第6章 正弦交流電路

第六章正弦交流電路

§6–1正弦交流電的基本概念

一、交流電ttt二、正弦交流電的三要素i=ImSin(ωt+φi)ωtiOImTφi1.振幅——強(qiáng)度2.頻率——快慢3.初相位——起點(diǎn)單位描述同頻率正弦量的相位差ωti=ImSin(ωt+φi)u=UmSin(ωt+φu)O定義u、i之間的相位差為ΔΦ=φu–

φiΔΦ＞0ΔΦ＜0ΔΦ=0ΔΦ=πΔΦ=π/2u超前于iu滯后于iu、i同相u、i反相u、i正交三、正弦交流電的有效值RiI有效值rms方均根值I經(jīng)R，在T內(nèi)耗能：i經(jīng)R，在T內(nèi)耗能：I=√1/T∫i2dt=Im/√2(Sinonly)同理U=Um/√2I2Ri2R∫dt*T§6–2正弦交流電的相量表示法線性電路中，激勵(lì)——正弦量Arbaj+1Oφ復(fù)數(shù)的幾種表示形式：旋轉(zhuǎn)因子的概念

ejα響應(yīng)——同頻率的正弦量只須確定響應(yīng)的有效值和初相位借助有向線段特殊旋轉(zhuǎn)因子j=ejπ/2,–j=1/j=ej–π/21。代數(shù)式A=a+

jb(j2

=–

1)2。三角式A=rCosφ+jrSinφ3。指數(shù)式A=

rejφ4。極坐標(biāo)式A=

rφ——復(fù)數(shù)表示——相量表示法——相量法一、復(fù)數(shù)與正弦量的關(guān)系ωtABiOφiφiωt1ωAB作有向線段A形成旋轉(zhuǎn)矢量t1二、相量表示法Ij+1OφI優(yōu)點(diǎn)：1。把的正弦量＋、－、×、÷變?yōu)閺?fù)數(shù)的＋、－、×、÷2。關(guān)系簡(jiǎn)單，一一對(duì)應(yīng)，直接寫出注意：相量?jī)H表示正弦量，不等于正弦量！例1相量圖I1–

45oI30oU60oj+1Oi=10√2Sin(ωt+π/6)A已知I1=10/√2–45oAu=5√2Cos(ωt–30o)V幅值與相位關(guān)系一目了然記為I=10π/6A記為U=560oV則i1=

10Sin(ωt–45o)A例2相量圖(平行四邊形)I1I2Ij+1O已知i1=

10√2Sin(ωt+30o)Ai2=

20√2CosωtA求：i=i1+i2=？解：I1=10/30o=5√3+j5

AI2=20/90o=j20

AI=I1+I2=5√3+j25A=26.46/70.9oA∴i=26.46√2Sin(ωt+70.9o)A例2相量圖（三角形）I1I2Ij+1O§6–3單一參數(shù)的正弦交流電路

一、電阻元件

1.u–i關(guān)系uiRωtuiu=Ri設(shè)i=Im

Sinωt則u=Ri=RIm

Sinωt=UmSinωt結(jié)論:(1)u，i

同頻、同相

(2)Um/Im=U/I=R相量表示U=RIUI2.功率關(guān)系ωtPpi瞬時(shí)功率p=uip=UmImSin2ωt=UI

(1–Cos2ωt)p始終>0，P=1/T∫pdt=UI=

RI2=U2/R——有功功率(W)——與D.C.相同平均功率R——耗能元件=1/T∫UI(1–Cos2ωt)

dt二、電感元件

1.u–i關(guān)系Luiωtuiu=Ldi/dt,

設(shè)i=ImSin(ωt)則u=Ldi/dt=UmSin(ωt+π/2)∴對(duì)于電感，有如下結(jié)論：(1)u、i同頻,并且u超前于i90o(2)Um=ωLIm=XLIm,XL=ωL=Um/Im=U/I——感抗(Ω)=ωLImCosωt2.頻率特性相量表示U=(ωL)IωXL=ωLUIjXL=ωLω→0,XL→0ω→∞,XL→∞Short(D.C.)Open(H.F.)選擇性3.功率關(guān)系ωtpiO瞬時(shí)功率p=uip=

UmCosωtImSinωt

=

UISin2ωt

平均功率P=1/T∫pdt=?p>0，吸收能量p<0,放出能量P=0——不耗能定義

QL=pm=UI——無功功率(乏,Var)=XLI2=U2/XL例題已知u=100Sinωt(V)，L=10mH，f=50Hz和f=50kHz求：電感中的電流I及電感的感抗XL和無功功率QL2。f=50kHz時(shí)解：1。f=50Hz時(shí)XL=2πfL=3.14(Ω)I=U/XL=22.5(A)QL=I2XL=1589.6(Var)XL=2πfL=3.14(kΩ)I=U/XL=22.5(mA)QL=I2XL=1.59(Var)三、電容元件

1.u–i關(guān)系ωtiuCuii=Cdu/dt,∴對(duì)于電容，有如下結(jié)論：設(shè)u=UmSin(ωt)則i=Cdu/dt=ImSin(ωt+π/2)（2）Im=ωCUm=Um/XC,XC=1/ωC=Um/Im=U/I——容抗(Ω)=ωCUmCosωt（1）u、i同頻,并且i超前于u90o2.頻率特性IU相量表示I=

ωCUωXC=1/(ωC)XC=1/ωCω→0,XC→∞ω→∞,XC→0Open(D.C.)Short(H.F.)或U=–

(j/ωC)I選擇性jω1/XC=jωC3.功率關(guān)系ωtpuO瞬時(shí)功率p=uip=

UmSinωtImCosωt

=

UISin2ωt

平均功率P=1/T∫pdt=?P>0，吸收能量;p<0,放出能量P=0——不耗能定義

QC=pm=UI——無功功率(乏,Var)=XCI2=U2/XC例題已知U=220(V)，C=20μF，f=50Hz和f=50kHz求：電容中的電流I及電容的容抗XC和無功功率QC2。f=50kHz時(shí)解：1。f=50Hz時(shí)XC=1/(2πfC)=159(Ω)I=U/XC=1.38(A)QC=I2XC=304(Var)XC=1/(2πfC)=0.159(Ω)I=U/XC=1380(A)QC=I2XC=304(kVar)四、R、L、C的u–i關(guān)系小結(jié)

1.相量表示電容元件電阻元件電感元件I=jωCUU=jωLIU=RI僅當(dāng)Sin時(shí)！！！根本關(guān)系：R，u=RiL，u=Ldi/dtC，i=Cdu/dt2.頻率特性RXC

XLωX3.波形圖電阻元件ωtuiuiR大小要變化但相位相同(2)電感元件ωtui而且相位滯后不但大小變化Lui(3)電容元件不但大小變化Cuiωtui而且相位超前§6–4RLC串聯(lián)電路——復(fù)阻抗

一、u–i關(guān)系uiRLCuRuCuL2.已知

R,XL,XC

則R總=？問題：1.已知UR,UL,UC

則U=？相量形式j(luò)ωLR1/jωCURUCIULUU=復(fù)數(shù)z=√R2+X2=[R+j(ωL–1/ωC)]I=ZIZ=R+j(ωL–1/ωC)=R+j(XL–XC)=R+jX=zφZ——復(fù)阻抗，實(shí)部——R，虛部——X——模，φZ

=tg－1(XL–XC)/R——阻抗角RI+jωLI+1/jωCI阻抗角φZ

=tg－1(XL–XC)/R——阻抗角I=U/Zz

φZ代表了u、i之間的大小和相位差，當(dāng)XL>XC時(shí)，當(dāng)XL<XC時(shí)，當(dāng)XL=XC時(shí)，——決定電路性質(zhì)φZ>0

，u超前于i——感性φZ<0

，i超前于u——容性φZ=0

，u、i同相——純阻性=(U/z)

φU–φZ

=U

φU÷z

φZ二、相量圖——兩個(gè)三角形ZXRφZφZULUCURUIUXU=UR+UL+UCNotice:1.在交流電路中，符號(hào)應(yīng)理解為復(fù)阻抗，而不單純是電阻

2.z≠R+XL+XC而是三角形的關(guān)系三、例題uiR=30ΩL=127mHC=40μFuRuCuLU=220√2Sinωt(V)，f=50Hz求：1。XL、XC

、Z2。I、i(t)3。各元件上的電壓

4。畫出完整的相量圖1.XL=2πfL=40Ω,XC=1/2πfC=80ΩZ=R+j(XL–XC)=30–j40=50–53o

Ωi(t)=4.4√2Sin(ωt+53o)A解：3.UR=RI=13253oVUL=jXLI=176143oVUC=–jXCI=352–37oV2.I=U/Z=2200o÷50–53o

=4.453oA注意到UC>U，why?相量圖URUULUCI53o3.UR=RI=13253oVUL=jXLI=176143oVUC=–jXCI=352–37oVUCUURIUL53o3.UR=RI=13253oVUL=jXLI=176143oVUC=–jXCI=352–37oV§6–5RLC并聯(lián)電路——復(fù)導(dǎo)納一、u–I關(guān)系GCLUIIGICILIG=GUI=IG+IL+IC復(fù)數(shù)Y=G+j(ωC–1/ωL)=G+jB實(shí)部——G，虛部——BY=G+jB=yφY

Y=√G2+B2——模，φY=tg－1B/G——導(dǎo)納角——i,u之間的相位差角IL=1/(jωL)UIC=jωCU=[G+j(ωC–1/ωL)]U=YU——稱為復(fù)導(dǎo)納導(dǎo)納角φY

=tg－1(BC–XL)/G——導(dǎo)納角當(dāng)BC>BL時(shí)，當(dāng)BC<BL時(shí)，當(dāng)BC=BL時(shí)，φY>0

，i超前于u——容性φY<0

，u超前于i——感性φY=0

，u、i同相——純電導(dǎo)注意：感性/容性與串聯(lián)/并聯(lián)無關(guān)！二、相量圖——兩個(gè)三角形UIIGICILIBI=IG+IL+ICφYyBGφYGCLUIIGICILIB例題R=30ΩXL=40ΩU=120VLRUIIRIL求各電流及YY=1/R–j/XL=1/30–j1/40(S)IR=U/R=4AIL=U/jXL=

–j3AI=IR+IL=4–j3A=5–37oA設(shè)U=1200oVUIRILI§6–6復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納的等效互換已知Z=R+jX則Y=1/Z=1/(R+jX)=R/(R2+X2)

–

jX/(R2+X2)其中G=R/(R2+X2),一般G≠1/R，一、Z→YXRZGBY=G+jBB=–X/(R2+X2)B≠1/X，且都與頻率有關(guān)二、Y→Z若已知

Y=G+jB則Z=1/Y=1/(G+jB)=G/(G2+B2)

–

jB/(G2+B2)其中R=G/(G2+B2),一般R≠1/G，XRZGBY=R+jXX=–B/(G2+B2)X≠1/B，且都與頻率有關(guān)同理§6–7復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納的串并聯(lián)

一、復(fù)阻抗的串聯(lián)Z1ZnZ2Zz=√(∑R)2+(∑X)2≠√∑z2=∑R+j∑X(XL>0,XC<0)=zφZ=Z1+Z2+……+

Zntgφ=∑X/∑R注意：一般z≠z1+z2+……+

zn顯然何時(shí)相等？二、導(dǎo)納的并聯(lián)Y1YnY2Yy=√(∑G)2+(∑B)2≠√∑y2=∑G+j∑B(BC>0,BL<0)=yφY=Y1+Y2+……+Yntgφ=∑B/∑G注意：一般y≠y1+y2+……+

yn同理何時(shí)相等？三、例1I2LRCISUULURI1R=10Ω,L=5mH,C=1.92μF,ω=10000rad/s,

求：及各元件上的電壓IS=10oAI1I2即Z1=R+jXL=10+j50ΩUL=jXLI1=255+11oVUR=RI1=51–

79oVU=UR+UL=2600oVorU=IS

(Z1//Z2)=2600oVI2=IS

–I1=j5A=590oA則I1=(Z2IS)/(Z1+Z2)=1–j5=5.1–79oAZ2=–jXC=–j52ΩZ1

Z2

簡(jiǎn)化標(biāo)識(shí)，令相量圖ULUURI1I2ISI2LRCISUULURI1UL=255+11oVUR=51–

79oVU=2600oVI1=5.1–79oAI2=590oA例2混聯(lián)電路R1=10Ω,R2=1kΩ,L=500mH,C=10μFω=314rad/s,U=100V，求：I1

、

I2并作圖有Z1=R2//(–jXC)=303–72.3oΩI1=U1/R2=0.18

0oA令U1=1810oVI2=jωCU1=0.58

90oAI=I1+I2=0.6172.7o

AUR1=R1I

=6.1

72.7oVUL=jωLI

=95

162.7oVU1=UZ1/ZS，

Z1I2R2LR1CI1UIULUR1U1ZS=R1+jXL+Z1=167–52.3oΩ∴U1=Z1/ZSU=181V相量圖UUR1II1I2UL0.18

0oAU1=1810oV0.58

90oA0.6172.7oA6.172.7oV95162.7oV100V感性or容性？I2R2LR1CZ1I1UIULUR1U1§6–８正弦交流電路的功率

一、有功功率ui無源純R,φ=0，純L,φ=90o，純C,φ=–90o，設(shè)

u=

UmSin(ωt),瞬時(shí)功率為：p=ui平均功率為：P=1/T∫pdtP不但與U、I有關(guān)，Cosφ——功率因數(shù)i=

ImSin(ωt–φ)=UI[Cosφ–Cos(2ωt–φ)]=UICosφ——有功功率(W)而且與Cosφ有關(guān)P=UIP=0P=0二、投影關(guān)系P=UICosφφIUIXφIUUX=U(ICosφ)=I(UCosφ)三、無功功率IXφIUIY對(duì)于感性元件，IX——有功分量定義Q=UIY=

UISinφ——無功功率(乏，Var)IY——無功分量φ>0，Q>0——“吸收”無功功率對(duì)于容性元件，φ<0，Q<0——“發(fā)出”無功功率有功分量、無功分量的意義φRzX由阻抗△∴P=UICosφQ=UISinφCosφ=R/z,

Sinφ=X/z=IU(R/z)=I(U/z)R=RI2=IU(X/z)=I(U/z)X=XI2四、視在功率、功率三角形定義S=UIφRzXφPSQφURUUX對(duì)于多個(gè)負(fù)載的情形：P=P1+P2+……+Pn=∑PiQ=Q1+Q2+……+Qn=∑Qi(QL>0,QC<0)∴P=UICosφ=SCosφ,Q=UISinφ=SSinφS=√P2+Q2——視在功率——表觀功率(VA)但是S≠∑SiS=√P2+Q2例題計(jì)算P、Q、S已知：條件如圖，求各支路及電路總的有功功率、無功功率和視在功率。方法一：計(jì)算出I1、I2及Cosφ1、Cosφ2方法二：將Z1、Z2分解為R、X方法三：復(fù)功率I1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI2方法一——計(jì)算出I1、I2及Cosφ1、Cosφ2I1=U/Z1=5

30o

A第一條支路的功率因數(shù)角——阻抗角φ1=30o

第二條支路的功率因數(shù)角——阻抗角φ2=–

60o∴S1=UI1=20*5=100(VA)P1=S1Cosφ1=100*Cos30o=86.6(w)Q1=S1Sinφ1=100*Sin30o=50(Var)∴S2=UI2=20*4=80(VA)P2=S2Cosφ2=80*Cos(–60o)=40(w)Q2=S2Sinφ2=80*Sin(–60o)

=–69.3(Var)I=I1+I2=6.4

68.67o

AI2=U/Z2=4

120o

AI1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI25A4A6.4A方法一(續(xù))U、I之間的相位差φ=60o–68.67o=–8.67o

∴S=UI

=20*6.4=128(VA)P=S*Cosφ=128*Cos(–8.67o

)=126.5(w)Q=S*Sinφ=128*Sin(–8.67o

)

=–19.3(Var)I1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI26.4

68.67o

A5A4A方法二——將Z1、Z2分解為R、XZ1=４30o

=3.46+j2(Ω)=R1+jX1Z2=5–60o

=2.5–j4.33(Ω)=R2+jX2第一條支路的X1>0——感性P1=R1I12=3.464*52=86.6(w)Q1=X1I12=2*52=50(Var)S1=√P12+Q12=100(VA)I1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI26.4A4A5A方法二(續(xù))第二條支路的X2<0——容性P2=R2I22=2.5*42=40(w)Q2=–X2I22=–4.33*42=–69.3(Var)S2=√P22+Q22=80(VA)I1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI26.4A4A5A方法二(續(xù))電路總的P、Q、S為：顯然：S≠S1+S2=100+80=180(VA)方法三：復(fù)功率P=P1+P2=86.6+40=126.6(W)Q=Q1+Q2=50–69.3=–19.3(Var)S=√P2+Q2=128(VA)I1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI26.4A4A5A五、復(fù)功率φPSQ能否利用U、I的相量直接得到P、Q、S？由功率三角形，=UIφ對(duì)于任意電路，=UICosφ+jUISinφ=P+jQ令S=UI=UIφu+φi–構(gòu)造S=UIφ=SCosφ+jSSinφ

=P+jQ設(shè)U=UφuI

=Iφi

P=SCosφ,Q=SSinφ*有：P=∑Pi

Q=∑Qi=∑Pi

+j∑Qi=∑(Pi+jQi)因此，S=P+jQ=∑Si方法三：復(fù)功率第一條支路的復(fù)功率為：第二條支路的復(fù)功率為：電路總的復(fù)功率為：或S

=S1+S2=2060o*5–30o=10030o=86.6+j50(VA)即P1=86.6(W),Q1=50(Var),S1=100(VA)=2060o*4–120o=80–60o=40–j69.3(VA)即P2=40(W),Q2=–69.3(Var),S2=80(VA)=2060o*6.4–68.67o=128–8.67o=126.6–j19.3(VA)即P

=126.6(W),Q=–19.3(Var),S

=128(VA)=(86.6+j50)+(40–j69.3)=126.6–j19.3=128–8.67o(VA)*S1=U*I1*S

=U*I*S2=U*I2§6–9功率因數(shù)的提高（意義、原因、措施）一、提高功率因數(shù)的意義1、開發(fā)電源潛力2、降低線路損耗發(fā)電機(jī)100V10A(容量)負(fù)載100V10ACosφ=0.5P=UICosφI=P/(Ucosφ)二、功率因數(shù)低下的原因ICCRLI1UIC=P(tgφ1–tgφ)/(ωU2)ICIIXI1Uφ1φ保持有功功率不變，減小線路電流三、提高功率因數(shù)的措施§6–10最大功率傳輸NSRIUUOCRIUr當(dāng)R=r時(shí)，有PMAX=UOC2/(4r)ZNSIUZZiUOCIU設(shè)Zi=Ri

+jXi

；條件：

Z=

Ri

–jXi=

Zi*

Z=R+jX，負(fù)載Z的有功功率為：P=RI2當(dāng)X+Xi=0時(shí)，令dP/dR=0，有Pmax=UOC2/(4Ri)(R+Ri)2+(X+Xi)2=RUOC2§6–11正弦交流電路的計(jì)算0R5ΩC–j2ΩLj5ΩI11I3I2IbIaUS1US2=1000o(V)US1=10090o(V)US2例１，回路法求各支路電流

I1

、I2

、I3[方法一]回路法Z11=R–jXCZ11Z12Z21Z22IaIb=–US2US15–j2–5–55+j5Ω=IaIb100–j1000R5ΩC–j2ΩLj5ΩI11I3I2IbIaUS1US2=5–j2ΩZ22=R+jXL=5+j5ΩZ12=Z21代入后，得：=–R=–5Ω回路法(續(xù)1)Z11Z12Z21Z22US1Z12–US2Z22Ia=Z11US1Z21–

US2Ib

=Z11Z12Z21Z22=27.7–56.3o(A)

=32.4–115.4o(A)

回路法(續(xù)2)各支路電流：0R5ΩC–j2ΩLj5ΩI11I3I2IbIaUS1US2I3=Ib=32.4–115.4o

(A)I2=Ia–Ib=29.87

11.8o

(A)I1=Ia=27.7–56.3o

(A)

回路法(續(xù))電源發(fā)出的復(fù)功率為：電源發(fā)出的總的復(fù)功率為：電路吸收的復(fù)功率為：SUS1=US1*I1=100*27.756.3o=277356.3o=1537+j2308(VA)*=2923+j1385(VA)SUS2=–US1*I3=–10090o*32.4115.4o=323525.4o*S=SUS1+SUS2=4460+j3693=P+jQP=RI22=4461(W)QC=XCI12=+1537.9(Var)S=P+jQ=4461+j3694.7(VA)——平衡QL=XLI32=5232.6(Var)Q=QL–

QC=3694.7(Var)[方法二]節(jié)點(diǎn)法(jωC+1/R+1/jωL)U1=jωCUS1+US2/jωL——彌爾曼定理I2=U1/R=29.86

11.89o

(A)I1=(US1–U1)jωC=15.4–j23.1=27.73

–56.3o

(A)U1=(20+j50)/(0.2+j0.3)=146.15+j30.77=149.36

11.89o

(V)I3=(U1

–US2)/(jωL)=–13.85–j29.23=32.34

–115.35o

(A)0R5ΩC–j2ΩLj5ΩI11I3I2IbIaUS1US2例2求戴維南等效電路1。求開路電壓UOZ1ZUSIUOI1βI1ab(β≠–1)∵I=0,∴I1=0即I1+βI1=(1+β)I1=0又∵β≠–1∴UO=US2。求等效內(nèi)阻ZiI=I1+βI1

=(1+β)I1U=ZI+Z1I1∴Zi=U/I=Z+Z1/(1+β)=ZI+Z1I/(1+β)=[Z+Z1/(1+β)]*I∴I1

=I/(1+β)Z1ZIUI1βI1ab3。等效電路baUSZi=Z+(1+β)Z1例3已知XL，且k閉合或斷開時(shí)電流表的讀數(shù)不變。求XC=？ARCLUIIRICILkUIRILI開關(guān)斷開時(shí)相量圖ICIUIRILIARCLUIIRICILk開關(guān)閉合時(shí)I=IR+IL+IC∴XC=XL/2例4利用相量圖解題已知I1=I2=10A，U=100V，且u、i同相。求：I、R、XL

、XCI1I2UIRLCULURUURULII1I245o相量圖I1I2UIRLCULUR10A10A100V100V10√2A100√2

VR=100√2

V/10A=10√2Ω

XL=100V/10√2A=5√2Ω

XC=R=10√2Ω

例5利用戴維南定理求輸出電壓UUj3Ω–j3Ωj2Ω–j2Ω6Ω6Ω6ΩIS√245oALoad1。求開路電壓UOZUOj3Ω–j3Ωj2Ω6Ω6ΩIS√245oAI2令Z=(6*j2)/(6+j2)=–j0.5ISI2=–j3/(–j3+j3+6)IS利用分流公式=j6/(3+j1)Ω=1.8–j0.6=1.918.4oVUO=ISZ+6*I2=(0.6–j1.2)IS

2。求等效阻抗ZiZiZi

=Z6Ω6Ω