幾何中的最值問題講義及答案

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁幾何中的最值問題（講義）一、知識點睛幾何中最值問題包括：“面積最值”及“線段（和、差）最值”.求面積的最值，需要將面積表達(dá)成函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)結(jié)合取值范圍求解；求線段及線段和、差的最值，需要借助“垂線段最短”、“兩點之間線段最短”及“三角形三邊關(guān)系”等相關(guān)定理轉(zhuǎn)化處理.普通處理主意：線段最大（小）值線段差最大線段和線段最大（?。┲稻€段差最大線段和(周長)最小平移對稱旋轉(zhuǎn)平移對稱平移對稱旋轉(zhuǎn)平移對稱旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化構(gòu)造三角形使目標(biāo)線段與定長線段構(gòu)成三角形使點在線同側(cè)（如下圖）使目標(biāo)線段與定長線段構(gòu)成三角形使點在線同側(cè)（如下圖）使點在線異側(cè)（如下圖）三角形三邊關(guān)系定理三角形三邊關(guān)系定理三點共線時取得最值兩點之間，線段最短垂線段最短常用定理：兩點之間，線段最短（已知兩個定點時）垂線段最短（已知一個定點、一條定直線時）三角形三邊關(guān)系（已知兩邊長固定或其和、差固定時）|PA-PB|最大，|PA-PB|最大，需轉(zhuǎn)化，使點在線同側(cè)PA+PB最小，需轉(zhuǎn)化，使點在線異側(cè)二、精講精練如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正巧在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為______cm．第1題圖第2題圖如圖,點P是∠AOB內(nèi)一定點，點M、N分離在邊OA、OB上運動，若∠AOB=45°，OP=3，則△PMN周長的最小值為.如圖，正方形ABCD的邊長是4，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P，Q分離是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值為.第3題圖第4題圖如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點P、Q、K分離為線段BC、CD、BD上的隨意一點，則PK+QK的最小值為.如圖，當(dāng)四邊形PABN的周長最小時，a=．第5題圖第6題圖在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B分離在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，則點F的坐標(biāo)為.如圖，兩點A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運動，則的最大值等于．第7題圖第8題圖點A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．若P是x軸上使得的值最大的點，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點，則＝．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值為_________．第9題圖第10題圖如圖，已知AB=10，P是線段AB上隨意一點，在AB的同側(cè)分離以AP和PB為邊作等邊△APC和等邊△BPD，則CD長度的最小值為．如圖，點P在第一象限，△ABP是邊長為2的等邊三角形，當(dāng)點A在x軸的正半軸上運動時，點B隨之在y軸的正半軸上運動，運動過程中，點P到原點的最大距離是________.若將△ABP中邊PA的長度改為，另兩邊長度不變，則點P到原點的最大距離變?yōu)開________．第11題圖第12題圖動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=5．如圖所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．若限定點P、Q分離在AB、AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為．如圖，直角梯形紙片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，點E、F分離在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點A的落點記為P．（1）當(dāng)P落在線段CD上時，PD的取值范圍為；

（2）當(dāng)P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時，PD的最小值等于.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N兩點分離是邊AB、AC上的動點，將△AMN沿MN翻折，A點的對應(yīng)點為A′，銜接BA′，則BA′的最小值是_________．三、回顧與思量__________________________________________________________________________________________________________________________________________________