高三人教A版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第七章立體幾何與空間向量第2節(jié)

第七章第2節(jié)[基礎(chǔ)訓(xùn)練組]1．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577626)如圖是一個(gè)四棱錐在空間直角坐標(biāo)系xOz、xOy、yOz三個(gè)平面上的正投影，則此四棱錐的體積為()A．94 B．32C．64 D．16解析：B[由已知的三視圖可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，其底面面積S＝(6－2)2＝16，高h(yuǎn)＝8－2＝6，所以四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh＝32，故選B.]2．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577627)(2018·長(zhǎng)春市二模)塹堵，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名詞，其三視圖如圖所示．《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有塹堵，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，問(wèn)積幾何？”意思是說(shuō)：“今有塹堵，底面寬為2丈，長(zhǎng)為18丈6尺，高為2丈5尺，問(wèn)它的體積是多少？”(注：一丈＝十尺)．()A．25500立方尺 B．34300立方尺C．46500立方尺 D．48100立方尺解析：C[由已知，塹堵形狀為棱柱，底面是直角三角形，其體積為eq\f(1,2)×20×186×25＝46500立方尺．故選C.]3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577628)(2018·烏魯木齊市三診)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．8＋2π B．8＋3πC．10＋2π D．10＋3π解析：D[根據(jù)三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體和半個(gè)圓柱組合所成，其表面積S表面積＝1×1×2＋1×2×4＋π×12＋2×π×1＝10＋3π.故選D.]4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577629)(2018·柳州市、欽州市一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則它的體積為()A．48 B．16C．32 D．16eq\r(5)解析：B[根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O－ABCD，正方體的棱長(zhǎng)為4，O、A、D分別為棱的中點(diǎn)，∴OD＝2eq\r(2)，AB＝DC＝OC＝2eq\r(5).作OE⊥CD，垂足是E.∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，則四邊形ABCD是矩形．∵CD∩BC＝C，∴OE⊥平面ABCD.∵△ODC的面積S＝4×4－eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×2×4×2＝6，∴6＝eq\f(1,2)·CD·OE＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×OE，得OE＝eq\f(6,\r(5))，∴此四棱錐O－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)S矩形ABCD·OE＝eq\f(1,3)×4×2eq\r(5)×eq\f(6,\r(5))＝16.故選B.]5．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577630)(2018·濮陽(yáng)市一模)某幾何體的三視圖如圖所示，圖中四邊形都是邊長(zhǎng)為2的正方形，兩條虛線相互垂直，則該幾何體的體積是()A.eq\f(20,3) B.eq\f(16,3)C．8－eq\f(π,6) D．8－eq\f(π,3)解析：D[由已知中的三視圖可知該幾何體是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體，挖去了一半徑為1，高為1的圓錐(如圖)，正方體的體積為V正方體＝2×2×2＝8，圓錐的體積為V錐＝eq\f(1,3)×12×π×1＝eq\f(1,3)π，所以該幾何體的體積V＝8－eq\f(π,3).故選D.]6．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577631)(2018·黃山市二模)祖暅(公元前5～6世紀(jì))，祖沖之之子，是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家．他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖將底面直徑皆為2b，高皆為a的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面于距平面β任意高d處可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面，可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，短軸長(zhǎng)為4cm，長(zhǎng)軸為6cm的橢球體的體積是__________解析：因?yàn)榭傆蠸圓＝S環(huán)，所以橢半球體的體積等于V柱－V錐＝πb2a－eq\f(1,3)πb2a＝eq\f(2,3)πb2a，橢球體的體積為V＝eq\f(4,3)πb2a.∵2b＝4,2a＝6，∴b＝2，a＝3，所以，該橢球體的體積是eq\f(4,3)×22×3π＝16π.答案：16π7．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577632)(2018·杭州二模)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是________cm3，表面積是________cm2.解析：由該幾何體的三視圖，知該幾何體是三棱柱與兩個(gè)相同的四棱錐的組合體，如圖所示；該組合體的體積為V＝V四棱錐D－AEGA1＋V三棱柱DEG－CFH＋V四棱錐C－BFHD1＝eq\f(1,3)×(2×4)×3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×3))×4＋eq\f(1,3)×(2×4)×3＝8＋24＋8＝40(cm3)；它的表面積為S＝S矩形ABB1A1＋2S梯形ABCD＋2S△ADA＝8×4＋2×eq\f(1,2)×(4＋8)×eq\r(22＋32)＋2×eq\f(1,2)×4×eq\r(22＋32)＝32＋16eq\r(3)cm2.答案：40,32＋16eq\r(13)8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577633)(理科)已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D－ABC，當(dāng)三棱錐D－ABC的體積取最大值時(shí)，其外接球的體積為_(kāi)_______.解析：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，將其沿AC折疊成三棱錐，如圖，則AB＝2，AD＝1，CD＝1，∴AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2)，∴BC⊥AC.取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)O，連結(jié)DE，OE.∵三棱錐D－ABC體積最大時(shí)，∴此時(shí)有平面DCA⊥平面ACB，∴OB＝OA＝OC＝OD，∴OB＝1，就是外接球的半徑為1，此時(shí)三棱錐外接球的體積為eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3).答案：eq\f(4π,3)8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577634)(文科)(2018·咸陽(yáng)市二模)已知一個(gè)三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為eq\r(2)，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為_(kāi)_______.解析：如圖O是棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心，所以O(shè)E為內(nèi)切球的半徑，設(shè)OA＝OB＝R，在等邊三角形BCD中，BE＝eq\f(\r(6),3)，AE＝eq\r(2－\f(6,9))＝eq\f(2\r(3),3).由OB2＝OE2＋BE2，即有R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－R))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2，解得R＝eq\f(\r(3),2)，內(nèi)切球的半徑OE＝AE－R＝eq\f(\r(3),6)，內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))3＝eq\f(\r(3),54)π.答案：eq\f(\r(3),54)π9．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺(tái)側(cè)＋S圓臺(tái)下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺(tái)－V圓錐＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.10．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577635)如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC為等邊三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M為AA′的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC′到M的最短路線長(zhǎng)為eq\r(29)，設(shè)這條最短路線與CC′的交點(diǎn)為N，求：(1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；(2)PC與NC的長(zhǎng)；(3)三棱錐C－MNP的體積．解：(1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為一邊長(zhǎng)分別為4和9的矩形，故對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(42＋92)＝eq\r(97).(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB′展開(kāi)，如下圖，設(shè)PC＝x，則MP2＝MA2＋(AC＋x)2.∵M(jìn)P＝eq\r(29)，MA＝2，AC＝3，∴x＝2，即PC＝2.又∵NC∥AM，故eq\f(PC,PA)＝eq\f(NC,AM)，即eq\f(2,5)＝eq\f(NC,2).∴NC＝eq\f(4,5).(3)S△PCN＝eq\f(1,2)×CP×CN＝eq\f(1,2)×2×eq\f(4,5)＝eq\f(4,5).在三棱錐M－PCN中，M到平面PCN的距離，即h＝eq\f(\r(3),2)×3＝eq\f(3\r(3),2).∴VC－MNP＝VM－PCN＝eq\f(1,3)·h·S△PCN＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(2\r(3),5).[能力提升組]11．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577636)(理科)(2018·茂名市一模)過(guò)球O表面上一點(diǎn)A引三條長(zhǎng)度相等的弦AB、AC、AD，且兩兩夾角都為60°，若球半徑為R，則弦AB的長(zhǎng)度為()A.eq\f(2\r(6),3)R B.eq\f(\r(6),3)RC．R D.eq\r(6)R解析：A[由條件可知A－BCD是正四面體，如圖：A、B、C、D為球上四點(diǎn)，則球心O在正四面體中心．設(shè)AB＝a，則過(guò)點(diǎn)B、C、D的截面圓半徑r＝O1B＝eq\f(2,3)BE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，正四面體A－BCD的高AO1＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2)＝eq\f(\r(6),3)a，則截面BCD與球心的距離d＝OO1＝eq\f(\r(6),3)a－R，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＝R2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a－R))2，解得a＝eq\f(2\r(6),3)R.故選A.]11．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577637)(文科)(2018·廣東湛江市二模)底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)面是等邊三角形的四棱錐，該四棱錐的外接球的體積為()A.eq\f(\r(2)π,3) B.eq\f(\r(3)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2) D.eq\f(2\r(2)π,3)解析：A[底面ABCD外接圓的半徑是eq\f(\r(2),2)，即AO＝eq\f(\r(2),2)，則PO＝eq\r(1－\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)，∴四棱錐的外接球的半徑為eq\f(\r(2),2)，∴四棱錐的外接球的體積為eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2)π,3).故選A.]12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577638)(2018·郴州市二模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是()(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺(tái)體的體積公式V＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上S下)＋S下)·h)A．2寸 B．3寸C．4寸 D．5寸解析：B[如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．∵積水深9寸，∴水面半徑為eq\f(1,2)(14＋6)＝10寸，則盆中水的體積為eq\f(1,3)π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)，∴平地降雨量等于eq\f(588π,π×142)＝3(寸)．故選B.]13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577639)(2018·淮北市二模)中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑(biēnào)．若三棱錐P－ABC為鱉臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，又該鱉臑的外接球的表面積為24π，則該鱉臑的體積為_(kāi)_______.解析：由題意，三棱錐P－ABC為鱉臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，如圖，∠PAB＝∠PAC＝∠ABC＝∠PBC＝90°，又該鱉臑的外接球的表面積為24π，可知PC為外接球的直徑，則R2＝eq\f(24π,4π)＝6，BC＝eq\r(2\r(6)2－2\r(2)2)＝4，該鱉臑的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×2＝eq\f(8