湖南省衡陽市田家炳實驗中學高三12月月考數(shù)學試題

高三12月月考數(shù)學試卷（問卷）（滿分：150分，時間：120分鐘）一、單項選擇題（本大題共8小題，共40分）1.已知復數(shù)z=5+3i1-iA.z的虛部為4i；B.z在復平面內對應的點在第二象限；C.|z|=5；D.z的共軛復數(shù)為1-4i

2.已知集合，則A∩B=(

)3.通過隨機詢問200名性別不同的大學生是否愛好踢毽子運動，計算得到統(tǒng)計量K2的觀測值k≈4.892，參照附表，得到的正確結論是(????)P(0.100.050.025k2.7063.8415.024有97.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

B.有97.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

C.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”D.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”4.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓．如圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為(????)114 B.5C.528 D.15..若函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在RA. B. C.D.6.現(xiàn)有5名學生，甲、乙、丙、丁、戊排成一隊照相，則甲與乙相鄰，且甲與丁不相鄰的站法種數(shù)為(????)A.22B.24 C.36 D.207.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足：函數(shù)y=f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱，且當x∈(-∞,0)時，f(x)+xf'(x)<0成立(f'(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，若a=sinπ6fsinπ6，b=(ln2)f(ln2)，c=2flog121A.b>a>c B.a>b>c C.c>a>b D.a>c>b二、多項選擇題（本大題共4小題，共20分）9.給出下列命題，其中正確命題為(????)A.若回歸直線的斜率估計值為0.25，樣本點中心為2,3，則回歸直線的方程為y=0.25x+2.5

B.隨機變量ξ～?B(n,p)，若Eξ=30，Dξ=20，則n=90

C.隨機變量X服從正態(tài)分布N1,σ2，PX>1.5=0.34，則PX<0.5=0.1610.將曲線y=sin2x-3sin(π-x)sin(x+3π2)上每個點的橫坐標伸長為原來的2倍A.g(x)的圖象關于直線x=3π2B.g(x)在[0,π]上的值域為[0,32]

C.g(x)D.g(x)的圖象可由y=cosx+111.以下四個命題表述正確的是(????)直線3+mx+4y-3+3m=0x∈R恒過定點（2,3）；

B.圓x2+y2=4上有且僅有3個點到直線l:x-y+2=0的距離都等于1

C.曲線C1:x2+y2+2x=0與曲線12.已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側面PCD⊥平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26.A.BM⊥平面PCD;B.PA//平面MBD

C.四棱錐M-ABCD外接球的表面積為36π；D.三棱錐MPAD的體積為三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知向量a,b夾角為45°，且a=1,2a-14.在(x+3x)n的的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為32，則在(x+3x)15..已知tanαtanα+π4=-216.已知點P在曲線y=4ex+1上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α四、解答題（本大題共6小題，共70分）17題（滿分10分）.已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足b2+c2-a2=c(acosC+ccosA)．

(Ⅰ)求角A的大?。?/p>

(Ⅱ)若△ABC的面積為

18題（滿分12分）.設{an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b19題（滿分12分）.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和側面BCC1B1(1)求證：平面CC1D(2)若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為20.題（滿分12分）2019年春節(jié)期間，某超市舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過800元(含800元)，均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種．方案一：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球，其中獎規(guī)則為：若摸到3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球則打6折，若摸出1個紅球，則打7折；若沒摸出紅球，則不打折．方案二：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元．(1)若兩個顧客均分別消費了800元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？

21題（滿分12分）.已知橢圓C的中心在原點，離心率等于12，它的一個短軸端點恰好是拋物線x2=83y的焦點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，已知P(2,3)，Q(2,-3)是橢圓上的兩點，A

①若直線AB的斜率為12，求四邊形APBQ面積的最大值；

②當A，B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值？請說明理由．22.已知函數(shù)f(x)=x2(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)恰好有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

高三數(shù)學12月月考卷解答題答案單項選擇題（每小題5分，共40分）題號12345678選項DDDBCCBC多項選擇題（每小題5分，共20分）題號9101112選項ABDBDBCDBCD填空題（每小題5分，共20分）四、解答題（本大題共6小題，）17題（10分）已知△ABC的內角X的對邊分別為X，滿足b2+c2?a2=c(acosC+ccosA)．

(Ⅰ)求角A的大?。?/p>

(Ⅱ若△ABC的面積為【答案】解：(Ⅰ)∵b2+c2?a2=c(acosC+ccosA)，

由余弦定理得，b2+c2?a2=c(aa2+b2?c22ab+cb2+c2?a22bc)【解析】(Ⅰ)由余弦定理化簡已知等式得b2+c2?a2=bc，可求cosA的值，結合范圍0<A<π，可求A的值．

(Ⅱ)利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB的值，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，進而根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin(2B+A)的值．

(Ⅲ)由已知利用三角形的面積公式可求18題（12分）設{an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b【答案】(Ⅰ)解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2?q?2=0．

∵q>0，可得q=2．

故an=2n?1．

設等差數(shù)列{bn}的公差為d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，

由a5=b4+2b6，得3【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和等基礎知識，考查利用裂項相消法求和，是中檔題．

(Ⅰ)設等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知列式求得q，則數(shù)列{an}的通項公式可求；等差數(shù)列{bn}的公差為d，再由已知列關于首項與公差的方程組，求得首項與公差，可得等差數(shù)列的通項公式；

(Ⅱ)(i)由等比數(shù)列的前n項和公式求得Sn，再由分組求和及等比數(shù)列的前n項和求得數(shù)列{S19題（12分）如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD和側面BCC1B1(1)求證：平面CC1D(2)若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為【答案】解：(1)證明：∵底面ABCD和側面SCC1B1都是矩形，

∴BC⊥CD，BC⊥CC1

∵CD∩CC1=C，∴BC⊥平面DCC1D1

∵D1E?平面DCC1D1，∴BC⊥D1E，

∵D1E⊥CD，BC∩CD=C，∴D1E⊥底面ABCD

∵D1E?平面DCC1D1，

∴平面CC1D1D⊥底面ABCD．

(2)取AB的中點F

∵E是CD的中點，底面ABCD是矩形，

∴EF⊥CD

以E為原點，以EF、EC、ED1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系E?xyz如圖所示．

設ED1=a(a>0)，則E(0,0，0)，B(1,1，0)，D1(0,0，a)，C(0,1，0)，C1(0,2，a)

設平面BED1的法向量n1=(x1,y1,z1)，EB=(1,1,0)，ED1=(0,0,a)．

由n1?EB=0n1?ED1=0可得x1+y1=0【解析】本題重點考查面面垂直的判定、二面角和線面角，考查推理能力和計算能力，屬于一般題．

(1)通過求證D1E⊥底面ABCD，即可求證平面CC1D1D⊥底面ABCD；

(2)建立空間直角坐標系，設ED1=a(a>0)，由平面BCC120題（12分）2019年春節(jié)期間，某超市舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過800元(含800元)，均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種．方案一：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球，其中獎規(guī)則為：若摸到3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球則打6折，若摸出1個紅球，則打7折；若沒摸出紅球，則不打折．方案二：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元．(1)若兩個顧客均分別消費了800元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？【答案】解：(1)選擇方案一，若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出3個紅球，

設顧客享受到免單優(yōu)惠為事件A，則

P(A)=C33C103=1120，

所以兩位顧客均享受到免單的概率為

P=P(A)?P(A)=114400；

(2)若選擇方案一，設付款金額為X元，則

X可能的取值為0，600，700，1000；X06007001000P17217所以E(X)=0×1120+600×740+700×2140+1000×724=76416(元)；

若選擇方案二，設摸到紅球的個數(shù)為Y，付款金額為Z元，則Z=1000?200Y，

【解析】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題，是中檔題．

(1)選擇方案一，利用積事件的概率公式計算兩位顧客均享受到免單的概率值；

(2)選擇方案一，計算所付款金額X的分布列和數(shù)學期望值，

選擇方案二，計算所付款金額Z的數(shù)學期望值，比較得出結論．

21題（12分）已知橢圓C的中心在原點，離心率等于12，它的一個短軸端點恰好是拋物線x2=83y的焦點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，已知P(2,3)，Q(2,?3)是橢圓上的兩點，A

①若直線AB的斜率為12，求四邊形APBQ面積的最大值；

②當A，B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值？請說明理由．【答案】解：(1)設橢圓C的方程為x2∵拋物線的焦點為(0,2∴b=23由ca=12，∴橢圓C的方程為x2(2)設A(x1①設直線AB的方程為y=1代入x2得x2由Δ>0，解得?4<t<4，∴x1+∴|x∴四邊形APBQ的面積S=1∴當t=0時，S取得最大值，且Smax②若∠APQ=∠BPQ，則直線PA，PB的斜率之和為0，

設直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為?k，直線PA的方程為y?3=k(x?2)，由y?3=k(x?2),x216+y∴x將k換成?k可得x2∴x1+∴k∴直線AB的斜率為定值12【解析】本題考查橢圓標準方程和幾何意義、拋物線的幾何意義、直線與橢圓的位置關系以及圓錐曲線中的定值問題，屬于較難的題目；(1)設橢圓C的方程為x2a2+y(2)①設A(x1,y1)，B(x2,②若∠APQ=∠BPQ，則直線PA，PB的斜率之和為0，

設直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為?k，直線PA的方程為y?3=k(x?2)，由y?3=k(x?2),x216+y212=1消去22題（12分）已知函數(shù)f(x)=x2(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)恰好有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】解：(1)f′(x)=2x?(2a+1)+ax=2x2?(2a+1)x+ax=(2x?1)(x?a)x(x>0)，

①當a≤0時，x?a>0，故由f′(x)<0得0<x<12，f′(x)>0得x>12，

所以f(x)在0,12上單調遞減，在12,+∞上單調遞增；

②當a>0時，由f′(x)=0得x=12或x=a，

(ⅰ)若0<a<12，則由f′(x)<0得a<x<12，f′(x)>0得0<x<a或x>12，

f(x)在(0,a)上單調遞增，在a,12上單調遞減，在12,+∞上單調遞增；

(ⅱ)若a=12，則由f′(x)=(2x?1)22x≥0，f(x)在(0,+∞)上單調遞增；

(ⅲ)若a>12，則由f′(x)<0得12<x<a，f′(x)>0得0<x<12或x>a，

f(x)在0,12上單調遞增，在12,a上單調遞減，在(a,+