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必修5第一章解三角形【根底梳理夯實(shí)】一、自主梳理1.正弦定理:(1)在一個(gè)三角形中,各邊的長和它______________的_________的比相等.即_________=________=2R(R為____________________).(2)變形:①②(其主要作用為“邊化角”或“角化邊”,從而消除差異,到達(dá)化簡求值的目的)2.余弦定理:(1)三角形中任何一邊的________等于其他兩邊的____________減去這兩邊與它們的______的余弦的積的________.即a2=___________________,b2=__________________,c2=________________.(2)余弦定理的推論cosA=________________;cosB=________________;cosC=________________.(3)變形:__________;__________;___________.3.常用的其它公式:(1)在中,假設(shè)A>B,那么____,假設(shè)sinA>sinB,那么A_____B.(用“<”、“>”或“=”填空).(2)在中,,那么__________;____________.(3)_____=___________________=__________________.4.(1)用正弦定理可以解決“兩角和一邊,求解三角形”和“兩邊和其中一邊的對角,求解三角形”兩類問題.在中,A,a,b,解三角形(A為銳角).當(dāng)____________________時(shí),該三角形一解;當(dāng)___________________時(shí),該三角形兩解;當(dāng)__________________時(shí),該三角形無解.假設(shè)A為鈍角,那么當(dāng)_________時(shí),該三角形一解,否那么,無解.(2)用余弦定理可以解決“三邊,求解三角形”,“兩邊和夾角,求解三角形”和“兩邊和其中一邊的對角,求解三角形”三類問題.5.知識鏈接:兩角和、差的正余弦展開式:=__________________________________;=___________________________;=_______________________________;=__________________________.=_______________;=_______=____________.6.應(yīng)用舉例:①明確“仰角、俯角”,“坡度”,“北偏東”等含義;②抽象概括出數(shù)學(xué)模型;③將條件和所求元素集中在恰當(dāng)?shù)娜切沃?;④選取適宜的“工具”(正、余弦定理),有序地求解.二、根底練習(xí)1.在△ABC中,假設(shè)∠A=60°,∠B=45°,BC=3eq\r(2),那么AC=()A.4eq\r(3)B.2eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)2.中,a、b、c分別為A,B,C的對邊,,那么=()A.B.或C.D.或3.在中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,假設(shè)那么角A=〔〕A. B. C. D.4.a(chǎn),b,c是△ABC三邊之長,假設(shè)滿足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,那么角C的大小為()A.60°B.90°C.120°D.150°5.假設(shè)的面積為,,那么邊長AB的長度等于.【題型歸類突破】題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且有.(1)求角A的大小;(2)假設(shè)b=2,c=1,D為BC的中點(diǎn),求AD的長.題型二判斷三角形形狀例2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC(1)求角A的大??;(2)假設(shè)sinB·sinC=sin2A,,試判斷△ABC的形狀題型三應(yīng)用舉例例3.如圖,A,B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測點(diǎn),現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營救,其航行速度為30海里/小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間?題型四三角形中的幾何計(jì)算例4.a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,acosC+eq\r(3)asinC-b-c=0.(1)求A;(2)假設(shè)a=2,△ABC的面積為eq\r(3),求b,c.【穩(wěn)固練習(xí)】1.在△ABC中,A=eq\f(π,3),AB=2,且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2),那么邊AC的長為 ().A.1B.eq\r(3)C.2D.eq\r(2)2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,假設(shè)sin2A+sin2C-sin2B=eq\r(3)sinAsinCB=().A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2,3)πD.eq\f(5,6)π3.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.假設(shè)b+c=2a,3sinA=5sinB,那么角C=(A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)4.在△ABC中,∠ABC=eq\f(π,4),AB=eq\r(2),BC=3,那么sin∠BAC= ().A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(\r(5),5)5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.假設(shè),那么△的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定6.如下圖,在山腳A處測得山頂B的仰角∠CAB=45°,沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000m到達(dá)S點(diǎn),又測得山頂仰角∠DSB=75°,那么山高BC為()A.500QUOTEm B.200mC.1000QUOTEm D.1000m7.在△ABC中,假設(shè),,∠,那么∠C的大小為________.8.在△ABC中,以下結(jié)論:①,那么△ABC為鈍角三角形;②,那么A為60°;③,那么△ABC為銳角三角形;④假設(shè)A:B:C=1:2:3,那么a:b:c=1:2:3,其中正確的選項(xiàng)是_______.9.在中,內(nèi)角所對邊的長分別為,假設(shè)的面積,那么C=.10.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,假設(shè)b=1,c=eq\r(3),C=eq\f(2,3)π,那么S△ABC=________.11.要測量對岸A,B兩點(diǎn)之間的距離,選取相距eq\r(3)km的C,D兩點(diǎn),并測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,那么AB=______________.12.△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosB+eq\r(3)bsinA=c.(1)求角A的大小;(2)假設(shè)a=1,eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))=3,求b+c的值.例3.解:由題意知海里,在中,由正弦定理得=〔海里〕,又海里,在中,由余弦定理得=30〔海里〕,那么需要的時(shí)間〔小時(shí)〕。答:救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)。16、〔本小題總分值1
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