O，求證四邊形BDEG是平行四邊形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的長，BD=2OD，即可求出EG．【詳解】連接BD，交AC于點(diǎn)O，由題意知：菱形ABCD的邊長為13，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，∴AB=BC=CD=DA=13，EFBD，∵AC、BD是菱形的對(duì)角線，AC=24，∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，又∵ABCD，EFBD∴DEBG，BDEG在四邊形BDEG中，∵DEBG，BDEG∴四邊形BDEG是平行四邊形∴BD=EG在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12∴OD=OB=5∴BD=EG=10故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．

10．（2020·貴州遵義市·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)E，則線段DE的長為（）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】利用菱形的面積等于兩對(duì)角線之積的一半，求解菱形的面積，再利用等面積法求菱形的高即可．【詳解】解：記AC與BD的交點(diǎn)為，菱形,菱形的面積菱形的面積故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理．理解菱形的對(duì)角線互相垂直平分和學(xué)會(huì)用等面積法是解題關(guān)鍵．11．（2020·四川眉山市·中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，以為對(duì)角線作正方形，邊與正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)

【答案】D【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，∠EAB、∠GAD與∠BAG的和均為90°，即可證明∠EAB與∠GAD相等；②由題意易得AD=DC，AG=FG，進(jìn)而可得，∠DAG=∠CAF，然后問題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證△HAF∽△FAC，則有，然后根據(jù)等量關(guān)系可求解；④由②及題意知∠ADG=∠ACF=45°，則問題可求證．【詳解】解：①∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴∠EAG=∠BAD=90°又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG∴∠EAB=∠GAD∴①正確②∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴AD=DC，AG=FG∴AC=AD，AF=AG∴，即又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴∴②正確③∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對(duì)角線∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴即又∵AF=AE∴∴③正確④由②知又∵四邊形ABCD為正方形，AC為對(duì)角線∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG在正方形另外一條對(duì)角線上∴DG⊥AC∴④正確故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用，同時(shí)利用到正方形相關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于找到需要的相似三角形進(jìn)而證明．12．（2020·遼寧沈陽市·中考真題）如圖，在矩形中，，，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為折痕，將折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，線段與相交于點(diǎn)．若為直角三角形，則的長__________．

【答案】或1【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)可得，，設(shè)，從而可得，再根據(jù)直角三角形的定義分和兩種情況，然后分別利用相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理求解即可得．【詳解】四邊形ABCD是矩形，，由折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，則由題意，分以下兩種情況：（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，為直角三角形在和中，，即解得，在中，，即解得即（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，為直角三角形，，即在和中，，即解得

，即解得即綜上，DP的長為或1故答案為：或1．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，正確畫出圖形，并分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．13．（2020·廣西玉林市·中考真題）如圖，將兩張對(duì)邊平行且相等的紙條交叉疊放在一起，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD_________菱形（是，或不是）．【答案】是【分析】如圖（見解析），先根據(jù)“兩張對(duì)邊平行且相等的紙條”得出，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)菱形的判定即可得．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作，交DA延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作，交BA延長線于點(diǎn)F由題意得：四邊形ABCD是平行四邊形在和中，平行四邊形ABCD是菱形故答案為：是．【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形與菱形的判定、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形與菱形的判定是解題關(guān)鍵．14．（2020·黑龍江哈爾濱市·中考真題）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長為1，線段AB和線段CD的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖中畫出以AB為邊的正方形，點(diǎn)E和點(diǎn)F均在小正方形的頂點(diǎn)上；（2）在圖中畫出以CD為邊的等腰三角形，點(diǎn)G在小正方形的頂點(diǎn)上，且的周長為，連接EG，請(qǐng)直接寫出線段EG的長．【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析，EG=.【分析】（1）根據(jù)正方形的判定作圖可得；（2）根據(jù)等腰三角形與勾股定理可得答案．【詳解】解：（1）如圖所示，正方形ABEF即為所求；

（2）如圖所示，△CDG即為所求，由勾股定理，得EG=.【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用思想結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．15．（2020·四川自貢市·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊的延長線上，點(diǎn)在邊的延長線上，且,連接和相交于點(diǎn)．求證：．

【答案】證明見解析．【分析】利用正方形的性質(zhì)證明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再證明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，又∵CE=DF，∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，在△BCF和△ABE中，∴（SAS），∴AE=BF．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（2020·江蘇徐州市·中考真題）我們知道：如圖①，點(diǎn)把線段分成兩部分，如果．那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．它們的比值為．（1）在圖①中，若，則的長為_____；（2）如圖②，用邊長為的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形得折痕，連接，將折疊到上，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得折痕．試說明是的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為的正方形的邊上任取點(diǎn)，連接，作，交于點(diǎn)，延長、交于點(diǎn)．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)與滿足某種關(guān)系時(shí)、恰好分別是、的黃金分割點(diǎn)．請(qǐng)猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）當(dāng)PB=BC時(shí)，、恰好分別是、的黃金分割點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）由黃金比值直接計(jì)算即可；（2）如圖，連接GE，設(shè)BG=x，則AG=20-x，易證得四邊形EFCD是矩形，可求得CE，由折疊知GH=BG=x，CH=BC=20，進(jìn)而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得關(guān)于x的方程，解之即可證得結(jié)論；（3）當(dāng)PB=BC時(shí)，證得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,則有BF=AE，設(shè)BF=x，則AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）AB=×20=（）(cm)，故答案為：；（2）如圖，連接GE，設(shè)BG=x，則GA=20-x，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠D=90o，由折疊性質(zhì)得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90o，AE=ED=10，在Rt△CDE中，CE=，∴EH=，在Rt△GHE中，在Rt△GAE中，,∴，解得：x=，即，∴是的黃金分割點(diǎn)；（3）當(dāng)PB=BC時(shí)，、恰好分別是、的黃金分割點(diǎn)．理由：∵，∴∠BCF+∠CBE=90o，又∠CBE+∠ABE=90o，∴∠ABE=∠BCF，

∵∠A=∠ABC=90o，AB=BC，∴△BAE≌△CBF（ASA），∴AE=BF，設(shè)AE=BF=x，則AF=a-x，∵AD∥BC即AE∥PB，∴即，∴，解得：或(舍去)，即BF=AE=，∴，∴、分別是、的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、解一元二次方程等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，找出相關(guān)信息的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，確定解題思路，進(jìn)而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算．18．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AF=CE．求證：四邊形BEDF是菱形．【答案】見解析【分析】由正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，由“SAS”可證△ABE≌△ADE，△BFC≌△DFC，△ABE≌△CBF，可得BE=BF=DE=DF，可得結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE=DE，同理可得△BFC≌△DFC，可得BF=DF，∵AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE=BF，∴BE=BF=DE=DF，∴四邊形BEDF是菱形．【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．19．（2020·湖北咸寧市·中考真題）如圖，在中，以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，在上截取，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）請(qǐng)用無刻度的直尺在內(nèi)找一點(diǎn)P，使（標(biāo)出點(diǎn)P的位置，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出AF∥BE，由作圖過程可知AF=BE，結(jié)合AB=BE即可證明；（2）利用菱形對(duì)角線互相垂直的性質(zhì)，連接AE和BF，交點(diǎn)即為點(diǎn)P.【詳解】解：（1）根據(jù)作圖過程可知：AB=BE，AF=BE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AF∥BE，∵AF=BE，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB=BE，∴平行四邊形ABEF為菱形；（2）如圖，點(diǎn)P即為所作圖形，∵四邊形ABEF為菱形，則BF⊥AE，∴∠APB=90°.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相應(yīng)的性質(zhì)進(jìn)行畫圖.20．（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊長是方程的根，連接，，并過點(diǎn)作，垂足為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度沿方向勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為止；點(diǎn)沿線段以每秒個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)為止，點(diǎn)與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒

（1）線段______；（2）連接和，求的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）(，)或(，)【分析】（1）解方程求出AB的長，由直角三角形的性質(zhì)可求BD，BC的長，CN的長；（2）分三種情況討論，由三角形的面積可求解；（3）分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解．【詳解】（1）解方程得：(舍去)，∴AB=6，∵四邊形是矩形，，∴AB=CD=6，BD=2AB=12，∴BC=AD=，∵，∴，故答數(shù)為：；（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥BD于H，

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴MH=MD=，

∵∠DBC=30°，CN⊥BD，∴BN=，當(dāng)點(diǎn)P在線段BN上即時(shí)，△PMN的面積；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合即時(shí)，s=0，當(dāng)點(diǎn)P在線段ND上即時(shí)，△PMN的面積；∴；（3）如圖，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，

當(dāng)PN=PM=9-2t時(shí)，則DM=，MH=DM=，DH=，∵，∴，解得：或，即或，則BE=或BE=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)；當(dāng)PN=NM=9-2t時(shí)，∵，∴，解得或24（不合題意舍去），∴BP=6，PE=BP=3，BE=PE=3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)或(，)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，三角形的面積公式，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．21．（2020·湖北荊州市·中考真題）如圖矩形ABCD中，AB=20，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，將沿著AE折疊，點(diǎn)B剛好落在CD邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)F在DG上，將沿著AF折疊，點(diǎn)D剛好落在AG上點(diǎn)H處，此時(shí)．（1）求證：（2）求AD的長；（3）求的值．【答案】（1）見解析；（2）12；（3）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠B=∠D=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，證得∠EGC=∠GFH，則可得出結(jié)論；（2）由面積關(guān)系可得出GH：AH=2：3，由折疊的性質(zhì)得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，則可得出答案；（3）由勾股定理求出DG=16，設(shè)DF=FH=x，則GF=16-x，由勾股定理得出方程，解出x=6，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形所以，(2)解：(3)解：在直角三角形ADG中，由折疊對(duì)稱性知，解得：x=6，所以：HF=6

在直角三角形GHF中，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．1．（2020·四川瀘州市·中考真題）下列命題是假命題的是（）A．平行四邊形的對(duì)角線互相平分 B．矩形的對(duì)角線互相垂直C．菱形的對(duì)角線互相垂直平分 D．正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等【答案】B【分析】利用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)解題即可.【詳解】解：A、正確，平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故選項(xiàng)不符合；

B、錯(cuò)誤，應(yīng)該是矩形的對(duì)角線相等且互相平分，故選項(xiàng)符合；

C、正確，菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，故選項(xiàng)不符合；

D、正確，正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分，故選項(xiàng)不符合；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理、特殊四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)，屬于中考常考題型．2．（2020·湖北襄陽市·中考真題）已知四邊形是平行四邊形，，相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．，B．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形C．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形D．當(dāng)且時(shí)，四邊形是正方形【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，菱形，矩形，正方形的判定逐一判斷即可．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，故A正確，

四邊形是平行四邊形，，不能推出四邊形是菱形，故錯(cuò)誤，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，故C正確，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是正方形．故D正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，則菱形的面積為（）A．72 B．24 C．48 D．96【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得O為BD的中點(diǎn)，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得BD的長度，最后由菱形的面積公式求得面積．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴菱形的面積.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得BD．4．（2020·廣西貴港市·中考真題）如圖，動(dòng)點(diǎn)在邊長為2的正方形內(nèi)，且，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則線段的最小值為（）A． B． C． D．

【答案】A【分析】作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E，設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接OE，交DC于點(diǎn)P，連接PE，由軸對(duì)稱的性質(zhì)及90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，可知線段PE＋PM的最小值為OE的值減去以AB為直徑的圓的半徑OM，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解答：解：作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E，設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接OE，交DC于點(diǎn)P，連接PE，如圖：

∵動(dòng)點(diǎn)M在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)，且AM⊥BM，∴點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，OM＝AB＝1，

∵正方形ABCD的邊長為2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中點(diǎn)，∴DE＝AD＝×2＝1，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)E關(guān)于DC對(duì)稱，∴DE＝DE＝1，PE＝PE，∴AE＝AD＋DE＝2＋1＝3，

在Rt△AOE中，OE＝＝＝，∴線段PE＋PM的最小值為：

PE＋PM＝PE＋PM＝ME＝OE?OM＝?1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問題、圓周角定理的推論、正方形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．5．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)B停止，延長EO交CD于點(diǎn)F，則四邊形AECF形狀的變化依次為（）A．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形B．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形

C．平行四邊形→正方形→菱形→矩形D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形AECF形狀的變化情況．【詳解】解：觀察圖形可知，四邊形AECF形狀的變化依次為平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了中心對(duì)稱，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，根據(jù)EF與AC的位置關(guān)系即可求解．6．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)在上且，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為（）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)的周長最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案.【詳解】連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴BF=DF，∴的周長=BF+EF+BE=DE+BE，此時(shí)周長最小，∵正方形的邊長為4，∴AD=AB=4，∠DAB=90°，∵點(diǎn)在上且，∴AE=3，∴DE=，∴的周長=5+1=6，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角以及正方形的對(duì)稱性質(zhì)，還考查了勾股定理的計(jì)算，依據(jù)對(duì)稱性得到連接DE交AC于點(diǎn)F是的周長有最小值的思路是解題的關(guān)鍵.7．（2020·廣東中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)，分別在邊，上，

．若將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上，則的長度為（）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折疊得到∠FEB=∠FEB’=60°，進(jìn)而得到∠AEB’=60°，然后在Rt△AEB’中由30°所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠EFD=∠FEB=60°，由折疊前后對(duì)應(yīng)角相等可知：∠FEB=∠FEB’=60°，∴∠AEB’=180°-∠FEB-∠FEB’=60°，∴∠AB’E=30°，設(shè)AE=x,則BE=B’E=2x，∴AB=AE+BE=3x=3，∴x=1，∴BE=2x=2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題借助正方形考查了折疊問題，30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)點(diǎn)，折疊問題的性質(zhì)包括折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，折疊產(chǎn)生角平分線，由此即可解題．8．（2020·湖南懷化·中考真題）在矩形中，、相交于點(diǎn)，若的面積為2，則矩形的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面積.【解析】∵四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD，∴,

∴矩形的面積為,故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線相等，且互相平分，由此可以將矩形的；面積四等分，由此可以解決問題，熟記矩形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.9．（2020·遼寧錦州市·中考真題）如圖，在菱形中，P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E．于點(diǎn)F．若菱形的周長為20，面積為24，則的值為（）A．4 B． C．6 D．【答案】B【分析】連接BP，通過菱形的周長為20，求出邊長，菱形面積為24，求出SABC的面積，然后利用面積法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值．【詳解】解：連接BP，∵菱形ABCD的周長為20，∴AB=BC=20÷4=5，又∵菱形ABCD的面積為24，∴SABC=24÷2=12，又SABC=SABP+SCBP∴SABP+SCBP=12，∴，∵AB=BC，∴∵AB=5，∴PE+PF=12×=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于添加輔助線，通過面積法得出等量關(guān)系，求出PF+PE的值．10．（2020·四川綿陽市·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝27，AD＝2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得△A'B'C，當(dāng)A'B'恰好經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，△B'CD為等腰三角形，若

A．11 B．23 C．13 D．14【答案】A【分析】過D作DE⊥BC于E，則∠DEC=∠DEB=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得BE=AD=2，DE=AB=27，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DB'C=∠ABC=90°，B'C=BC，A'C=AC，∠A'CA=∠B'CB，推出△B'CD為等腰直角三角形，得到CD=2B'C，設(shè)B'C=BC=x，則CD=【解析】解：過D作DE⊥BC于E，則∠DEC=∠DEB=90°，∵AD//BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四邊形ABED是矩形，∴BE=AD=2，DE=AB=27∵將ΔABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得△A'B'C，∴∠DB'C=∠ABC=90°，B'C=BC，A'C=AC，∠A'CA=∠B'CB，∴△A'CA∽△B'CB，∴A'AB'B∵△B'CD為等腰三角形，∴△B'CD為等腰直角三角形，∴CD=2設(shè)B'C=BC=x，則CD=2x，CE=x?2，∵CD∴x=4（負(fù)值舍去），∴BC=4，∴AC=AB2+BC2=211，【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．11．（2020·黑龍江大慶市·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，，分別為與的中點(diǎn)，一個(gè)三角形沿豎直方向向上平移，在運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)恒在直線上，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，恰與，兩邊的中點(diǎn)重合．設(shè)點(diǎn)到的距離為，三角形與正方形的公共部分的面積為，則當(dāng)時(shí)，的值為（）

A．或 B．或 C． D．或【答案】A【分析】本題應(yīng)該分類討論，從以下三個(gè)情況進(jìn)行討論，分別是：①當(dāng)x<1時(shí)，重疊部分為直角三角形的面積，將其三角形面積用x表示，但是求出，與x<1相違背，要舍去；②當(dāng)1<x<2時(shí)，除去重疊部分，剩下的圖形為兩個(gè)直角梯形的面積，將剩余的直角梯形ANHP用x表示，求出x即可；③當(dāng)x>2時(shí)，重疊部分為一個(gè)多邊形，可以從剩余部分的角度進(jìn)行求解，分別將矩形PQFE、、的面積用x表示，求出x即可，將x求出后，應(yīng)該與前提條件假設(shè)的x的范圍進(jìn)行比較，判斷x的值．【詳解】解：∵在邊長為2的正方形EFGH中，如圖所示，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到MN的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E、F恰好與AB、AC的中點(diǎn)重合，即AM=EM=FM=1，且MNEF，∴AME和AMF均為等腰直角三角形，可得：ABC也是等腰直角三角形，其中AB=AC=，BC=4，設(shè)A到EF的距離AM=x，①當(dāng)x<1時(shí)，此時(shí)圖形的位置如下圖所示，AB與EF交于P點(diǎn)，AC與EF交于Q點(diǎn)，∵AM=x，且△APQ為等腰直角三角形，∴，解得：，但是與前提條件x<1相違背，故不存在該情況；

②當(dāng)1<x<2時(shí)，此時(shí)圖形的位置如下圖所示，AB與EH交于P點(diǎn)，AC與GF交于Q點(diǎn)，∵公共部分面積為，正方形剩余部分，∴，四邊形ANHP是直角梯形，當(dāng)AM=x，則AN=2-x，PE=x-1，HP=3-x，NH=1，∴，解得：；③當(dāng)2＜x＜3時(shí)，此時(shí)圖形的位置如下圖所示，AB與EH交于K點(diǎn)，AB與HG交于I點(diǎn)，AC與FG交于L點(diǎn)，AC與HG交于J點(diǎn)，BC與EH交于P點(diǎn)，BC與GF交于Q點(diǎn)，∵公共部分面積為，∴，且，解得：或（舍），④當(dāng)x=3時(shí)，H,G分別是AB,AC的中點(diǎn)，此時(shí)重合的部分的面積為2，不符合題意；⑤當(dāng)x≥3時(shí)，重合的面積小于2，也不符合題意；所以，滿足條件的AM的值為或，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考察了移動(dòng)圖形間的重疊問題，需要進(jìn)行分類討論，必須要把x的移動(dòng)范圍進(jìn)行分類，根據(jù)不同的x取值，畫出不同重疊的圖形，并將重疊部分的面積用x進(jìn)行表示，解題的關(guān)鍵在于利用剩余部分的面積進(jìn)行倒推求解．12．（2020·廣西中考真題）如圖，在邊長為的菱形中，，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且與交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為_____．

【答案】【分析】根據(jù)題意證得，推出∠BPE=60，∠BPD=120，得到C、B、P、D四點(diǎn)共圓，知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為的長，利用弧長公式即可求解．【詳解】連接BD，∵菱形中，，∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，∴△ABD和△CBD都為等邊三角形，∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，∵DF=AE，∴，∴∠DBF=∠ADE，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF=∠BDP+∠ADE=∠BDF=60，∴∠BPD=180-∠BPE=120，∵∠C=60，∴∠C+∠BPD=180，∴C、B、P、D四點(diǎn)共圓，即⊙O是的外接圓，∴當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為的長，∴∠BOD=2∠BCD=120，作OG⊥BD于G，根據(jù)垂徑定理得：BG=GD=BD=，∠BOG=∠BOD=60，∵，即，∴，從而點(diǎn)的路徑長為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)準(zhǔn)確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．13．（2020·柳州市柳林中學(xué)中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AD上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰好落在線段BF上的H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正確的是_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①②④【分析】①根據(jù)折疊、矩形的性質(zhì)進(jìn)行推理即可；②根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊的比計(jì)算分析即可；③由矩形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定定理計(jì)算分析即可；④由矩形的性質(zhì)可得CD的長，根據(jù)CE＝CD﹣ED求得CE的值，則可求得答案．【詳解】解：①由折疊的性質(zhì)可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°．故①正確；②由折疊的性質(zhì)可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，∴HF＝BF﹣BH＝4，∴＝＝＝，∴2S△BFG＝5S△FGH；故②正確；③∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，AF＝＝8，設(shè)GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴AG＝3，∴FD＝2；同理可得ED＝，∴＝＝2，＝＝，∴≠，∴△ABG與△DEF不相似，故③錯(cuò)誤；④∵CD＝AB＝6，ED＝，∴CE＝CD﹣ED＝，∴＝，∴4CE＝5ED．故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論的序號(hào)為①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．14．（2020·遼寧營口市·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，其中OA＝1，OB＝2，則菱形ABCD的面積為_____．【答案】4【分析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線之積的一半可得答案．【詳解】解：∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，

∴菱形ABCD的面積為×2×4＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì),關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí).15．（2020·福建中考真題）設(shè)是反比例函數(shù)圖象上的任意四點(diǎn)，現(xiàn)有以下結(jié)論：①四邊形可以是平行四邊形；②四邊形可以是菱形；③四邊形不可能是矩形；④四邊形不可能是正方形．其中正確的是_______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①④【分析】利用反比例函數(shù)的對(duì)稱性，畫好圖形，結(jié)合平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定可以得到結(jié)論，特別是對(duì)②的判斷可以利用反證法．【詳解】解：如圖，